丘成桐

谢谢各位领导，也很感谢诸位一早跑来听我这个演讲。今天我讲的题目是《数学、现代物理与对撞机》。

之所以要谈对撞机，是因为我近两年来，很希望中国能够引进实验物理最重要的项目——对撞机到中国来。因此，我跟我的朋友史帝夫·纳迪斯(Steve Nadis)写了一本书。这本书出了英文版，名字叫From the Great Wall to the Great Collider: China and the Quest to Uncover the Inner Workings of the Universe ，中文版再过一两个月也能出来。

我为什么选这个题目来讲？我是哈佛大学数学系和物理系的教授。三年前，哈佛大学物理系请我做他们的教授，主要是因为数学和现代物理都与我有很密切的关系。其实我与物理学界学者的关系有几十年了。但是我不是做实验的，我就是与理论问题有比较密切的关系。而对撞机是整个理论问题的最重要支柱，所以我们物理系的做理论物理的朋友们也都对它有很大兴趣，对在中国建一个巨型对撞机也是有很大兴趣的。

去年，我和诺贝尔物理学奖得主戴维·格罗斯(David Gross)在北京开会的时候，他建议我的书取“From the Great wall to the Great Collider”这个名字，因为伟大的实验要跟万里长城一样，万里长城是经过两千年慢慢构造完成的伟大建筑，巨型对撞机也要花很多时间。我们希望十几年能够建成，能建在山海关附近，但中国政府做对撞机的准备还不是很充足。

我们为什么要考虑建对撞机，因为它是世界有史以来最强大的机器，是全世界和我们国家实验物理学家一同来做的一个项目，可以讲是世界最大的机器。假如你去过日内瓦的欧洲核子研究中心(CERN)，会发现他们的机器真的蕴藏着伟大的结构，那是由七八千位物理学家一同做出来的机器。由于它的目标是揭示小的宇宙的奥秘，所以也是一个很重要的机器，是要研究整个物理学领域的机器。

从大自然倾听数学和物理的共鸣

我写的这本书有两百多页，最近由何红建教授和鲜于中之博士翻译成了中文。我们写这本书的目标不是为了赚钱，而是解释对撞机和基础物理学进步的关系。为什么人类有兴趣来研究最前沿的物理?因为它能满足人类了解世界永恒奥秘的期望。这也是我们科学家要做的很重要的事。

刚才讲过，我在哈佛大学不但是数学系的教授，还是物理系的教授，跟物理系的教授们有很多来往。我为什么要做这件事，因为从物理学里面，我们能得到很多有关的想法，而数学不能完全与大自然产生来往。

那些最原始的想法，有些从工业界来，有些从物理学界来，有些从数学本身来。可是物理学的想法是很重要的想法，同时通过我们数学上的想法，也可以解决物理学提出的很多问题。所以，我们一方面能从物理学得到原始的想法，一方面可以把数学应用到物理学上去。数学和物理这两种给人不同启发的学科，都是充满活力的领域，它们交接的地方是很重要的，因为它能产生很原始、很深邃的想法，往往令人激动。因为它是从观察跟了解自然界而得到的物理观念，它能够提供最漂亮、最有力的想法，这个想法不是自己闭门造车，或是跟几个朋友讨论就能够得到的。最重要、最原始的想法，往往不是凭想象就能想到的，而要从自然中得到灵感。

从古到今，数学与物理的源头就有千丝万缕的联系。在二十世纪以前，所有数学家都是物理学家，所有物理学家也是数学家，这是很重要的事情。为什么呢？从希腊的科学家开始，他们就是要找寻大自然里面的真跟美。而包括中国数学家在内的古代的数学家，尤其是印度数学家，还有解决与农业、天文有关的问题的需求，为此引进了很多数学方法。

