[注：以下是群邮件内容，标题是原有的。]

做学问的一般原则是什么？

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之前提到，人们特别感兴趣的集合都是由映射构成的。映射是集合之间“合法的”对应关系的总称。想象在黑板上手工画一个大致的椭圆，用它示意集合 A；在适当靠右的地方也画一个大致的椭圆，用它示意集合 B。现在可以从 A 内的一个点出发画一条带箭头的线，让箭头伸到 B 内的一个点；可以多画几条，用以示意两个集合之间元素的对应关系。最后，在这些示意线的上方写上 f，表示决定该对应关系的法则。

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集合 A 和 B 之间可以规定多个不同的对应关系，或者说，可以有多个不同的法则。作为示意，换个不同颜色的粉笔，由 A 到 B 画几条另外的示意线(带上箭头)，在这些示意线的上方写上 g，表示决定这个新的对应关系的法则。以此类推，不难想到这种法则可以无穷无尽，记作 f, g, h, ...。如果停留在这里，看不出这有多大意义。但其实已经进了一步：把这些法则收集起来就得到一个集合 {f, g, h, ...}。这就是由法则构成的集合。

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如果这些法则是数学上合法的，就统称为映射。所谓“数学上合法的”，是指法则决定的对应关系要满足一个的条件：A 中的同一个元素不能对应于 B 中不同的元素，并且 A 中的每个元素都要在 B 中存在对应的元素。粗略的说，A 中的元素不能在 B 中“落空”，但也不能出现“一对多”的情形。

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也许你会问，如果在实践中遇到数学上非法的对应关系该怎么办呢？原则上来说，可以研究这种情形，总的方向是转化为数学上合法的。比如，集合A中的元素 a 关于法则 f 在 B 中没有对应的元素。此时要看元素 a 是不是必须包括在 A 中，如果不是必须的可以剔除它。如果 a 必须包含在 A 中，那就要看 a 关于法则 f 是否在 集合B 之外有对应的元素 f(a)？有的话可以考虑把它包含到 B 中；没有的话，意味着法则 f 出了毛病，这就要修改法则。

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也许你会进一步问：为什么这样子就合法，那样子就不合法？或者说，“合法” 本身的标准是什么？粗想起来，“数学上合法的”事情处理起来比较方便；若遇到不方便的情况，可以设法转化为方便的情况。如果要给个终极回答，只能推测性的，即 “数学上合法的” 事物来自数学家们的实践经验，或者经过数学家们开会决定，并且经受住了实践的长期检验而广为数学界接受。

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刚离开了好一会儿，期间忽然想到，那些“基本约定”适用于更大的范围意味着 “survive through the time” —— 与其说这是做学问的原则 ——不如说这就是做学问的意义。让做出的学问能够长久地传递下去，就好像延续了自己的生命那样。这也回答了该做什么样的学问。

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注：以上内容是周五写的。

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小结：两个集合之间可通过“法则”建立对应关系；数学上合法的法则称作映射；给定的两个集合之间可以有多个映射。

“文科”代数漫谈 I