马格努斯著《振动：振动问题理论方法引论》¹ (以下简称《振动》)是部很有特色的振动教材。动力学领域三位著名德国学者Müller, Pfeiffer和Schiehlen称“物理的阐述、数学的明晰和许多优美的实例使得该书在过去50多年取得巨大的成功。”²《振动》1961年初版，随后1969、1976、1986年的第二、三、四版都只有微调。1997年第五版增加了合作者波普，也增加了连续体振动、混沌振动等内容。书名改为《振动：振动问题的物理基础和理论方法引论》³。2002年和2005年的第六版和第七版没有大的变化。2008年，两位作者都已去世，第八版起新增加作者赛克斯特罗。2013年和2016年分别出了第九和第十版。第十版的书名改为《振动：基础-模型-实例》⁴。本文主要说明早期版本的内容和特色，也简介最新版本的增加内容。

1 《振动》的内容和特点

 马格努斯著《振动》的早期版本(前4版)共分六章。第一章为振动的基本概念和表征，解释了时间历程、相轨迹、幅频响应、相频响应等概念，还说明了振动的分类，固有振动(eigenschwingungen，就是自由振动)、自激振动、参激振动、受迫振动和耦合振动。随后五章就是依次阐述这五类振动。自由振动分别讨论了有阻尼和无阻尼两种情形，都是先线性再非线性。自激振动先通过实例分析自激的机理，然后从能量和相轨迹角度分析，再引入分析方法近似求解范德波振子，最后介绍张弛振动。参激振动先从能量角度说明参数变化导致变长度摆运动幅值改变，然后以马休方程为例研究线性参激振动系统稳定性边界，最后再以变长度摆为例解析地讨论非线性参激振动。受迫振动先讨论线性系统对周期激励、脉冲激励、任意激励、随机激励的相应，并说明了共振的工程应用；非线性振动部分主要讨论无阻尼的分段非线性系统和有阻尼的立方非线性系统，说明跳跃现象和多频响应；最后简介了受迫自激振动系统，说明了锁相现象。上述四种振动的阐述都是对于单自由度系统。耦合振动部分研究多自由度系统，但只限于线性振动；先分析两自由度系统的实例，然后针对多自由度系统引入了主坐标、主振动并推导了正交性，最后通过离散链系统取极限导出弦线方程并用分离变量法求解。

该书的突出特点是物理图景清晰。强调振动的物理机制，因此按照自由振动、自激振动、参激振动和受迫振动四种情形展开叙述。优点是视野比较开阔，不必局限于线性的情形。当然，从教学上考虑，该书把这种处理只用于单自由度系统。理论上，耦合振动并不是与前述四种振动机制平行的一种振动机制。多自由度系统的振动机制也是前述四种之一或者组合。该书的另一特点是分析方法多样，用比较直观的相轨迹法分析自由振动和自激振动，还用精确的解析方法分析线性振动、无阻尼非线性自由振动和非线性参激振动，更有用非线性振动的主流方法近似解析方法分析各种振动。具体地，谐波平衡法应用于无阻尼自由振动和自激振动，等效线性化应用于弱阻尼自由振动和受迫振动，摄动法应用于参激振动和受迫振动，李兹-伽辽金法和慢变振幅法应用于自激振动。该书还有大量的例子，不仅有机械系统的例子，还有电路系统和受控系统的例子。另外还有60余道习题并有答案。《振动》一书，篇幅紧凑，简明扼要，全书正文连同习题解答和索引等只有251页(大32开本)。

第五版以后的版本，主要是增加了连续体振动和混沌振动的内容。原书单自由度部分的前5章仅有个别改动。例如，把不太常用的固有振动换成了自由振动(freie schwingungen)。讨论有限自由度系统的耦合振动部分稍有扩展，补充了多自由度系统的响应计算，结合实例介绍了加权殘数法、传递矩阵法和有限元法。新增加的连续体振动一章，包括波动方程描述的弦线、杆和轴振动，梁，对初值和外激励的响应，近似方法。新增加的混沌振动一章，离散时间系统介绍虫口模型和庞加莱映射，连续时间系统介绍保守系统、横截同宿和梅尔尼科夫方法、耗散系统和吸引子以及周期和混沌运动的特征，最后是干摩擦振子和达芬振子的例子。最新的第十版除了内容微调外，主要是参照出版社Springer要求做体例调整。各章相对独立，将参考文献和习题答案都从书后移到各章之后。

