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图1. 万圣节礼物:从三维人脸曲面到平面圆盘的调和映照。
物理上,调和映射极小化弹性形变势能,因而物理意义明确;偏微分方程理论证明了调和映照的存在性,唯一性,正则性,稳定性和光滑性;有限元方法保证了离散解到连续解的收敛性;数值计算方法的共轭梯度法保证了调和映照计算的高效性;微分几何保证了调和映射的共形不变性和微分同胚性。因此,调和映照简单直观,理论完备,在工程实践中被广泛应用。
同时,调和映照是一个极好的例子,从理论到实践,横跨物理学,偏微分方程理论,有限元理论,数值计算,微分几何等诸多领域,使我们能够融会贯通,体会到这些领域各有侧重,同时相辅相成的关系。
如图1所示,人脸曲面到平面区域的调和映射,可以表示成坐标映射,这里是相互独立的调和函数。如果坐标分量函数彼此不独立,则调和映照称为共形映照。下面,我们首先考察调和函数。
物理 黎曼考察了这样一个物理问题:(Dirchlet问题)假设是平面中的有界区域,由某种电阻率处处相同的材料制成。我们在的边缘处设置电压,问内部电压函数是多少?
根据物理定律,内的电场诱导电流,电流发热做功,那么真实可能的电压函数必定使得发热功率最小。电流强度正比于电压梯度,电阻率处处相同,因此电流发热功率可以表示成所谓的调和能量:
,
如果函数极小化调和能量,则我们称其为调和函数。
我们进一步考察调和函数应该满足的条件。令试探函数为在边界上取值为0的无穷阶光滑函数。假设,则对一切,的调和能量在为0的时候取到极值,因此
,
由关系式
,
我们得到
由斯托克斯定理和,我们有
,
因为h任意,因此我们得到调和函数的欧拉-拉格朗日方程
,
即所谓的Laplace方程。这里Laplace算子的物理意义是梯度的散度。
事实上,热力学问题中稳衡温度场,弹性力学中橡皮膜的弹性位移,扩散过程中的化学浓度都是调和函数,都满足Laplace方程。
黎曼认为调和函数u的存在性是不证自明的,因为在以上电场模型中,它是唯一可能的真实电压。1849年,Riemann提出所谓的Dirichlet原理,即上述变分问题总是有解的。将解析函数看做特定的场分布,他用这一原理研究几何函数论,“证明”了著名的Riemann映射定理。
偏微分方程理论
然而几年之后,Weierstrass以反例说明一般情况下的变分问题未必有解,Dirichlet原理也因而 被数学界搁置了近半个世纪。
在线性空间上定义内积,
自然地,我们可以在取一系列调和能量递减的函数,构成柯西列,我们希望这一序列的极限就是调和函数。但是函数空间是不完备的,柯西列的极限有可能不属于。恰如有理数构成的柯西列,其极限有可能是无理数。这需要我们扩充函数空间,使得极限运算封闭。
存在性 一个经典扩充方法如下:如果两个柯西列的并集依然是柯西列,则我们说这两个柯西列彼此等价。我们考察空间中所有柯西列的等价类构成的空间,则这个空间必然对极限运算封闭。这一过程被称为是原来空间的完备化。例如,有理数的完备化就是实数。函数空间的完备化就是索伯列夫空间(Sobolev Space) 。那么,我们不断地减小调和能量就会得到柯西列,柯西列的极限依然在空间中,我们称之为弱解。这给出了Laplace方程解的存在性。
正则性 但是弱解在空间中,有可能极度不光滑。我们需要证明弱解实际上是经典解,恰如我们证明某个有理数柯西列的极限依然是一个有理数,这被称为是方程解的正则性问题。正则性微妙地依赖于边界的光滑性,和边值条件的光滑性。正则性证明依赖于Weyl引理:如果
对任意成立,则可推出u光滑,这里探测函数空间
。
因此,弱解就是经典解。
唯一性 我们考察调和函数u的梯度场,因为为0,所以的旋度和散度同时为0. 我们将旋转90度,所得矢量场记成,那么的旋度和散度也为0,因此可积, 存在函数,满足。那么v被称为是u的共轭函数,它们一同组成解析函数:。由柯西积分公式,
,
这里是以a为圆心的小圆。因此,我们得到调和函数的均值性质(mean avalue property),调和函数的每一点的值都是其邻域内所有点的值的平均。由此,我们可以得到调和函数的极大值定理:调和函数的极值点必在边界上。