举例来讲，中国地理学上的研究就是为了解决天文问题产生的。可是，希腊的数学家，他们看到数字跟几何的形象很漂亮，就用很严格的三段论证的方法推出了漂亮的理论，这两门学科到了今天产生了很多很重要的理论想法。两千年以后，我们很敬仰他们产生的想法，那些想法让我们印象深刻。所以数学这门学问跟时间、跟美学具有密切的关系。

那时候的古代学者，包括希腊学者在内，他们对自然现象，比如日月星球的运行有很大兴趣。中国学者对历法兴趣更大一点，所以他们对地球的直径、太阳和地球的距离都有兴趣。希腊的学者通过几何的方法，量出来太阳跟地球的距离。其实中国人也算过这个，但他们不认为地球是圆的，同时也算出了他们认为的天与地的距离。

古代学者还对流体、对机械、对物质的基本结构也有很大兴趣，其中最重要的一位希腊学者提出了原子理论。这个重要的理论产生了现代物理，一直沿用到现在。

数学求美也求真，也讲实用，所以跟求真的物理学有千丝万缕的联系。刚才讲过，所有好的物理学家都是好的数学家。反过来讲，好的数学家也是好的物理学家，十九世纪以前就是这样的。

比如说，牛顿是古往今来最出色的一位大物理学家和大数学家。而牛顿以外的很多学者也应用数学来解决很多重要的问题。例如，法国学者傅里叶，他提出的波的谱分析，影响了应用数学。其实纯数学里边的数论，大量地利用这个命题。到了二十世纪，量子力学也大量地利用这个概念。傅里叶这个波的谱分析就变成一个很重要的东西。

到了上世纪20世纪早期，数学基础的严格性受到质疑，于是数学家将数学公理化，使数学变得更为抽象。他们引进了很多名词跟符号，使得物理学家对现代数学有些受不了，因为太抽象了，所以数学跟物理学慢慢分家了。数学家看到物理学家，彼此不屑一谈，直到60年代末期，物理学家和数学家才开始互相了解。

事实上，物理学的两个支柱——广义相对论和量子力学，都要用到19世纪数学家发明的理论：广义相对论要用到黎曼几何，量子力学要用到谱分析理论。反过来，无论是广义相对论还是量子力学，它们对数学本身都有很深远的影响。一直到现在，这两个学科总是互相影响，所以数学跟物理的研究其实是水乳交融的，很难说哪个重要，哪个不重要。有很多物理学家有偏见，也有很多数学家有偏见，彼此认为对方并不重要，事实上这是不应当的想法。

丘成桐演讲现场（上海科协/供图）

卡-丘空间是如何诞生的?

我讲讲我自己的历史。

1969年，我到伯克利念书，1970年，我上广义相对论的课。我学这个课的时候觉得很有意思，觉得爱因斯坦提出来的引力的几何表述是一个很有意义的想法。物理全部可以用几何来表达，这对做几何学的我来讲，有无比的吸引力。

爱因斯坦认为引力场可以用时空的曲率来表示，引力本身其实就是时空的一部分，即时空几何的一部分。无论是从哲学的观念来看，还是从数学的观念来看，时空是几何的一部分，这是一个很深刻的理论。我们很想了解几何，爱因斯坦的这个想法使我想到，我们可以从物理的观点来了解数学。爱因斯坦认为时空在不停地扭动、不停地改变，它改变的原因是因为时空有引力，引力在不停地动。他的想法是时空里边有曲率，曲率是整个引力场的表现。

爱因斯坦讲，从引力场出来的一小部分曲率，即里奇张量，是由物质提供的，但这只是一小部分。

这个问题是很有意思的。因为我发觉这个问题原来是一个几何学家尤吉尼奥·卡拉比(Eugenio Calabi)提出来的。假如一个空间是真空的，就是没有物质，那么真空是不是没有引力场，这是一个问题，他用抽象的数学语言写下了这个问题。卡拉比从来没有想过物理的问题，他是纯粹以几何的观点来问这个问题。所以他的想法跟我当时的想法不一样，他是想解决几何上的问题，我是想解决物理上的问题。