2 《振动》作者马格努斯教授的学术生涯和科学贡献

1937年，25岁的马格努斯(Kurt Magnus)毕业于哥廷根大学，获得博士学位。学位研究课题为力耦合陀螺仪的振动。导师是惯性导航的先驱马克斯·舒勒(Max Schuler, 1882-1972，舒勒周期的发现者和舒勒调谐的设计者)和近代力学的奠基人普朗特(Ludwig Prandtl, 1875-1953)。学位论文1938年摘要发表于《工程档案(Ingenieur-Archiv)》(后来的《应用力学档案(Archiveof Applied Mechancis)》)。

接下来5年，马格努斯在舒勒的课题组工作，研究运动参考系中刚体一般运动，以此取得讲师资格(habilitation,有些类似美国高校体系中的博士后研究，是德式高校体系中的讲课上岗证)。资格论文1942年摘要发表于《应用数学和力学(ZAMM, Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik)》，世界上最早的力学期刊。随后任哥廷根大学讲师和但泽工业大学客座讲师。

二战中马格努斯参与军工相关项目研究。二战后作为技术专家被苏军押送苏联，从事火箭研究。他在自己的回忆录《火箭奴工：红色铁丝网后面的德国研究人员(Raketensklaven: Deutsche Forscher hinter rotem Stacheldraht)》(1993, 1999)中提到，虽然没有对苏联火箭事业做出重要工作，但熟悉了苏联学者关于非线性振动的工作。 1953年被释放，经过东德时拒绝了民主德国科学院和德累斯顿工业大学提供的学术职位，回到联邦德国。

1954年马格努斯在弗赖堡大学数学研究所任讲师。1958年接替理查德·格莱曼(Richard Grammel, 1889-1964，)担任斯图加特工业大学的力学教授。格莱曼是陀螺力学专家，所著《陀螺仪理论和应用(DerKreisel, Seine Theorie und Seine Anwendungen)》是该领域的重要著作，荣膺德国科学院院士和海德堡科学与人文学院院士。1962年柏林工业大学曾礼聘马格努斯去担任教授，但马格努斯没有接受。1966年起，马格努斯在慕尼黑工业大学担任教授和力学研究所主任，直到1980年退休。在1963至1980年间，马格努斯教授是德国力学旗舰期刊《应用力学档案》的主编。2003年在91岁高龄去世。在他百年冥寿时，《应用力学档案》发表了几位德国著名力学家联名追忆马格努斯的文章³。

马格努斯的在陀螺力学、非线性振动和控制、航天器动力学等学科做出诸多贡献。对陀螺仪的工程研究反映在早期的专著《陀螺(DerKreisel)》(1945,1955,1965)，后期的动力学研究总结于专著《陀螺：理论和应用(Kreisel: Theorie und Anwendungen)》(1971)(该书有汉译本⁵)。在非线性振动方面的工作主要是谐波平衡法的应用和发展，部分总结于专著《非线性振动和控制系统研究方法(überein Verfahren zur Untersuchung Nichtlinearer Schwingungs und Regelungs Systeme)》。马格努斯同时研究动力学和控制问题，被认为是机电学(Mechatronics)的先驱者。关于航天器动力学的代表性工作是提出了任意形状在轨卫星的稳定性判据，现在被称为马格努斯形状三角形。马格努斯受邀请在1964年第11届世界力学家大会上做大会报告，阐述这一突破性进展。

马格努斯被公认为是多体动力学这一分支学科的先驱者和奠基者。1972年，在德国宇航学会和应用数学力学学会在第15届应用力学和数学年会上，马格努斯被特邀以《多体系统动力学的进展》⁶为题，做了纪念普朗特报告。1977年，他组织了首次IUTAM多体动力学专题研讨会。随后主编了会议论文集《多体系统动力学(Dynamics of Multibody Systems)》⁷。《多体动力学(Multibody System Dynamics)》期刊专门发表文章⁸，纪念马格努斯百岁冥寿。