我们用极大值定理来证明解的唯一性。假设存在两个调和函数具有同样的边值,则也是调和函数,并且边值为0,因此的极大值和极小值都为0,必处处相等。
稳定性 所谓稳定性就是解连续依赖于初边值条件。在柯西积分公式中,我们取积分路径为的边缘,则任意一点的函数值等于边界值的加权平均,稳定性由此可以得证。或者,我们用调和函数的极大值定理来证:内点处调和函数值之差介于边值之差的最大和最小值之间。
由此,偏微分方程理论给出了Laplace方程解的存在性,唯一性和稳定性,满足这三条性质的问题被称为是适定问题。同时,由Weyl引理,我们得到调和函数是无穷阶光滑的。
图2. 曲面的三角剖分。
有限元方法 偏微分方程理论给出了指导,下一步我们需要真正将调和函数计算出来。有限元方法将曲面或平面区域三角剖分,形成三角网格,然后在网格上构造分片多项式函数。
有限元法将椭圆型偏微分方程(如Lapalce方程)转换成等价的变分形式(调和能量优化),将线性偏微分方程转化为线性方程组来求解。
有限元法需要强有力的网格生成算法,对所用网格质量有一定要求。对于平面区域,最为通用的方法当推Delaunay Refinement算法,如果不存在过于尖锐的内角,则三角剖分的最小内角可以被保证。如果三角剖分质量达到要求,则离散解收敛到连续解,考虑函数值和一次导数,解的误差界为,这里为三角形边长。
矩阵运算 通过有限元法,椭圆形偏微分算子被转化成正定对称阵,椭圆形偏微分方程被转化成求解大型稀疏线性系统,这进一步被转化为优化二次能量,
。
二次能量的水平集为椭球面。传统的最速下降法沿着梯度探索,因此算法的搜索方向和椭球面垂直,搜索路径蜿蜒曲折,费时低效。
图3. 最速下降法和共轭梯度法对比。
共轭梯度法每一步的下降方向和椭球面切方向相互共轭(仿射正交),也跟以前所有下降方向共轭,从而直达椭球中心,直截了当,迅速高效。理论上,如果矩阵为n维,则共轭梯度法必在n步内达到最优。
微分几何下面,我们再从微分几何角度来考察。假设曲面带有黎曼度量,我们采用等温参数,
,
则梯度算子,这里是欧式平面上的微分算子;面积元,这里是欧式平面上的面积元。我们来看调和能量
,
这意味着调和能量在共形变换下不变。我们再看调和函数,
,
这意味着调和函数在共形变换下不变。这为计算带来极大的便利。比如我们可以将曲面片用保角变换映到单位圆盘上,然后在单位圆盘上解Dirichlet问题。在圆盘上,关于Laplace方程的解我们有解析解:Poisson核为
,
调和函数的公式为
。
对于一般的椭圆型偏微分算子,
,这里矩阵
处处正定。从几何上讲,我们可以找到一个定义在上的黎曼度量,使得椭圆型微分算子是度量下的Laplace算子。进一步,我们可以找到度量的等温坐标
,
则微分算子成为标准的Laplace算子,
。这意味着椭圆型PDE本质上和Laplace方程是一致的,只不过变换了度量和参数。
工程领域 调和映照之所以在工程领域备受青睐,除了算法简单,计算稳定之外,主要是因为它具有微分同胚性质,即下面的Rado定理:假设调和映射满足
平面区域是凸的,
映射在边界上的限制是拓扑同胚,
那么调和映射在内部是微分同胚。
其证明概略如下:由Weyl引理,我们得到映射的光滑性,我们证映射为同胚。假设在某一内点,映射不是同胚,则Jacobi矩阵退化,存在常数不同时为0,使得,因此调和函数以p为极值点。因为调和函数的极大值原理,内点p必为鞍点。p点附近的水平集具有两个连通分支,和边界有四个交点。但是为平面凸曲线,和直线只有两个交点,矛盾。因此映射必为微分同胚。
图3. 调和映射是微分同胚,并且接近共形映射。
工程上偏爱调和映照的另外一个原因是调和映射接近保角映射,因此曲面的角度畸变比较小,如图3所示。通常意义下,共形映射是调和映射,调和映射不一定是共形映射。
总结讨论
共形映照是具有巨大实用价值的曲面映射方法,几乎所有几何处理软件,三维游戏引擎都有实现,例如暴雪公司的游戏引擎。拓扑圆盘的调和映照是一个非常简单而精巧的例子,贯通了物理,偏微分方程理论,有限元,矩阵计算,微分几何等诸多领域,使我们能够领略不同领域的思想方法,核心技术。
我们会进一步讨论复杂拓扑曲面的调和映射的理论和算法。
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