偶数x的[1+1]数目 注定是x的递增函数

          筛法核心算式给定了[1+1]数目底线为(四分之一根号x)                

    （哥德巴赫猜想及偶数x [1+1]数目之下限等于(四分之一根号x)的证明提要）

[1]. 设x为任意偶数，不大于x的正整数共有x个，它们全员参与、构成了x的 x/2 对[整分割对]。即：

 (x/2 + k) + (x/2–k) = x ,其中 k=0、1、2、……(x/2–1)

    显然，这x/2个[整分割对]囊括了x 的全部[素分割对]—[1+1]。x/2 便是筛选和计算 x [1+1]数目之基数。

 [2]. 对于筛选素数而言，（Pi平方）点才是第i层Pi筛网的第一个有效筛除点，其之前的筛点，除了Pi这一个是素数点外、其余的都是其重复无效筛点。

    在[0，x]区间上，用层数等于(小于根号x的素数数目n）的筛网筛除的话，因为（根号x）小于Pn+1、x小于Pn+1的平方，所以，Pn+1筛网的第一个有效筛点——（Pn+1平方）点，还在[0，x]区间之后，在[0，x]区间上，仅用前n层筛网、就恰好能筛掉全部合数、从x/2对[整分割对]中，筛选出x的全部[1+1]素分割对。这些素分割对数目之下限，等于（四分之一根号x ）。

[3]. 用最小的P1=2的、第1层P1筛网筛除时，“筛一减一”称为“单筛”，其筛除率为1/2。存留下来的[奇分割对]、是由仍旧等间距均匀分布的奇数所构成的，其数目至少是x/4对；最多是(x/4+1/2)对。

[4]. 再用第2至n层、奇素数Pi筛网筛除时，“筛一减二”称为“双筛”，其筛除率各为2/Pi。最终存留下来的完整分割对，就是偶数x的[1+1]素分割对。其数目之下限，等于（四分之一根号x ）。

在用潘承洞的《初等数论》378页式（28）给出的筛法核心计算式（见附件中的注释（2）），计算[1+1]数目之下限的过程中，步步为营，每步只取其真值或不足近似值。对于(n-1)个分式(Pi -2)/Pi的连乘积，用前一个分式的分母Pi置，置换掉不小于Pi的、后一个分式的分子(Pi+1-2)。然后再与前一个分式的分母Pi约分。如此“置换相约”后，分母中就只剩下最后那个分式的分母Pn、未被约掉。再用不小于Pn的（根号x),置换掉分母中的这个Pn，再分子中的x相互约分，分母中的全部Pi 、便都被约分掉了。

这种“置换相约”的运算技巧，仅以多次取不足近似值为代价，一箭三雕：（1）消除了因分子不能被各Pi整除、而产生的小数误差。从而，可以绕开对小数误差界值不大于n的证明（所以本提要省略了误差不大于n之证明），完成对“猜想”课题的证明。

理论和实践已经证明，一旦x=P1*P2…Pn 、约掉了分母中的各个Pi，算式的计算值与真值、便不差分毫了，小数误差便不复存在了。例如x=P1*P2*P3=30时，计算值等于8、真值也为8。（这8个存留数字依次是:  1、7、11、13、17、19、23、29）。

（2）消除了数值计算中，因素数倒数1/Pi中、除1/2和1/5外，其余都是无限小数，从而产生正、负不定的截断误差。这避免了在数值验证中、因此产生虚假计算值、扰乱视听的问题。

（3）使得自变量回归为只有 x 这一个，从而使推导的[1+1]数目之下限，成为了x的一元连续函数。这便使得连续函数的所有数学成果，都能够应用于这个离散数学课题——哥德巴赫猜想的证明之中。

[5].促使偶数x[1+1]数目、随x递增的主要正面因素，是其筛选基数x/2，是x的线性递增函数。而其唯一的负面因素，则是其筛网的层数n,也是x的递增函数，从而使总筛除率、及需要减掉的误差之界值，也都成为了x的递增函数。

[6].但是，因正面因素x/2是x的线性递增函数，其增长梯度是（x/2）的一阶导数（1/2），是永恒不变的常数。而由于（根号X）的一阶导数，是（2乘根号x的倒数）、是随x递减的；而且还因为（小于根号x的素数数目）n、与(根号x）之比的极限，是趋于0的。 这便决定了负面因素n的函数曲线,是持续向下弯曲的,即n随x增长的梯度、是递减的。(查对附件原文的数学表达式）。

  正面增长梯度不变；负面增长梯度递减，从而，x足够大后，正面因素、终将持续地超越负面因素，使[1+1]数目之底线，成为x的递增函数（四分之一根号x)。所以，足够大的偶数，必然存在着[1+1]，已不足为虑了；而较小偶数有[1+1]存在，又早已被实例所证实，更不足为虑。这便定性地证明了、哥德巴赫猜想命题。

[7].用“置换相约”的运算技巧；或先证明误差不大于n，再用取极限的方法，分别消除掉误差n的困扰之后，这二者所得的[1+1]数目之下限，都是（四分之一根号x)，便是上述定性证明的数字化结果。该结果进而证明：x 仅增大至16、就已属“足够大”了，大于16的所有偶数，无不存在着[1+1]。这便是任意偶数x的[1+1] 数目之底线等于（四分之一根号x)的例证无穷尽、反例无处寻、趋于稳准狠的根源之所在。

注释：

（1）“置换相约”运算技巧，会使下限计算值缩水。当Pi和Pi+1为孪生素数时，Pi =(Pi+1 - 2)，二者置换并无缩水，所以，Pi较小时筛除率高、影响大，但因孪生对这时较多，反而使置换计算值缩水较小、更切近真值；但Pi较大时，孪生对相对较少、缩水积累量较大，计算值就更小于真值了。另外，能整除x的Pi越多，无需双筛的情况就越多，真值超出底线值的数量就越大。如：30的[1+1]共有4对，而底线只是1对。这些情况、在例证中都有可能反映出来，无需困惑。

（2）资料来源于科学网；期刊：《世纪之星》、《数学学习与研究》、《内蒙古科技》、《中国教育教学杂志》、《教育学研究》；专著：《破译哥德巴赫猜想之谜》。

附录：偶数x [1+1]数目之下限为（四分之一根号x)的例证：

为验证偶数x的[1+1]数目之下限为（四分之一根号x),将该下限等于1、2、3、4、5时，所对应的最小偶数x=16、64、144、256、400之全部 [1+1]实例、及其数目与其下限、罗列如下以供验证：

16=3+13=5+11,【2>1】；

64=3+61=5+59=11+53=17+47=23+41,【5>2】;

144=5+139=7+137=13+131=17+127=31+113=37+107=41+103=43+101=47+97=61+83=71+73, 

【11>3】;

256=5+251=17+239=23+233=29+227=59+197=83+173= 89+167=107+149；【8>4】

400=3+397=11+389=17+383=41+359=47+353=53+347=83+317=89+311=107+293=131+269=137+263

=149+251=167+233= 173+227,【14>5】.

888888zishu 文档 (2) (1).doc

      小于（根号x)的素数,并非是准素数，其所构成的[1+1]理应扣除掉，扣除之后实例数目与之下限比较结果为：

      16【1=1】；64【3>2】； 144【9>3】；256【7>4】； 400【11>5】。