在工程和医疗领域，计算曲面间的映射一直具有核心的重要性。无数实际的应用，其内在根基都在于寻求高质量的曲面映射。例如计算视觉领域的三维人脸识别，动漫动画领域中的表情跟踪和提取，数据科学中的几何数据分类和检索，医学图像领域的肿瘤检测，脑神经科学中阿兹海默症的诊断，等等。

在计算数学，工程科学，医学图像领域，有关曲面映射的算法文章汗牛充栋，各种流派，各种体系，各执一词，莫衷一是。学术界经常你方唱罢我登场，各种名词概念，理论体系，令年轻学子无法辨认，无从判断。这给他们的求学和科研带来繁重的精神负担和思想混乱。

其实，各种算法都是人为的(artificial)，而自然界(nature)是独一无二的，与其不知所云，不知所终地盲目追随别人，还不如溯本求源回到自然，探究一下从拓扑和几何角度来看，有关曲面映射的理论基础如何。真正掌握数学实质之后，评判现存的算法就变得简单明晰，洞若观火了。

我们用和来分别表示源曲面和目标曲面，来表示映射。令表示源曲面的局部坐标，表示目标曲面的局部坐标，映射的局部表示为。我们考察所有拓扑同胚构成的集合，记为，先从拓扑角度，再从几何角度来讨论。

拓扑-映射类群

假设曲面具有复杂拓扑，我们将曲面映射根据同伦进行分类。间的任何同胚都可以分解成两个同胚和的复合，当遍历曲面的自同胚中的所有同伦类时，复合映射将遍历同胚中的所有同伦类。因此，我们只需要理解曲面自映射的同伦类。中所有的自映射同伦类在复合意义下成群，记为曲面映射类群(Mapping Class Group)，记成。

我们首先考察圆柱面的情形， , Dehn 扭曲是一个保持边界不动的映射,

,

图2. Dehn扭曲。

假设是曲面S上一条简单非平庸的闭曲线，简单意味着曲线不自相交，非平庸意味着曲线不能缩成一点，则在曲面上的一个邻域是拓扑柱面。我们构造曲面的自同胚，使得在之外是恒同映射，限制在上是如上的Dehn扭曲。直观上，我们将S沿着曲线切开，这样新产生两个边界联通分支，然后将一个边界联通分支的邻域拧转角度，再将两个边界联通分支重新粘和，如此得到的映射就是，

图3. 曲面上关于简单闭曲线的Dehn扭曲。

实际上，沿着不同的简单非平庸的圈的Dehn扭曲生成了曲面映射类群。Humphries 在1979年证明了亏格为的闭曲面上2g+1条曲线对应的Dehn扭曲就足以生成。

图4. Humphries Dehn扭曲生成元。

如上图所示，简单非平庸闭曲线对应的Dehn扭曲是群的生成元。

群面映射类群的关系式非常复杂，我们以后专门撰文详细阐述。目前，在工程和医疗领域，曲面映射类群的算法研究依然一片空白，理论研究走在了工程实践的前面。

几何-映射的分类

在下面的讨论中，我们总是假设所讨论的映射在同一个同伦类中。

我们用活动标架法，曲面S的结构方程为：

曲面T的结构方程为：

刚体变换

如果是中的旋转和平移，则具有相同的第一基本形式和第二基本形式。假设是目标曲面上一阶微分式，

映射将拉回到源曲面上，

，简写为

。

则是刚体变换，当且仅当

，

并且

。

等距变换

如果是等距变换，则保持任意两点间的测地距离。例如，我们将一张纸卷成圆柱面，主曲率，平均曲率发生变化，但是高斯曲率不变。解析表达式如下：诱导的拉回度量等于初始度量，

，

或者用活动标架法，

。

如果用张量表示，我们有

。

等距变换保持高斯曲率，一般而言，等距变换非常罕见。例如，我们无法将半个桔子皮平铺在桌面上。

保角变换

假设是微分同胚，是原曲面上曲线，相交于点。在交点处，曲线的切向量交角为。将曲线映成目标曲面上的曲线，相交于，并且曲线在处的交角也等于，

。

如果上式对应一切可能的曲线都成立，则映射被称为保角变换，或者共形变换。

图5. 保角变换保持角度不变。

保角变换解析表达式为:拉回度量和初始度量相差一个标量函数，

，

这里被称为共形因子，用来表达面积的变化率。局部上看，保角变换是无穷小相似变换，将无穷小圆映成无穷小圆，从而局部保形，因此保角变换又被称为共形变换。

图6. 保角变换保持无穷小圆。

如图5，我们将人脸曲面映到平面圆盘，然后在平面圆盘上铺上棋盘格，拉回到人脸曲面上，棋盘格角点处的直角被保持，如图6左帧所示；如果我们在平面圆盘上铺上圆盘填充(circle packing)，拉回到人脸曲面上，平面上的每个圆还是被映成曲面上的圆，如图6右帧所示。

