第三章：古典希腊数学的产生。本篇记录柏拉图的学院（Academy）派。

柏拉图学派

北非昔兰尼（Cyrene）地方的特奥多鲁斯（Theodorus，生于公元前470年左右）和意大利南部太兰吐姆的阿基塔斯是毕达哥拉斯派学者，并且都教过柏拉图。他们的教导可能使整个柏拉图学派受到毕达哥拉斯派的强烈影响。

“柏拉图出生于名门，早年有政治抱负。但苏格拉底的命运使他深信有良心的人不能搞政治。”按：柏拉图的导师苏格拉底被雅典群众民主地判了死刑，这使古往今来的许多精英对民主心存疑虑。

“公元前387年左右他在雅典成立学院，它在好多方面像现代的大学。学院有场地、房屋、学生，并有柏拉图及其助手讲授的正式课程。在古希腊时期，数学和哲学是学院里所喜爱的学科。数学的主要活动中心虽在公元前300年左右移到亚历山大，但在整个亚历山大时代学院派仍旧领导哲学界。学院维持了九百年之久，直到529年因它传授‘异端邪说’被信奉基督教的罗马王查士丁尼（Justinian）查封。”按：柏拉图对教育的贡献堪比孔子，伟哉！据说欧几里得就是柏拉图学院教育出来的。基督教和东罗马皇帝查士丁尼是文化的罪人。天地有正气，杂然赋流形。下则为河岳，上则为日星。是气所磅礴，凛烈万古存。当其贯日月，生死安足论！

“柏拉图和他的后继者无疑是把数学概念看作抽象物的。”柏拉图《理想国》（Republic）中苏格拉底对格劳孔（Glaucon）的一段话：“哲学家必须跳出茫如大海的万变现象而抓住真正的实质，所以他必须是个算术家……这是使灵魂从暂存过渡到真理和永存的捷径……算术有很伟大和崇高的作用，它迫使灵魂用抽象的数来进行推理，而厌弃在辩论中引入可见和可捉摸的对象……”按：这是一个重要的进步，从此以后就可以不断从数学对象中发现新结构，从新结构中又提炼出新的数学对象，循环上升不已。从加减乘除到令普通人瞠目的微积分、群论，这中间有多大的跨度！

柏拉图把数学思想当作进入哲学的阶梯。“数学家所处理的抽象观念跟其它的抽象观念，比如善良和公正，是同一类的，而了解这两者乃是柏拉图哲学的目标。数学是认识理想世界的准备工具。……他们设想理想的社会和完善的国家。……唯有理想世界以及理想间的关系才是永恒的，不受时代影响的，不朽的，而且是普遍的。物理世界是理想世界的不完善的体现，因而它是会枯朽的，所以只有理想世界才值得进行研究。”按：这是对物理世界的根本误解，数学概念跟善良、公正也完全不是同一类。现代的自然科学家正好反过来，把物理世界作为最高的研究对象，判断理论正误最终是看是否符合实验。柏拉图学派的这个错误造成了严重的后果，只承认从概念到概念的演绎法，不承认对自然现象的归纳、观察和实验，在上千年的时间里阻碍了自然科学的发展。但它对数学的促进作用还是应该肯定的。

“普罗克洛斯和第欧根尼（Diogenes Laertius，3世纪）把两类方法论归功于柏拉图学派。第一类是分析方法，用这方法时，我们把待证的事项作为已知，然后由此推导出一些结论，直到得出一个已知的真理或得到矛盾。若得出矛盾，则待证的结论谬误。若得出一个已知真理，则（如若可能）便把推理步骤倒过来，于是就作出证明。第二类是归谬法或间接法。”按：还记得中学课堂上数学老师讲这两种证明方法吗？

