[注：以下是群邮件内容，标题是原有的。]

忽然想到以轻松的方式对 “代数” 中的一些主要概念或结果写点描述性的内容。

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在几个场合会遇到 “module” 这个名词，中译为“模”*；不难判断这是数学的某种对象。粗略地说，数学中只有两类对象：集合与映射。比如，这里要谈的 module 就是某种集合的名字。在数学书中遇到陌生的名词概念，可以在集合与映射之间随意猜一下：猜中了会有点兴奋，猜不中也不要紧 —— 之后再翻看定义印象会深一点。

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对于集合人们并不陌生。集合之间有“并”、“交”、“补”等运算，也有涉及到归属关系的“子集”和“成员”(也称“元素”)。粗想的话，集合中的成员之间是一种松散的关系。如果非要谈论集合 A 中两个成员 a 和 b 之间的关系，只能说 “a 和 b 同属于 A” —— 除此之外一无所知 (除非有别的约定或已知内在关系)。从这个意义上说，集合中的成员“缺乏组织性”。

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代数是在集合的成员之间引入几条基本约定，从而使得成员之间形成一定的组织 —— 数学上也称作“结构”。从字面意思看，“结构”是指(构成系统的)元素及其关系。一般来说，需要在元素之间引入某种“相互作用”，或者正式地说，要在元素之间建立“二元运算”，比如 a·b。在代数中，重点关心的是由基本约定所决定的大规律；至于元素究竟是什么，以及元素之间要怎样运算，这些都不是重点。

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“基本约定” 通常考虑这么几条：运算的封闭性、结合律、分配律、交换律、有无单位元、有无零元，等等。这些基本约定都是通过二元运算描述的，比如 “乘法”、“加法”。在数学里人们更喜欢使用“基本法则” (basic laws) 这样的术语来替代 “基本约定” 这种通俗说法 (folklore)。意思是一样的。这里列举的基本法则起源于算数，即源于数字运算中的基本法则。现在呢，只是把它们的适用范围扩大到代数中来。

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前一段提到，在代数中不关心元素究竟是什么，但对“元素可能是什么”有个了解是非常必要的。第一段里讲了，数学里头大致有两类对象，即集合与映射。集合里头，除了人们直觉中存在的各种元素以外，还有一种元素 —— 映射本身也可以作为元素！猛一看可能会让人糊涂... 中学里已经知道，映射是集合之间的对应法则，通常记作 f, g, h,...。大学里稍微高明一些：那就是注意到，把 f, g, h,... 收集起来也可以构成集合。真的可以这样。尤其在代数中，人们真正感兴趣的集合，都是由收集到的映射构成的 —— 明面上很少这样说。(大学里的数学老师清楚：以不引人注意的方式讲一些事情；至于说注意不到，那不等于没讲过。逻辑上完全没有问题。这是讲课的一种技巧。)

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有没有一种办法，即便书上没有明说，也能看出集合中的元素是映射呢？一般来说，如果集合有特定的名称，而且听上去比较怪，那它的元素就是映射(或者可以看作映射)。比如，“群”(group)，这个集合里的元素都是些映射，或者说，感兴趣的情况下都是这样。再比如，“模”(module)，此集合中的元素是映射。当然，有时会明告诉你集合中的元素是什么，那就是什么了。一句话，在代数中，人们特别感兴趣的集合，都是由映射构成的。

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既然代数集合中的各个元素都是映射，自然可以考虑 “复合映射”，比如 g·f。所以说，代数集合中的“乘法”，常常是作为映射的“复合”来看待的。映射的复合往往满足结合律：h·(g·f) = (h·g)·f。如果代数集合中，作为元素的每个映射都有逆映射(此时必然有单位映射)，那么此集合就称作“群”。更严格地说，由可逆映射构成的集合，若满足封闭性，此集合称作“群”。除非另有说明，代数中感兴趣的集合都要求满足封闭性。

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小结：集合中的成员(元素)之间是一种松散的关系。代数是在集合的成员之间引入几条基本约定，从而使得成员之间形成一定的组织。在代数中，人们特别感兴趣的集合，都是由映射构成的。