物理上的问题就是，假如一个时空是真空的，是否含有引力场？卡拉比提出一个构想，是要解决一个很复杂的非线性方程。所以我当时就猜想，卡拉比猜想其实就是讲，我们在一个很特殊的空间里边，加一个对称性，这个对称性就是三十年来物理学家很感兴趣的超对称。在这样一个空间里边，我们可不可以找到一个真空的时空？

当时，有很多几何学家，包括我当年的很多朋友，认为卡拉比猜想太好了，不大可能成立，所以他们放弃了证明这个东西是对的。如果卡拉比猜想是对的，就有很多很好的数学上的结论。我当时跟我的很多朋友一样，不相信这个是对的。但是事实上，我经过很多困难，在想给出一个反例证明它不对的时候，终于经过六年的工夫最终发现它是对的，最后将它证明了。现在物理学家把它叫做“卡拉比-丘成桐空间”。

我问，一个真空的宇宙，假如没有物质，它有没有引力？结果现在发现很多空间是真空而有引力场的，这种空间，我们要怎么看？我当时跟很多有名的物理学家讨论过，他们不晓得这个事情。我跟他们讲，这个是很自然的想法，不可能在物理上不出现，但他们也没有什么建议。

到了70年代，人们发现自然界可以有一个所谓“超对称”的假想对称性，这是很微妙的事。不过四十年过去了，至今还没有实验证明超对称的存在。如果超对称存在的话，很多物理疑难会被解决。超对称的想法，刚好跟我做的卡拉比猜想有密切的关系，因为这个空间（卡拉比-丘成桐空间）刚好有超对称，可以解决很多物理上的疑难。

所以1984年的时候，物理学家来找我了。他们在找弦论里边的真空，考虑它的物理现象。他们发现寻找弦论里边的真空的时候，最美妙的就是找我们构造的空间，现在叫“卡拉比-丘成桐”空间，来作为弦论的真空。因此他们就来问我，究竟这个事情存不存在？他们当时想做个模型，这个模型要求既有超对称，同时又要是没有物质的真空，并且这个真空是个很小的空间。当时他们不晓得这个真空在数学上存不存在，所以打电话给我。我跟他们讲，这个是存在的，他们很高兴，写了好几篇文章。到现在至少有几千篇或者一万篇以上的文章，在用这个空间来讨论物理现象。

这个空间除了对物理有重要的启发以外，也对数学有重要的启发。其中一个重要的现象，是1989年我的一个博士后和一个研究生在哈佛发现的镜像对称性。镜像对称性不仅可以解决很多物理上的问题，也可以解决数学上的重要问题。

物理上的重要问题是什么呢？在量子场论里边，一般他们推导要用微扰理论来做计算，可是当不是微扰的时候，量子场论是完全没办法计算的。镜像对称性表明大变动的(非微扰)量子场论可以跟某一个微扰量子场论具有一样的结构，这个现象叫做对偶。所以困难的理论(非微扰量子场论)可以用对偶这样一个想法来计算。

镜像对称对物理而言是重要的想法，对数学也很重要。我们从这里可以看出，物理学对数学有很大的帮助。物理学家从他们的洞察力得出来的一些想法，能够帮助数学家走向重要的前沿。量子场论、量子力学本身并不是日常生活中能够天天碰到的经验。物理学家通过量子力学和量子场论得出来的这种洞察力，并不是普通数学家能够了解的。所以无论广义相对论也好，量子场论也好，物理学家得出来的想法并不是一般的数学家能够随便得出来的。因此在数学上有很多重要的工作，就是从这个方向来的。但是，假如基础物理没有实验的话，那么这些经验全部是假的。

所以，数学家不停地要理论物理学家来帮忙，理论物理学家不停地要求有实验物理学家来帮忙，这三者是连在一起的，不可分开。只是数学也可以不需要理论物理帮忙，数学本身可以有它存在的方法，而理论物理可以让数学更漂亮。但基础物理若没有实验证明，则是很不好的事情。

