现代科技颠覆着经典的几何拓扑学习方法，最为有效的途径是阅读思考，设计算法，编程调试，观察结果，从动手实践中掌握理论。您可以一边运行演示程序，一边阅读理论解释，视觉直观将会令您迅速精通同伦群组合算法的要义。

给定一个拓扑空间M, 其基本群表示为{生成元，关系}。这里，我们详细讲解如何计算基本群的一种表示，给出严密的理论证明，并且给出这种算法的源代码和几何数据。

图1. 嵌在球面上的平面图。嵌入由组合Ricci流方法得出。

图的基本群

首先，我们考虑最为简单的情形：拓扑空间为一个图（Graph），记为G(V,E)，这里V是顶点集合，E是边的集合。图中任何非平庸的环路都无法缩成一个点，因此图的基本群是自由生成的，其关系式为空集。首先，我们计算G的一个生成树（Spanning Tree）T，即T是G的一个不含任何环路的子图，同时T包含所有顶点。那么GT由一些边组成，我们称之为“余边”：。

每一条余边和生成树的并集包含唯一的一条环路，那么图G的基本群就是由这些环路生成，

。

注意，这里余边是有定向的，相应的环路也有定向，并且环路的定向和余边的定向相一致。

假设是图上的一条定向环路，由一系列有向边次第连接而成，

,

我们在序列中去掉所有的非余边，得到

,

则的同伦类为

。

曲面的基本群 （火烧法）

直观描述 给定曲面M，我们假想曲面上长满了枯草。我们任选一个基点p，从基点处点燃枯草，火焰在曲面上逐渐蔓延。火焰的前沿在曲面上不停地拓展，两道火焰相遇而熄灭。火焰熄灭的轨迹成为曲面上的一个图，我们称之为曲面的割迹(Cut Locus)，也称为曲面的割图（Cut Graph），记为G。火焰扫过的区域是一个单连通的拓扑圆盘（topological disk)，我们称之为曲面的一个基本域(fundamental domain)，记为。假设图G的基本群为

,

基本域的边界是一条环路，这条环路在割图G上，是包含映射，其在中的词表示为。那么，曲面M的基本群为

。

算法描述 问题的关键是计算割图G。曲面被三角剖分，而被表示成为三角网格，仍然记为M。

1. 计算网格的对偶，顶点的对偶为面,面的对偶为顶点,边的对偶依然为边，

2. 计算对偶网格的生成树，

3. 割图G由所有其对偶不在的边组成，

      。

我们将网格沿着割图G切开，就会得到基本域D。然后，我们调用图的同伦群算法，计算割图的生成元，和基本域边界的表示，分别得到的生成元和关系式。

图2. 亏格为2的曲面上的割图，正反视图。

图3. 曲面基本群的一组基底。

一般拓扑空间

一般拓扑空间的基本群计算主要是基于CW-胞腔分解。所谓k维CW-胞腔，就是k维拓扑圆盘。例如0维胞腔是点，1维胞腔是线段，2维胞腔是拓扑圆盘，3维胞腔是实心球体，等等。我们用来表示第i个k维胞腔。假设M是一个n维流形，其CW-胞腔分解可以如下递归定义：

1. 零维骨架是一族离散点

   

2. 第k维骨架是（k-1)维骨架和一族k-维胞腔的并集，并且每个k-维胞腔的边界在（k-1)维骨架上，

3. 第n-维骨架等于原来的流形M, 。

图4.亏格为1的曲面的CW-胞腔分解。

假设流形M的二维骨架

,

一维骨架的基本群为自由群：

每个2维胞腔的边界在中的表示为，则流形M的基本群为

。

实际上，曲面的火烧法就是计算曲面的一个CW-胞腔分解，割图G是1-骨架，基本域D是2维胞腔。

理论证明

这里介绍的同伦群的组合算法是基于Seifert-van Kampen定理，这个定理的实质是分而治之的策略。就是将原来流形分解成子流形，分别计算每个子流形的基本群，然后将子流形的基本群拼成原来流形的基本群。

我们将原来拓扑空间M分解成U和V的并集，;U和V的交集为W，，这里U,V和W都是道路联通空间。是包含映射。选取基点,每个子空间的基本群是

,

那么原来拓扑空间的基本群是

。

Seifert-van Kampen定理是说并集的生成元等于生成元的并，并集的关系式等于关系式的并加上交的生成元。

我们来看曲面情形，曲面分解为基本域D和割图G的并集，基本域D和割图G的交集是一条环路同伦于基本域的边界, 为包含映射。由Seifert-van Kampen定理

，

因此。

算法总结

流形同伦群的组合算法是基于流形的三角剖分和CW-胞腔剖分的。算法简单直接，具有线性复杂度，但是结果并不唯一。以火烧法为例，起始点的选取，生成树的选取都会影响最后同伦群基底的结果。事实上，同一曲面的同伦群基底可以有无穷多组。为了减少歧义性，我们可以在曲面上配上某种特殊的黎曼度量，并且要求所有基底环路都是测地线。换言之，我们可以用几何手段做拓扑问题。以后我们会详细讨论。

演示实验

【老顾谈几何】邀请国内国际著名纯粹数学家，应用数学家，理论物理学家和计算机科学家，讲授现代拓扑和几何的理论，算法和应用。