《Galois cohomology》

J.P.S. p.73

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Corollary. Let n be an integer ≥ 1, prime to the characteristic of k. 

---- 令 n 为自然数，并且与 k 的特征互质.

---- 基本域 k 的特征是什么 ?

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Let μn be the group of n-th roots of unity (in ks).

---- 令 μn 是第n个单位根的群 (于ks).

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We have: H(k, μn) = k*/k*^n.

---- 则有 H(k, μn) = k*/k*^n.

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评论：给出例子 H(k, μn) = k*/k*^n.

---- Gal(ks/k) 作用于 A(ks) 得到 k*/k*^n.

---- 此处 A(ks) 取 μn.

---- k* 含义待考.(?)

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注：以上是推论的叙述.

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We have an exact sequence: 1 --> μn --> Gm -n-> Gm --> 1, where n denotes the endomorphism x -> x^n.

---- 我们有精确序列:  1 --> μn --> Gm -n-> Gm --> 1，n 代表 自同态 x -> x^n.

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评论：箭头序列在代数中挺常见，其含义待考.(?)

---- 凡是常见的都是“方法”.

---- 此处的精确序列似乎出于作者的设计和构造.

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From this follows the cohomology exact sequence: k* -n-> k* --> H¹(k, μn) --> H¹(k, Gm).

---- 由此得上同调精确序列: k* --> k* --> H1(k, μn) --> H¹(k, Gm).

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The corollary follows since H¹(k, Gm) = 0, by prop. 1.

---- 由命题1 H¹(k, Gm) = 0 从而推论成立.

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注：以上三句是推理的证明 (两个序列结合命题1).

---- 证明省略了“proof”，系非正式风格.

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Remarks.

1) The same argument shows that H²(k, μn) may be identified with Brn(k), the kernel of multiplication by n in Br(k).

---- 可能用到了 H²(k, Gm) = Br(k).(?)

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2) If μn is contained in k*, one may identify μn with Z/nZ by choosing a primitive n-th root of unity.

---- 若 μn 含于 k*，则可让 μn 和 Z/nZ 相等 (通过选择原始的第n个单位根).

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The corollary above thus gives an isomorphism between the groups k*/k*^n  and Hom(Gk, Z/nZ) = H¹(k, Z/nZ).

---- 上述推论给出了群 k*/k*^n 和 Hom(Gk, Z/nZ) = H¹(k, Z/nZ) 之间的同构.

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We recover the classical “Kummer theory” (cf. Bourbaki A.V. S11.8).

---- 我们恢复了经典的 Kummer 理论 (参见...).

---- Kummer 理论该是指上述同构.

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小结：推论给出了例子 H(k, μn) = k*/k*^n，并联系到 Br(k) 群 和 Kummer 理论.

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注：完成了 Ch2.S1.(共两页)

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