一个拓扑空间中从基点出发的所有道路同伦等价类构成的空间就是万有覆盖空间; 将道路同伦类映到道路终点的映射就是投影映射。万有覆盖空间的基本群平庸（单连通），但是其对称群（保投影的自同胚群）却同构于底空间的基本群。底流形间的映射可以被升腾为覆盖流形间的映射，例如底空间的环路可以被提升为覆盖空间中的道路，这极大地简化了拓扑复杂度。万有覆盖空间的应用，使得我们对许多拓扑问题有了更为深刻的洞察，更为简洁凝练的语言，和更为强有力的手法。可谓，只有站得更高，才能看得更远。

基本概念

直观而言，覆盖映射局部是拓扑同胚，但全局是多对一的映射。

假设和是拓扑空间，是连续满射，对于任意一点，存在一个开集，使得

满足，如果，同时映射的限制是拓扑同胚。那么，我们说是一个覆盖映射，是底空间，是的覆盖空间。

构造方法

抽象构造方法：假设是一个流形，固定基点，我们考察流形上

所有从基点出发的道路

,

然后将这些道路依据同伦分类，得到同伦类集合,

。

我们在中引入拓扑。给定任意一点,  道路的终点为。取以为中心的一个开球，考虑开球内从中心出发的道路集合,

我们定义中的开球为 。所有这样的开球构成的一族拓扑基，因此也成为一个流形。

投影映射将道路同伦类映到道路的终点：

。

在这种构造下，是底流形的万有覆盖空间。这种构造方法过于抽象，很难直观想象。下面我们给出另外一种更为直接了当的构造方法，这种方法依赖于典范基本群基底的选取。

组合构造法 假设是一个高亏格封闭曲面，固定基点，我们计算其基本群的一组典范基底，

,

我们将曲面沿着典范基底切开，得到单连通的基本域

,

则基本域的边界为

。

我们将许多基本域的拷贝沿着相应的边界逐片粘和起来，粘和过程中保证所得曲面一直是单联通的。最终我们所得的曲面被称为是原来曲面的万有覆盖空间。如图1所示，对于亏格为1的曲面，其万有覆盖空间可以配上一个平直黎曼度量，从而铺满整个欧式平面；对于亏格为2的曲面，其万有覆盖空间可以配上一个双曲度量，从而铺满整个双曲平面（欧式单位圆盘）。

图1. 亏格为1曲面的万有覆盖空间。

提升和升腾

我们考察万有覆盖空间，我们称底空间为楼下，覆盖空间为楼上。楼下的一条环路能够被提升为楼上的一条道路。

是楼下的一条环路，是楼上的一条道路，楼上道路的投影等于楼下的环路：，换言之，上面的图表可交换。

图2. 环路提升。

如图2所示，我们在楼下找一族开覆盖

,

在楼上找到每个开集的原像，, 并且 ，则存在唯一的道路, 覆盖环路。通常情况下，楼下的一条环路可以提升为楼上无数条道路。如果我们固定提升道路在覆盖空间中的起点，则提升道路唯一。

同理，我们可以将曲面间的映射提升到覆盖空间之间，称为升腾：

图表可交换：。

拓扑,代数关系

我们考察万有覆盖空间，底空间（楼下）上任取一点, 其在覆盖空间（楼上）上的原像为离散点集

被称为是对应的轨道。考察楼上任意一条道路，起始于，终止于同一轨道内的另一点，

，

那么其投影必为楼下的一条环路。楼上两条这样的道路同伦，当前仅当它们的终点重合。投影映射保持同伦，楼下起始于基点的两条环路，如果它们同伦，则其提升道路同伦，因此提升道路具有同样的起止点。我们由此得到：楼上的轨道和楼下的基本群同构。

考察楼上所有这样的自同构，它保持投影映射不变，这样的自同构被称为是覆盖空间的甲板映射

甲板映射使得上面的图表可交换。所有的甲板映射构成群，称之为甲板映射群：

。

投影映射诱导了覆盖空间的基本群到底流形的基本群的同态，其同态像是底流形基本群的正规子群，商群同构于覆盖空间的甲板映射群，

。

这一公式对于底空间的任意覆盖空间都成立，万有覆盖空间是一特例。楼下基本群的任意正规子群都对应着一个覆盖空间。

直接应用

同伦检测 在计算拓扑中，判定两个复杂环路是否同伦是一个饶有兴味的问题。

图3. 同伦检测。

我们可以将底流形上的环路提升到万有覆盖空间的道路， 然后判断这些道路是否起止于同样的点。

不动点类问题

假设是拓扑复杂曲面的自映射，如果存在点, 使得，那么被称为是映射的不动点。如果我们同伦变换映射，使得不动点个数减少，那么不动点个数的下界是多少？这个问题非常艰深，借用万有覆盖空间理论，我们可以给出初步答案。

我们将映射升腾, 那么升腾并不唯一。升腾的不动点一定覆盖原映射的不动点；同时，对于原来映射的任何不动点，一定存在一个升腾，这个升腾的不动点覆盖原映射的不动点。

楼下的两个不动点等价，如果存在一个升腾，升腾的两个不动点分别覆盖这两个楼下的不动点。这样，我们将楼下的所有不动点分类。同一等价类的不动点可以经过同伦变换映射而融合。如果，等价的不动点具有相反指标，则它们融合后可以彼此相抵相消。因此，不动点个数的下限等于总指标非零的不动点等价类的个数。我们以后会详细讨论，如果对更为深入的理论有兴趣，请参阅江泽涵先生的专著《不动点类理论》。

模空间

给定拓扑曲面具有负的欧拉示性数，其上所有可能的双曲度量构成的空间被称为是曲面的模空间(Moduli Space)。模空间的拓扑结构非常复杂。模空间的万有覆盖空间被称为泰希米勒空间（Teichmuller Space）。泰希米勒空间因为拓扑结构简单，成为为人们研究共形结构和低维拓扑的有力工具。曲面所有自同胚的同伦等价类成群，被称为曲面映射类群。泰希米勒空间的甲板映射群就是曲面映射类群。泰希米勒空间是流形，曲面映射类群作用在泰希米勒空间上有不动点，因此模空间不是流形(Manifold)， 而是Orbifold。曲面映射类的不动点所对应的双曲度量对应着特殊的黎曼面，这些黎曼面具有非平凡的共形自同胚。

【老顾谈几何】邀请国内国际著名纯粹数学家，应用数学家，理论物理学家和计算机科学家，讲授现代拓扑和几何的理论，算法和应用。