我为什么期望中国建巨型对撞机

那么我现在就来讲讲实验物理。其实我对实验物理完全不了解。我记得1990年我到日内瓦去，当时他们向我介绍了一个周长27千米的环形隧道，现在叫LHC，意思是“大型强子对撞机”，它在一个圆圈里边加速粒子。他们用了很多精深的说法，结合了几千个有学问的物理学家，包括理论物理学家跟实验物理学家，给我留下了深刻的印象。从一九八几年开始，又过了二三十年，直到前年，LHC终于实现了最伟大的承诺，就是发现了希格斯玻色子（Higgs boson），终于完成了粒子物理所谓的“标准模型”。这样，所有标准模型里出现的粒子都在大型对撞机里边完成了。

LHC局部

有时候，这个粒子被叫做“上帝粒子”，好几个物理学家都对它的发现做出了重要贡献，他们也因此得到了诺贝尔奖。所以在某种意义下，他们完成了一个很重要的理论，叫做标准模型。标准模型是很多学者一同完成的，不是一个人完成的。可以讲，标准模型是物理学上最成功的理论，它从量子力学和量子场论解释了很多重要的结果，对粒子物理是一个很成功的描述。但是整个标准模型，没有办法能去了解引力场。同时我们晓得，现在标准模型能够描述的粒子，只是我们在地球上看到的粒子，这些粒子占全宇宙物质的比例不超过5%，因此留下了到现在还是一个宇宙之谜的暗物质和暗能量问题。

所以除了现在标准模型能够解决的问题，还有很多难题需要解决。刚才讲的超对称，是整个弦论的主要基础，没有超对称，弦论会存在问题。此外我们还有很多不同问题也要去了解。

虽然现在我们已经找到了希格斯粒子，但还有很多问题没有解决，比如粒子之间是怎么运转的，怎么对撞的。这需要提高能量才能看到它们物理上的种种现象，而我们至少要做几十年才能够完成这些想法。

日内瓦的对撞机能量达到上限以后，就不可能再继续下去了，要重新再建一个能量更大的机器。我们期望这个机器能够建起来，能量能够提升五到十倍以上，所以整个轨道大概也要一百公里。大家希望在这个过程里能发现更深的物理，希望能找到超对称粒子。我想这可能会是21世纪最重要的科学发现。可是超对称是不是找得到，是个很大的问题。假如能够找到的话，我想这比起其他的科研还要重要，因为它能使我们对整个宇宙的结构有更深的了解。

到现在为止，人们还没有做好解答上述问题的准备，所以物理学家就提出建对撞机来研究这个问题，我们把它叫做巨型对撞机。有些中国的物理学家提出在中国建这个机器的可能性。

其实中国物理学发展五六十年来，也做了很多工作。一开始，1957年李政道和杨振宁提出了宇称不守恒。1976年，丁肇中找到新的基本粒子。上世纪80年代，邓小平支持建造正负电子对撞机，物理学家也进行了很多研究，留下了宝贵的经验。丁肇中领导了在太空里做的AMS实验，集中了全世界一大批科学家。我们最近也看到在大亚湾做出的中微子实验，成为国际上重要的成就，我对这个事情很钦佩。我自己是一个在中国出生的华裔学者，我当然期望领先的科学能够在中国产生，所以我跟中国、美国、欧洲的物理学家都谈过这个事情，很早就跟他们来往，期望能够在中国建起巨型对撞机。

我想只要实验做得好，中国的理论物理自然会有很高的提升。理论物理的提升会提升所有的科学。就好像当年量子力学成功以后，所有的科学都提升了一个层次，包括化学，包括生物学，包括所有重要的科学。量子力学的成功，使我们对自然的了解提升了一个层次。所以我想，只要这个实验能够做成功的话，整个中国得到的将不是普通的提升。

