《Galois theory》

H.E. p. 59 (S44)

* * * 16:09

证明的第二段。

Since H(X) has coefficients in K' = K(r), where r is a pth root of k, and since every element of K' can be expressed as a polynomial in r with coefficients in K,...

---- 因为 H(x) 的系数在 K' = K(r) 中，其中 r 是 k 的 p 次根，并且因为 K' 的每个元素都能表达为 r 的多项式 (系数在 K 中)...

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评论：r 是 K 中元素的 p 次根，添加到 K 中得到 K'。可是，“K'的每个元素都能表达为 r 的多项式” 是怎么回事?

---- 假设 K 是有理数域，k = 2，p = 2，则 k 的 p 次根为 √2。

---- 将 √2 添加到 Q，得到 Q(√2)，其元素形如 a + b√2，其中 a 和 b 属于 Q。

---- 按上面 (楷体部分) 的观点，a + b√2 看作 √2 的多项式。

---- 确实，添加 r 到 K 意味着写出 r 的有理函数 u(r)/v(r)，其中 u(r) 和 v(r) 是系数在 K 中的多项式。

---- 问题转化为：是否任何有理函数都可以转化为多项式 ?

---| 这里的关键是，r 是 k 的 p 次根，而 k 是 K 中的元素。

---| 设 v(r) = a0r^(p-1) + a1r^(p-2) + ... + ap-1。

---| 只须把 v(r) 转化为 K 中的元素 (如通过配方)。

---| 暂时搁置。

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... H(X) can be written in the form H(X) = H(X, r) where H(X, Y) is a polynomial in two variables with coefficients in K.

---- H(X) 可以写成形式 H(X) = H(X, r)，其中 H(X, Y) 是系数在 K 中的二元多项式。

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评论：将 K' 之上的一元多项式 H(X) 转化为 K 之上的二元多项式 H(X, Y)。

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Given such a polynomial H(X, Y), consider the polynomial h(X) = H(X, r)H(X, α·r)H(X, α^2·r)...H(X, α^(p-1)·r), where α ∈ K is one of the primitive pth roots of unity assumed to exist in K.

---- 给定这样的一个多项式 H(X, Y)，考虑多项式 h(X) = H(X, r)H(X, α·r)H(X, α^2·r)...H(X, α^(p-1)·r) ，其中 α ∈ K 是假定存在于 K 中的 本原 p 次单位根。

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评论：h(X) 的构造挺突兀 (?)，但结构上是个 “方”。

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Then h is a polynomial in X with coefficients that are symmetric polynomials in the p roots r, α·r, ..., α^(p-1)·r of the auxiliary equation Y^p - k = 0.

---- 则 h 是 X 的多项式，其系数是辅助方程 Y^p - k = 0 的 p 个根 r, α·r, ..., α^(p-1)·r 的对称多项式。

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By the fundamental theorem on symmetric functions, it follows that the coefficients of h are in K.

---- 由对称函数的基本定理，h 的系数在 K 中。

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评论：以上总共 4 句话，简记为：H(X) ~ H(X, r) ~ h(X)。

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证明的第三段 (只有一句话)。

On the other hand, since G(X) has coefficients that are in K', Galois' Lemma I implies that H(X, r) divides G(X) with a quotient with coefficients in K(r), say G(X) = H(X, r)Q(X, r).

---- 另一方面，由于 G(X) 有系数属于 K'，伽罗瓦引理1蕴含 H(X, r) 整除 G(X)，商的系数属于 K(r)，比如 G(X) = H(X, r)Q(X, r)。

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评论：G(X) 是 F(X) 在 K 之上的不可约因式，出现 K' 不会改变这个事实... “G(X)有系数属于K'” 的说法不够清楚。

---- 事实上，G(X) 的系数在 K 中，而它在 K' 中因式分解后，那些因式的系数在 K' 中。

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小结：重点是 H(X) 和 h(X)，后者更重要些。

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