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理想的学习是“从1到0”：不要老师。
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[按：下文是群邮件的内容，标题是新拟的 (原标题“完形”)。]
······最近忽然感到，课堂授课与群发邮件很相似，特
别是那种“大课”：听众们除了接收“课堂群邮
件”没别的选择。课堂授课虽然声形并茂，但也
很难指望听众齐步走。学习本身是个复杂的过程，
只能由学习者自行摸索、循序渐进。理想的学习
是“从1到0”：不要老师。
······注：调整了边框的宽度.
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学习笔记(接前)。引言部分，1.2。
In fact, the same ideas work in greater generality.
---- Th1.1的思想适用于更一般的情形.
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Definition 1.2. A perfectoid field is a complete topological field K whose topology is induced by a nondiscrete valuation of rank 1, such that the Frobenius Φ is surjective on Kᵒ/p.
---- “完域” 是指 完全拓扑域 K， 其拓扑诱导于 秩1 非离散估值，使得 Frobenius Φ 在 Kᵒ/p 上是满的.
1. 主集合 K 是完全拓扑域.
2. 用 秩1非离散估值 ndv(1) 给出其拓扑.
3. Frobenius Φ 在 Kᵒ/p 上是满的.
评论：前两条是集合方面的约束，后一条是映射方面的约束.
---- 小波分析里有个“多分辨分析”，也出现了集合与映射方面的约束.
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Here Kᵒ ⊂ K denotes the set of powerbounded elements.
---- K 的整元子环是由 有界幂元 构成的集合.
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Generalizing the example above, a construction of Fontaine associates to any perfectoid field K another perfectoid field Kᵇ of characteristic p...
---- 推广上述例子，运用 Fontaine 构造，给任何完域 K 关联一个特征p 完域 Kᵇ ...
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...whose underlying multiplicative monoid can be described as Kᵇ = lim<K (x ↦x^p).
---- 其底层 可乘幺半群可描述为 Kᵇ = lim<K (x ↦x^p).
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小结：给出文章里的第一个定义 perfectoid field (完域 or 完形域).
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温习：第三段（下）。
1. 对任何 [Kᵇ]， 预构造 [K]c.
---- [·] 暂标识有限扩张; 下标 c 提示规范.
---- 原作记作 L 及 L#.
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2. [Kᵇ] 是 (ak)d 的分裂域，也是 (ak^1/δn)d 的分裂域（n≥0）.
---- (ak)d 标识d阶多项式(首项系数为1).
---- ak 标识系数，k=d-1，...，0.
{补充：这句话体现出的性质非常巧妙(也至关重要).
---- 它也是某种不变性.}
注：这个补充是写完加评后添加的（中途已经意识到）.
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3. 只须取 [K]c 为 ((ak^1/δn)#)d 的分裂域（n 足够大）.
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知新：2、3 中没有变化的是 形式 (·)d，即多项式.
---- 它起到了 “传递” 的作用(好比几何原本中用圆来传递等长那样).
---- 以上没有变化的还有 形式 [·]，即有限扩张.
评论：最关键的是中间态 ak^1/δn , 记作 x.
---- 则有 (x)d --> (x#)d (好比圆的半径从一个值变化为另一个值).
---- 然后看出，[·] 可类比为 “外接正方形”(其中的 · 可类比为面积之类):
---- ......[Kᵇ] --> [K]c (这里的下标 c 并没有实质意义).
注：缺憾的是，外接正方形的类比不符合第2条.
加评：多项式是诸方之和，在某些场合(如此处)其地位类似几何原本中的圆. (多项式和圆都有“神性”).
浓缩：
---- K°/p ≌ Kᵇ°/p.(para.3a)
---- Kᵇ = lim<K, x ↦x^p.(para.3b)
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