什尔尼科夫方法是判断一类三维连续系统能否具有斯梅尔马蹄映射的方法。这类系统具有鞍焦型同宿轨道。所谓鞍焦点是指系统的平衡点在一个方向上发散而在另外两个方向上盘旋收缩，即此平衡点对应的线性化系统有一个正特征值和一对有负实部的共轭复特征值。鞍焦点具有一维的不稳定流形W^u和二维稳定流形W^s。若鞍焦点的一维不稳定流形W^u上的相轨迹G当t®±￥时进入二维稳定流形W^s，则称该相轨迹为鞍焦型同宿轨道，如图1所示。在鞍焦型同宿轨道上，当t®±￥时相轨迹G都进入稳定流形，从而都趋于鞍焦点。因此，在时间的不同方向上有相同的归宿。1965年，L.P. 什尔尼科夫 (Silnikov) 证明了对于存在鞍焦型同宿轨线的系统，如果鞍焦点的正实特征值大于共轭复特征值实部的绝对值，则在该鞍焦型同宿轨线附近可构造庞加莱映射，使之具有斯梅尔马蹄映射的性质。

鞍焦型同宿轨线示意图

上述结果可以用数学公式具体表达。研究具有鞍焦点的三维连续系统。将坐标原点移到该鞍焦点，并进行坐标的线性变换简化系统的线性部分。不失一般性，设简化后的系统为

其中非线性函数函数P、Q、R及其导数在原点处均为零；a、b、l为参数。因此原点为系统的平衡点。若设a<0和l>0，则原点为系统的鞍焦点。进一步假设系统存在当t®±￥时都趋于原点的鞍焦型同宿轨道 G。在特征值满足l>-a>0时，可以在G附近构造庞加莱映射，使之具有斯梅尔马蹄映射的性质。

斯梅尔马蹄映射具有非周期性和初值敏感性，可以认为在数学意义上存在混沌，因此什尔尼科夫方法也是一种解析预测混沌的方法。需要注意的是，什尔尼科夫方法只保证庞加莱映射有混沌性态的不变集，但该不变集未必具有吸引性，或者虽然具有吸引性但只有很小的吸引盆。当混沌不变集无吸引性或者吸引盆很小时，在实验或仿真中往往观测不到什尔尼科夫方法所预测的混沌。

扩展阅读

L.P. Silnikov. A case of the existence of a denumerable set of periodic motions. Sov. Math. Dokl., 1965, 6: 163-166.

力学百科条目：小引

非线性动力学(特长条)

混沌(长条)

初值敏感性 (短条)

洛伦茨方程(中条)

范德波尔方程(中条)

自激振动(中条)

跳跃(中条)

厄农映射(中条)

横截同宿点(中条)

斯梅尔马蹄映射(中条)

李雅普诺夫指数(中条)

非线性模态(中条)

斯梅尔-伯克霍夫同宿定理(短条)

梅利尼科夫方法(中条)

《中国大百科全书(第3版网络版)》“什尔尼科夫方法”