《素数谜题的综合思路与求解》（浓缩版）

素数谜题求解的根本出路，是要揭开素数在数轴上的分布规律。但这个规律既无法直接表述，也没有所希望的那么简单，它是通过一个、一个、又一个简单的合数分布规律、叠加、渗透在一起眏衬出来的。一旦揭开了这个谜，素数在数轴上的分布状态便心知肚明、有章可循了；一个个素数谜题便迎刃而解了。

对于 $%u30100%uFF0Cx%u3011$ 素数谜题在 $[0,x]$ 区间上的答案，第一，需要进行理论证明的、只是 $x$ 足够大条件下的答案，因为 $x$ 较小条件下的答案、都已被实践所证实。第二，这些谜题都是只需要定性地回答出有还是无就足够了。即对于足够大的 $x$ ，只要能够回答 $[0,x]$ 上至少存在多少个即可，不要求回答 $[0,x]$ 上准确有多少个。

上述这两条、显然放宽了对证明的限制、降低了证明的难度。在整个推导和证明过程中，只需坚守“宁缺毋滥”、“宁可多删三千，绝不错留一个”这一个原则即可，因此，对筛除过程中的存留量，允许三番五次地取其不足近似值，以便转换数学模型；建立通用表达式；简化运算过程；绕开截取无限小数的运算误差之干扰；获得存留量的下界底线之连续函数表达式；最终通过求极限完成证明。

筛选素数的实践证明：即使用每个奇素数 $p_{i}$ 筛网、都进行“双筛”（即每筛掉一个数，再株连掉与之关联的另一个数），存留量依然是随着 $x$ 递增的。这是因为其存留率依次是 $\tfrac{1}{3}$ 、 $\tfrac{3}{5}$ 、 $\tfrac{5}{7}$ 、 $\tfrac{9}{11}$ 、...，其中最小的也不小于 $\tfrac{1}{3}$ 。即使屡次将 $\tfrac{p_{i}-2}{p_{i}}$ 用其不足近似值 $\tfrac{p_{i-1}}{p_{i}}$ 取代（如将 $\tfrac{9}{11}$ 用 $\tfrac{7}{11}$ 取代），也只是减小了存留量的递增速度而已，并未改变其递增这一属性。所以，存留量之计算值、虽然因为屡屡取不足近似值、而严重“缩水”，却始终未改其随 $x$ 递增的基本属性，这为理论证明保留下了无懈可击的证据。但计算值却因为“缩水”而远远小于其真值、小得离谱，只能称其为真值下界之底线。它们分别是： $[\sqrt{x}-1]$ 、 $[\tfrac{\sqrt{x}}{2}-\pi \left ( \sqrt{x} \right )+1]$ 、 $[\tfrac{\sqrt{x}}{4}-\pi \left ( \sqrt{x} \right )]$ 。

（1）. $[0,x]$ 区间上的素数数目 $\pi \left ( x \right )$ 、不少于 $[\sqrt{x}-1]$ 个。即：

                  $\pi \left ( x \right )\geqslant [\sqrt{x}-1]$  

   （素数数目 $\pi \left ( x \right )$ 之底线、随着 $x$ 无限地增大，这证明素数有无穷多个）

（2）. $[0,x]$ 区间上“孪生素数对”数目 $R\left ( x \right )$ 、不少于 $[\tfrac{\sqrt{x}}{2}-\pi \left ( \sqrt{x} \right )+1]$ 对。即：

                  $R\left ( x \right )\geq [\tfrac{\sqrt{x}}{2}-\pi \left ( \sqrt{x} \right )+1]$

  （当 $x=64$ 时, $R\left ( x \right )$ 底线开始大于1，且随 $x$ 递增，这证明“孪生素数”有无穷多对）

（3）.任意偶数 $x$ 的“素分割对”数目 $\lambda \left ( x \right )$ 、不少于 $[\tfrac{\sqrt{x}}{4}-\pi \left ( \sqrt{x} \right )]$ 对。即：

                  $\lambda \left ( x \right )\geqslant [\tfrac{\sqrt{x}}{4}-\pi \left ( \sqrt{x} \right )]$

（当 $x=2\times 10^{4}$ 时, $\lambda \left ( x \right )$ 底线开始大于 $1$ ，且随 $x$ 递增，这证明大偶数都能写成两素数之和）

  对（2）,（3）根据文献《初等数论》379页“素数虽有无穷多个，但由式（31）知， $\lim_{x\rightarrow \infty }\tfrac{\pi \left ( x \right )}{x}=0$ ，所以，正整数中绝大多数是合数，素数只有很少一部分。”中的“ $\lim_{x\rightarrow \infty }\tfrac{\pi \left ( x \right )}{x}=0$ ”即可证得:

  $\lim_{x\rightarrow \infty }\tfrac{\pi \left ( \sqrt{x} \right )}{\sqrt{x}}=0$ ;     $\lim_{x\rightarrow \infty }R\left ( x \right )\geqslant \lim_{x\rightarrow \infty }\tfrac{\sqrt{x}}{2} \rightarrow \infty$ ;     $\lim_{x\rightarrow \infty }\lambda \left ( x \right )\geqslant \lim_{x\rightarrow \infty }\tfrac{\sqrt{x}}{4}\rightarrow \infty$

（内容见附件）新建(浓缩） Microsoft Office Word 文档 (3).pdf