马格努斯不仅是杰出的研究者，也是优秀的教师。不仅有众多的德国和瑞士等德语国家的力学教授是他的学生。在教材建设方面取得很大成就。如前所述，《振动》是本经典教材，再三重版。1974年出版导论性著作《陀螺动力学》⁹，根据他1970年在意大利乌迪内的机械科学国际中心教授陀螺力学课程写成。尤其值得强调的是，他与缪勒合作编著的教材《工程力学基础(Grundlagender Technischen Mechanik)》(1974)，多次重版，到2009年已经出版了第7版。武际可教授从力学教材发展历史的角度称其为“力学教材的精炼化”的“代表性教材”，“用相当小的篇幅讲述了相当于理论力学、材料力学、弹性力学和流体力学的最重要的内容。”¹⁰张维院士组织清华大学几位教授将该书1990年第6版译成汉语¹¹。马格努斯为汉译本写了前言。

马格努斯获得了诸多学术荣誉。1982年获得德国航空航天学会路德维希·普朗特指环，该奖表彰在航天领域做出突出贡献的最高荣誉，每年一位，1957年首位获奖者是近代力学的奠基人冯·卡门。1983年获奥地利工业协会的威廉·埃克斯纳奖章，该奖表彰在研究和科学中做出卓越贡献者，每年不多于3位获奖。1986年，获巴伐利亚州颁发的巴伐利亚马克西米利安勋章，该奖表彰科学和艺术领域的杰出成就。1989年获德国工程师协会格拉晓夫纪念奖章，该奖是对工程技术方面做出贡献者所颁发的最高荣誉。

马格努斯体现了哥廷根学派的优秀传统，“最重要的任务是致力于理论与实验之间的平衡”¹²。同时，他也具有兼顾研究与教学以及科技与社会的卓越才能。顺便一提，笔者的导师刘延柱教授在1983年访问德国期间，曾在慕尼黑工业大学与马格努斯讨论陀螺力学问题。马格努斯已经荣休，但仍保留有办公室。就是在那次访问中，马格努斯赠送刘老师《振动》一书。

3 总结

本文说明德国经典教材《振动》及其作者马格努斯教授。该书56年前初版，目前有第十版。概述该书主要内容，说明该书具有物理图景清晰、分析方法多样、例题丰富和简明扼要的特点。简介了作者从师从名家到自成名家的职业生涯，在陀螺力学、非线性振动、航天器动力学和多体动力学领域的科学贡献，以及所撰写的优秀教材。

致谢：感谢刘延柱教授所提出的宝贵建议及其提供的信息资料。

参考文献

1 K Magnus. Schwingungen: EineEinführung in die theoretische Behandlung von Schwingungsproblemen (4 Auf.) [M]. Wiesbaden:Springer, 1986

2 P.C. Müller, F. Pfeiffer, W.Schiehlen. Kurt Magnus: Commemorating his 100th birthday [J]. Achieve of Applied Mechanics, 2012, 82: 1705-1708

3 K. Magnus, K. Popp. Schwingungen: Eine Einführung in die physikalischen Grundlagen und dietheoretische Behandlung von Schwingungsproblemen (5 Auf.) [M]. Wiesbaden: Springer, 1997

4 K. Magnus, K. Popp, W. Sextro. Schwingungen: Grundlagen – Modelle – Beispiele (10 Auf.) [M]. Wiesbaden: Springer, 2016

5 K. 马格努斯(贾书惠等译). 陀螺理论与应用[M]. 北京：国防工业出版社，1983

6 K. Magnus (刘延柱译). 多体系统动力学的进展[C].见：普朗特纪念报告译文集，一部哥廷根学派的力学发展史(张维等编译)，北京：清华大学出版社，2013:257-266

7 K. Magnus (ed.). Dynamics of Multibody Systems [C]. Berlin:Springer, 1978

8 P.C. Müller. Kurt Magnus: a pioneer of multibody system dynamics [J]. MultibodySystem Dynamics, 2013, 30: 199-207

9 K. Magnus. Gyrodynamics [M]. Wien: Springer, 1974

10 武际可. 对力学教材的几点看法[J]. 力学与时间，2000，22(5)：69-72

11 K. 马格努斯, H.H. 缪勒(张维等译). 工程力学基础[M]. 北京理工大学出版社, 1997

12 K Magnus (刘延柱译). 对联邦德国工程力学研究的看法和建议[J]. 力学进展, 1984,14(1): 67-69

发表于：力学与实践, 2017, 39(5): 489-491