[注：下文是群邮件的内容，标题与内容无关。]

《Galois theory》

* * * 21:20

Proof. Let the Euclidean algorithm be used to write a common divisor d(X) of g(X) and h(X) in the form d(X) = A(X)g(X) + B(X)h(X) where A(X) and B(X) are polynomials with coefficients in K.

---- 写出 g 和 h 的公共因式 d 的形式...

---- d = Ag + Bh (?)

(从没见过这个式子 !)

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独立推导:

---- 设 d 是 g 和 h 的公因式.

---- 则 g = Ud, h = Vd.

---- 如何解出 d ?... 不去解出.

---- g 不可约 ==> d 和 g 只差一常数且g的次数大于零.

---- 于是 U 为非零常数，d 的次数大于零.

---- 于是 h = (V/U) g ==> g 整除 h.

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评论：现在的问题是，为何断定 g 和 h 一定有公因式?

---- 只能从两者的公共根入手...(搁置)

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If the common root r of g(X) and h(X) is substituted into this equation the result is d(r) = 0.

---- 将公共根代入 g 和 h 则 d = 0.

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Therefore d(X) has degree > 0.

---- d(r) = 0 ==> d(X) 不是非零常数, 而 d(X) 作为因式也不能恒为零, 从而 d(X) 的次数大于零.

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Since d(X) divides g(X) and g(X) is irreducible, it follows that d(X) is a nonzero delement of K times g(X).

---- 后半句意思是 d 和 g 只差一个非零倍数.

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评论：这个后半句语法不合格.

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Since d(X) divides h(X), it follows that g(X) divides h(X), as was to be shown.

---- 由于 d 整除 h，则 g 整除 h.

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评论：d 的那个表达式是关键，但不知如何推导出来.(?)

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要点：证明中有三个关键点：

1. 写出 g 和 h 的那个公因式 d 的表达式.

2. 公共根 ==> d 的次数大于零.

3. g 不可约 ==> g 和 d 只差一整数倍.

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小结：给出了引理1的证明.(存疑).

* * * 22:34