柏拉图在《理想国》（第VI篇，510节）中论演绎结构：“你们知道几何、算术和有关科学的学生，在他们的各科分支里，假定奇数和偶数、图形以及三种类型的角等是已知的；这些是他们的假设，是大家认为他们以及所有人都知道的事，因而认为是无需向他们自己或向别人再作任何交代的；但他们是从这些事实出发的，并以前后一贯的方式往下推，直到得出结论。”

“柏拉图的学院里曾提出过这样的疑问，即根据已知的事实和问题中给定的假设，所给问题究竟是否可解。”按：解的存在性！别的文明有没有研究过？

为什么希腊人只用演绎法，而排斥归纳、观察和实验？一方面是哲学家只关心真理，而归纳不能给出确定无疑的结果。另一个原因可能是古希腊享受教育的阶级轻视实际事务。“雅典虽是商业中心，但从事商业和医药之类行业的是奴隶阶级。柏拉图坚决主张自由民搞买卖应看作是犯罪而要受到惩罚，亚里士多德也说在完善的国家里公民（相对于奴隶而言）不应该搞机械行业，对于这种社会里的思想家来说，实验和观察就成为陌生的事。”按：跟中国古代相似！

公元前6和5世纪时，希腊人曾把数学应用于实际技术。泰勒斯曾用他的数学知识来改进航海技术。梭伦（Solon）给予匠人以荣誉并宠崇发明者。“Sophia这个希腊字通常用来表示明智和抽象思维，而在当时的意思却是专业技能。据普罗克洛斯说，把‘数学变成自由学科’（即是说，教给自由民的学问而不是传给奴隶的技巧）的正是毕达哥拉斯派人。”按：这样看来，希腊早期的态度是质朴而健康的，晚期却变得精致而脆弱。这是许多文明的共同历程，过于精致意味着完全成熟和到达顶峰，要开始衰败和走下坡路了。中国从先秦诸子、唐诗到《红楼梦》，就是如此。

普鲁塔克（Plutachus）在马塞勒斯（Marcellus）的传记里写出了人们对机械工具的态度是怎样改变的：“欧多克索斯和阿基塔斯……用机械工具来巧妙地说明几何真理……但由于柏拉图对此表示愤慨，并由于他对此大加谴责，说它只不过是搞坏和消灭了几何学的一个优点，使其如此可耻地不顾纯理智的抽象对象，而回复到感性，并求助（这种帮助非得卑躬屈膝丧尽尊严才能获得）于物质。由于这种谴责，……机械学和数学分了家，并由于它被哲学家所蔑弃和忽视，它就只在军事技术上占有地位了。”按：简直可以看到柏拉图如何愤愤地指斥“奇技淫巧”！

柏拉图学派推动了对立体几何的研究。《理想国》第七篇528节说，由于天文学是同运动着的立体打交道的，故在研究天文学以前需要懂得这种立体的科学。他抱怨国家没有支持研究立体图形的人。他们研究了棱柱、棱锥、圆柱和圆锥，而且他们知道正多面体最多只有五种。按：真了不起！即使是现在，又有多少人知道正多面体只有五种？肯定是少数！其他文明对正多面体的研究是什么水平？

柏拉图派最重要的发现是圆锥曲线。倍立方问题可归结为求x和y，使a/x = x/y = y/2a，即x^2 = ay，y^2 = 2ax，xy = 2a^2。因此x和y就是两抛物线的交点或一抛物线与一双曲线的交点的坐标。梅内克缪斯利用直角、锐角、钝角的三种圆锥，再用垂直于锥面一母线的平面来割每个锥面，得到了三种圆锥曲线。

昔兰尼的特奥多鲁斯证明了3、5、7和其它一些数的平方根是无理数。特埃特图斯考察了其它一些属于更高类型的无理数，并将其分类，见欧几里得《几何原本》第十篇。这些不可公度比能用几何方法作为长度画出。按：用现代的语言说，是不是古希腊发现的无理数仅限于代数数，即整系数多项式的根，而不包括真正大部分的超越数？