揭示横截同宿点伴随的动力学行为的定理。定理具体内容为：设f是具有双曲鞍点和横截同宿点的可逆光滑映射，则f的迭代fⁿ有双曲不变集Λ，且fⁿ在Λ上拓扑等价于两个符号所成空间上的移位映射。

H. 庞加莱最初发现了横截同宿点导致的复杂行为，后来经过G.D.伯克霍夫的研究，最后由S.斯梅尔对其机制给出了透彻的阐述。虽然该定理是斯梅尔在20世纪60年代提出并证明的，其实里面包含着庞加莱和伯克霍夫的贡献。有些文献也称其为斯梅尔-庞加莱定理。

两符号空间是由0和1两个数构成的无穷序列的全体的集合，在该集合中可以定义距离而成为度量空间。移位映射是将作为符号空间元素的每个序列中数字向左移一位，该映射可逆，即是将每个序列中数字向右移一位。移位映射虽然简单，但具有混沌映射的典型性质：(1) 存在稠密的轨道，即沿着该轨道可以任意接近空间中每一点，这表明具有不可分解性；(2) 存在稠密的周期轨道，这表明不是完全的随机而含有规律性的成分；(3) 具有对初始条件的敏感依赖性。有趣的是，可以证明，具有性质(1)和(2)就必然具有性质(3)。因此，移位映射是混沌映射。

斯梅尔-伯克霍夫定理表明，具有横截同宿点的映射是混沌映射。可以证明，斯梅尔马蹄映射与移位映射拓扑等价，因此它也是混沌映射。

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《中国大百科全书(第3版网络版)》“斯梅尔-伯克霍夫同宿定理”