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清华笔记：计算共形几何讲义 （23）离散曲面曲率流 （Discrete Surface Ricci Flow）V
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前面我们介绍了离散曲面的曲率流理论，曲面上配备着欧氏度量带有奇异点。这次，我们介绍双曲离散曲面的曲率流理论。对于欧拉示性数为负的曲面，其单值化度量自然是双曲度量。双曲度量具有非常多的优点，因此在工程实践中起到了非常根本的作用。
例如双曲度量下，每个曲线同伦类中存在唯一的测地线，两条封闭曲线同伦当且仅当它们可以同伦变换成同一条测地线，因此可以将拓扑问题转化成几何问题。再如，如果源曲面和目标曲面同胚，目标具有双曲度量，那么调和映照存在并且唯一，并且调和映照为微分同胚。这在曲面配准问题中，具有重要作用。
计算曲面双曲度量的最为简单方法就是双曲离散曲面的曲率流方法。
双曲背景几何
图1. 多面体曲面。
图2. 常曲率测地三角形。
双曲离散曲面曲率流
图3. 双曲三角形。
图4. 广义双曲四面体。
双曲离散曲率流的拓扑应用
图5. 亏格为2的曲面上的双曲度量。
图6. 最短词问题。
图7. 将基本群基底同伦变换成测地线。
图8. 亏格为2的曲面的双曲度量，及其万有复迭空间的等距嵌入。
双曲共形模
图9. 亏格为3的曲面的共形模计算。
总结
Reference
M. Zhang, R. Guo, W. Zeng, F. Luo, S-T Yau and X. Gu, The unified discrete surface Ricci flow，Graphics Models Vol 76 (5), Pages 321-339, 2014.
X. Gu, R. Guo, F. Luo, J. Sun and T. Wu, A discrete Uniformization theorem for polyhedral surfaces II, Journal of Differential Geometry, 2016
(arXiv:1401.4594)
https://blog.sciencenet.cn/blog-2472277-1206270.html
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