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庞加莱的洞察-同伦群的概念

已有 11718 次阅读 2015-10-18 07:56 |系统分类:科普集锦


“假如有一只具有高度智慧的蚂蚁,生活在一张曲面之上,无法跳离。终期一生,这只蚂蚁从未离开过曲面,他也从未有过三维的概念。那么,这只蚂蚁能否判断他所生活的空间是否存在一个高维的“洞”,换言之,他所生活的曲面是更象球面,还是更象轮胎?”


当然,您可能对这个问题嗤之以鼻,因为相对于蚂蚁,我们人类能够看到第三维啊!有没有“洞”,一目了然。且慢,我们生活在四维时空之中,我们没有高维的概念,那么我们整个宇宙是否存在更高维的“洞”呢?从这一点而言,我们和蚂蚁没有本质的差别。



图1. 拓扑球面和拓扑轮胎面。


这是现代拓扑学之父庞加莱(Henry Poincare)曾经深入思考过的问题。如上图所示,小猫曲面具有一个环柄,具有三维的“洞”。那么,这个“洞”是因为曲面嵌入在三维欧式空间中所产生的吗?换言之,这个“洞”是曲面和三维空间的相对关系,还是曲面自身内蕴的特性?


图2. 拓扑轮胎曲面上,存在无法缩成点的圈。


经过深入地思考,庞加莱洞察到如下的基本事实:拓扑球面上所有的圈都能在曲面上逐渐缩成一点,拓扑轮胎上存在某些圈在曲面上无论如何都不能缩成一点。如此一来,那只聪明的蚂蚁就有方法判别曲面的拓扑:判定曲面上所有的封闭曲线是否能够缩成点!蚂蚁的判断方法不依赖背景的三维空间,蚂蚁从来也没有意识到背景空间的存在。这意味着,曲面拓扑的判断不依赖于它所嵌入的背景空间,轮胎上的“洞”是曲面内蕴的特性。庞加莱将这一思想深入提炼,发展出了同伦论。


概念


我们考察曲面上的道路,如果两条道路具有相同的起点和终点,并且一条道路能够在曲面上渐变成另外一条道路,则我们说它们彼此同伦,如图3。


图3. 道路同伦。


如果道路的起点和终点重合,则我们称之为环路。我们在曲面上选定一个基点p。考察所有从基点出发,又回到基点的有向环路,将它们进行同伦分类。

  • 定义有向环路的乘法:两条环路首尾相接,构成一条更长的环路,则更长的环路为原来两条环路之积,如图4。

  • 能够缩成基点的环路被视作单位元。

  • 一条有向环路方向取反,所得的逆向环路被视为原来环路的逆元,如图5。



图4. 环路乘积。红色的环路是两个黑色环路的乘积。


可以直接验证,所有过基点的有向环路同伦等价类,在连接操作(乘法)下成群。这个群被称为是曲面的基本群,一维同伦群,记为


图5. 环路取逆。红色的环路是黑色环路的逆。


表示


拓扑空间的同伦群的概念虽然直接,但是依然抽象,我们需要更为具体实际的表示方法。一般的方法是用同构的一个群,所谓的“词群”,来表示。


首先,假设我们给定一组“字母”,例如所有的英文字母,字母组成了词。两个词拼接成一个更长的词,这定义了词的乘法。显然,“空词”是这个乘法的单位元。同时,每个字母可以求逆,例如互为逆元,它们之积为空词,即单位元。这样,所有的词在拼接的乘法下构成了一个群。这个群是由所有英文字母所自由生成的。


假设,存在一组特殊的词,“关系",它们等价于空词。给定一个词,我们可以对其进行如下基本操作:

  1. 在任何位置插入一个关系词,或关系词的逆,

  2. 如果在词中,存在一个子词等于某个关系词,或关系词的逆,去掉这一子词。

给定两个词,如果我们能够将其中的一个经过有限个基本操作变成另外一个,则我们说这两个词彼此等价。


所有词的等价类,在拼接操作的乘法下成群,被称为“词群”。一个词群的符号表示为 {生成元,关系词} 。


可定向性


曲面的可定向性是曲面的一个基本拓扑性质。圆柱面是可定向的,莫比乌斯带是不可定向的,如图6所示。圆柱面有两个侧面,内侧和外侧,莫比乌斯带只有一个侧面。曲面的可定向性可以由如下的组合方法来判定。我们任取曲面的一个三角剖分。每个三角形面有两个定向,表示为两个相反的法向量。给定法向量,我们可以确定三条边的定向,使得它们和法向量满足右手定则。这种边的定向方式被称为是由面的定向所诱导的边定向。如果一条边和两个面相邻,则我们称之为内边。如果对每个面我们能够选择一个法向量,使得每个内边的两个诱导定向相反,则曲面是可定向的。反之,如果我们无论如何找不到这种面的定向方式,则曲面不可定向。


图 6. 可定向和不可定向曲面。





典范表示


在可定向的紧曲面上,存在基本群的生成元:

满足如下条件:

这里代表环路a和环路b的代数相交数。所谓代数相交数可以如下理解。如果环路a和环路b横截相交于一点q, 并且a的切向量叉积b的切向量和曲面在q点的法向量一致,则q的指标为+1,如果相反,则指标为-1。

如果环路a和环路b在点q相切,则q点的指标为0. 环路a和环路b的代数相交数等于所有交点的指标之和。


这种基本群的生成元被称为是基本群的典范基底。我们可以将曲面沿着一族典范基底切开,得到单连通的4g边形,所得的区域被称为是曲面的一个基本域,如图7所示。基本域的边界是

,

边界可以缩成一个点。


图7. 基本群的典范基底。


曲面上任何一条环路可以经同伦变换,使得它和典范基底只相交于基点。然后,将此环路最终分解为多个子环路的乘积,每个子环路只经过基点一次。在基本域上,每个子环路是连接两个角点的道路。道路可以同伦变换到基本域的一段边界上,由此子环路可以由及其逆生成。这证明了是基本群的生成元。因此,曲面基本群的典范表示是:

.

这里,g被称为是曲面的亏格,其直观意义是曲面上“环柄”的个数。每个环柄上有一对经度环路和纬度环路


应用


庞加莱证明了二维曲面拓扑同胚,当且仅当它们的基本群同构。比如,如果一个封闭曲面的基本群平庸(只有一个单位元),则此曲面必为球面。庞加莱相信这对于三维流形也是对的,但是他无法给出严格证明,这就是著名的庞加莱猜测。


历经百年,庞加莱猜测被证实。三维流形拓扑同胚,当且仅当它们的基本群同构。比如,给定两个扭结,我们判断能否将其中的一个不剪断变成另外一个,这被称为是扭结同痕问题。


图8. 扭结同痕问题。


原则上,扭结同痕问题可以如下解之。我们在三维空间中挖去扭结,则补空间为三维流形。若扭结同痕,则其补空间的基本群同构。


以后我们能够看到,计算基本群的一个词群表示只需要线性时间复杂度;但是,通常来说,判定两个词群是否同构是NP难问题。这意味着本质上拓扑问题是极其非平庸的(highly non-trivial)。




【老顾谈几何】邀请国内国际著名纯粹数学家,应用数学家,理论物理学家和计算机科学家,讲授现代拓扑和几何的理论,算法和应用。







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