《Galois theory》

H.E. p. 53

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Now (B) follows immediately from the last corollary because this corollary shows that if t' is any conjugate of t then (set s = t') the substitutions of the roots that result from changing t to one of its conjugetes are the same as those that result from changing t' to one of its conjugates.

---- 根据前文推论，立刻看出 (B) 成立...

---- 推论显示，若 t' 是 t 的任一共轭，则将 t 带到 t' 的诸置换等于将 t' 带到其共轭的诸置换. (后半句的 t' 和 “其共轭” 指全部).

---- 原文中两处 “one of” 可以去掉.

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温习：前文推论 —— 若 S 把 t 带到 t'，则 S 把 s 带到 s'.

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评论：设 { S }: t -> { t' }，又设 { T }: s -> { s' }，并取 s = t'. 则 { S } = { T }.

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(The conjugates of t coincide with those of t' because in both cases the conjugates are the roots of G).

---- t 和 t' 的共轭集相等 (即 G 的根集).

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Since (C) follows even more immediately from the last corollary, this completes the justification of the above definition of the Galois group of the equation f(x) = 0 as a group of substitutions of the roots of the equation.

---- 由上述推论，立得 (C) 成立...

---- 这样就验证了由(1) 定义的方程 f(x) = 0 的 Galois 群，是作为根的一个置换群.

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Moreover, it shows that the elements of the Galois group can also be regarded as automorphisms of the field K(a, b, c, ...) over K...

---- 此外，上述论证表明 (如上定义的) Galois 群也可以看作 K 之上域 K(a, b, c, ...) 的自同构(群).

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—— a fact which is not stated explicitly by Galois, but which is fundamental in most modern formulations of his theory.

---- 此事实 Galois 并未名言，但在其理论的大多数现代表述中是基本性的.

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评论：命题1及两个推论是用来验证由阵列 (1) 给出的 Galois 群的正当性.

---- 此部分的表述显得有些累赘.

---- 应当强调，一般而言 Galois 群是根的 (完全) 置换群的子群.

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关于 { S } 作为自同构.

---- 从阵列来看，t, t', t'', .... 中的每一个都 “标定” 了一个排列/置换.

---- 若 S 把 t 带到 t'，而 t 和 t' 等都在多项式内部，则意味着 S 作用到了多项式内部.

---- 这已经体现出了 S 的自同构效应.

---- 具体地，设 t = Aa + Bb + Cc + ..., t' = Aa' + Bb' + Cc' +...

---- 其中 a', b', c', ... 系 a, b, c, ... 的一个排列.

---- 则应该有 S(t) = t'.

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关于“预解式”(resolvent).

---- 此书中拿 t 作为预解式.

---- 但有些资料以 G(X) 作为预解式(见百度).

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关于多项式 φr.

---- 下标有些令人困惑...

---- { φr } 共有 n 个成员.

---- 这 n 个成员的顺序是固定的.

---- 变化的是括弧内的 t.

---- 所以，下标只是固定这些多项式的位置.

---- 期待看到 { φr } 的具体例子.

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小结：S41 读写完毕.(需要温习几遍).

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