图7. 九如图。

图9. 九如图的共形变换。

我们将国画《九如图》经过保角变换映到平面圆环上，虽然每条鱼的大小发生畸变，但是鱼的形状被保持。这演示了保角变换的共形性。

平面区域间保角变换的保形性容易理解，曲面间保角变换的保形性相对费解。我们以图10为例加以说明，我们将米开朗基罗的大卫王头像共形变换到平面上，在平面图形上，原来雕像的眼睛耳朵，发旋都可以清晰地辨认出来，其局部形状被完美保持。

图10. 曲面间共形变换的保形性。

曲面微分几何中最为辉煌壮观的定理当属统一化或单值化定理，这一定理断言所有封闭紧曲面都可以共形地映到常值高斯曲率曲面，换言之，所有曲面的万有覆盖空间都可以共形地映到三种标准曲面中的一种：球面，欧式平面或者双曲圆盘。如果曲面亏格为0，则曲面可以保角地映到球面；亏格为1，曲面的万有覆盖空间映到欧式平面；亏格大于1，曲面的万有覆盖空间映到双曲空间，如图11所示。

图11. 封闭紧曲面统一化（单值化 uniformization）定理。

单值化定理对于带边界的紧曲面也是成立的，在这种情形，所有的边界被映为测地圆，如图12所示。

图12. 带边界紧曲面的统一化（单值化 uniformization）定理。

一般情况下，保角变换形成的空间是有限维的。

保面积变换

假设是微分同胚，保面积变换保持曲面的面元。解析表达式为：拉回度量行列式的值等于初始度量行列式的值，

  。

保面积变换非常多，所形成的空间一般是无穷维的。如果采用最优传输理论来解保面积映射，则结果实唯一的。

图13. 从曲面到平面的保面积变换。

如果一个微分同胚既是保角变换，又是保面积映射，则此映射必为等距映射。

拟共形变换

任给两个拓扑同胚的曲面，它们之间不见得存在保角变换，如图14所示。

图14. 同一张人脸，不同表情，曲面之间不存在保角变换。

保角变换将无穷小圆映成无穷小圆，如图6所示；一般的微分同胚都把无穷小圆映成无穷小椭圆，如图15所示。在每一点，椭圆的偏心率和主轴方向可以用所谓的Beltrami微分表示。映射和其对应的Beltrami微分彼此相互决定。如果偏心率有界，则映射被称为是一个拟共形映射。紧曲面间的一切微分同胚都是拟共形映射。因此，拟共形映射涵盖几乎所有实际问题中的曲面间同胚。

图15. 拟共形变换。

泰希米勒变换

如果两个同胚的曲面间不存在共形变换，那么在所有拟共形变换中存在唯一的一个最为接近共形映射的映射，就是所谓的泰希米勒映射(Teichmuller Map)。无穷小椭圆偏心率的最大值被称为映射的最大伸缩商。

泰希米勒映射极小化最大伸缩商，在每一个映射的同伦类中存在并且唯一。泰希米勒映射使得所有无穷小椭圆的偏心率都相等，如图15所示：输入的两张人脸曲面上带有特征点，因此不存在保角变换使得所有相应特征点对齐，但是存在唯一的泰希米勒映射。泰希米勒映射和曲面的全纯微分具有深刻的联系。

图15. 带特征点的人脸曲面间的泰希米勒映射。

调和映照

如果我们将源曲面想象成由橡皮膜做成，目标曲面由大理石做成。源曲面被映射映到目标曲面上面，并在目标曲面上贴着目标曲面自由滑动，则橡皮膜弹性形变的能量被称为是映射的调和能量。调和映射是使得调和能量达到极小者。

调和能量与源曲面上的共形结构及目标曲面上的黎曼度量有关。如果源曲面是拓扑圆盘，目标曲面是平面凸区域，并且调和映射在边缘上的限制是拓扑同胚，则在内点处，调和映射必为微分同胚。如果目标曲面的黎曼度量诱导处处为负的高斯曲率，丘成桐先生证明，映射度(mappingdegree)为1的调和映射必为微分同胚。这里映射度的概念解释如下：映射

诱导了同调群间的同态，，，整数被称为是映射度。直观上，映射度表明了映射将源曲面覆盖目标曲面多少层。

共形变换必为调和映照，反之则不尽然。如图16所示，女孩人脸曲面通过调和映照映射到平面圆盘。我们可以看到，平面上的无穷小圆映到曲面上并不一定是无穷小圆，因而调和映射不一定是保角变换。

图16. 调和映射不一定是共形变换。

但是对于亏格为0的封闭曲面，调和映射必为共形映射，如图17所示。

图17. 对于亏格为0的封闭曲面而言，调和映射和保角变换等价。

调和映射和泰希米勒映射之间存在深刻的关系：如果我们变换目标曲面的共形黎曼度量，使得相应的调和映射的调和能量达到极大，则所得的调和映照必为泰希米勒映射。

各种映射之间的关系

刚体变换群是等距变换群的子群，等距变换群是共形变换群的子群，共形变换群是拟共形变换群的子群。共形变换群和保面积变换群的交集为等距变换群。共形变换群是调和映射群的子群。拓扑球面的调和映射是共形变换。共形变换是泰希米勒变换。

算法理论基础

共形变换的理论基础来自于共形几何，包括黎曼面理论，代数曲线理论，Ricci流理论等；拟共形变换的理论基础来自于拟共形几何；泰希米勒映射的理论基础来自于泰希米勒空间理论；调和映照的理论基础来自于调和分析；等面积映射的理论基础来自于最优传输理论。

从计算角度而言，目前主要的有水平集(level set )法，数字几何方法（或相近的有限元法）和基于流体力学的LDDMM(Large Deformation Diffeomorphic Metric Mapping)方法。水平集法将曲面用隐函数来表示，用偏微分方程来驱动曲面的形变。这种方法的优点是不需要曲面参数化，同时曲面的拓扑变化非常容易处理。但是这种方法需要曲面在中嵌入，形变过程中不出现自相交。LDDMM方法在曲面嵌入的背景空间中设计矢量场，背景空间沿着矢量场形变，由此得到背景空间的单参数微分同胚群，从而带动嵌入曲面的形变。这种方法灵活多样，同时给出所有曲面组成的形状空间的一种黎曼度量，可以用来进行形状比较和分析。与水平集方法类似，LDDMM需要曲面的嵌入信息。水平集法和LDDMM都无法计算非同痕曲面间的微分同胚, 如图18所示。换言之，我们无法将左帧曲面连续变形到右帧曲面，同时形变过程中不自相交，因此水平集法和LDDM方法对此无能为力。

图18. 同胚但不同痕的曲面。

我们在考虑图11,12所示曲面单值化定理，在高亏格曲面的计算过程中，会出现曲率处处为负的黎曼度量，这种度量无法在中实现，因此

水平集法和LDDM方法无法直接应用于曲面单值化的计算。

数字几何的方法用多面体网格来逼近光滑曲面，即所谓的三角网格，曲面的嵌入表示成顶点的位置，曲面的度量表示成边长。计算既可以是外蕴，也可以是内蕴，即不需要顶点位置信息，一切计算都是基于组合结构和边长信息。虽然这种计算方法对三角剖分有一定要求，但是基于这种方法的内蕴特性，我们未来将主要应用数字几何方法。

讨论

我们看到，寻求曲面间满足特定要求的映射是一个具有挑战性的问题。基于不同的侧重点，多种数学理论被发展起来，所用的方法相差很远，例如调和映照理论和最优传输理论。很多问题本质上是高度非线性的，例如最优传输映射是基于所谓蒙日-安培方程，但是其变分形式对应着凸能量；求解泰希米勒映射问题既是非线性的，其变分形式又是非凸的。

在丘成桐先生的领导下，经过长期艰苦的努力，对于如上讨论的映射，我们团队建立了相对成熟的离散理论和计算方法，在后面的讨论中，我们会逐一详细讲解。同时，在探索过程中，我们也看到了许多问题的内在难点，愿意和大家分享，共同促进这一领域的长足发展。