我也跟中国的领导人讨论过这个事情。去年我在北京的清华大学主持了一个世界上最顶尖的科学家参加的会议，里边有诺贝尔奖得主，也有很多不同的实验方面的重要代表人物，全世界的都来了。他们来讨论究竟在中国做这个机器的前景跟展望是怎么样的，同时让我们晓得下一代的机器有什么好处。我们讨论得很热烈。

后来，过了几个月，我同其他一些学者共同写了一封联名信，跟我们中央的领导提出要建这个机器，期望能够集中几千个好的物理学家跟工程师一同在中国做这个实验。但是有很多的问题要考虑，比如花这么多钱来建这个机器，究竟对社会有什么好处?实际上，建这个机器不但能提升整个中国的科学成果，它本身也是很重大的事情。另外，处理对撞机产生的数据，也会产生很重要的效果。中国最需要的是大数据研究，所以我们晓得这是何等的重要。

我们通过不同的渠道跟国家领导人提出建这个机器的请求，跟中央组织部部长、科技部部长和中国科学技术协会主席都谈过。我们讨论中间的困难，一个很重要、很值得鼓舞的事是他们没有反对，或者说没有直接反对。这么大型的机器，投资那么大，没有直接反对就是一个很好的开始。其实我觉得，如果中国现在能够有一个大型的合作，那么全世界的学者都会期望到中国来。

完成一个重大的事业是一个大国应当做的事情，这能够带来很多重要的成就，也是我们期望能够得到的。至于对撞机在什么地方做，是另外一个问题，事实上目前还没有决定。因为我们要建100公里长，所以需要很好的地质，在下面盖它的隧道，同时也要研究很强大的磁铁。为什么需要磁铁呢?因为粒子在隧道里边飞的时候，要有磁铁改变它的弯度，让它能够对撞。你想想看，小的让人看不见、小的不能再小的粒子，经过100公里碰在一起，这需要一个很精细的机器才能做得成功。所以我们需要制造精度空前的探测器和发展强化的数据处理、存储与传输的新技术。每个地方都会对中国有很大的贡献，这实实在在要从机器里面体现出来，并不是纸上谈兵，所以我想这是一个很重要的事情。

另一项关键的任务是解决主要的物理问题。投资其实并不是怎么太大的投资，因为投资会比北京奥运会还要便宜一点，所以是很值得我们去考虑的。尤其是，如果中国能够成为带领人类去了解宇宙奥秘的一个国家，我想这是很了不起的事情。

其实，宋朝以来，中国的科技并不比世界各国弱，只是近几百年以来落后了。中国经济今年成为世界第二了，我们一定要有个长远的计划。建大型对撞机对中国来讲，可以说是天赐良机，这就是要把全世界最好的科学家集中到中国来，也是中国跟全球的学者一同走向全世界科技学术的尖端。发展科技是我们祖宗两百多年来，从林则徐在广东销鸦片开始到现在都期望能够做成的事情。我期望在新的中国，在我国领导的强烈支持下，能够继续发展科技。

从我个人来讲，我希望看到中国提升自己在科学领域的世界声望。为什么全世界的科学家都把建大型对撞机这个事情看的这么重要？因为这对人类文明有很重要的意义和价值。我们期望研究宇宙的奥秘，我们期望向前走。任何一件大事都会有很多人反对，从牛顿以来，就有人反对。我记得一九八几年的时候，美国要建一个机器，当时投资了20亿美金，遭到很多物理学家反对，结果这个事情就停了。所以我期望中国以后不会对这个事情感到后悔。

这还是一个很高深的研究，从高能物理能够借此找到更深的研究方向的角度来讲，我想不出来有什么能够是比这个更高超的追求。从中国来讲，我刚完成这本书的时候就看到令人振奋的事情，第一个是屠呦呦得到诺贝尔奖，第二件是王贻芳领导的团队在大亚湾研究中微子的实验成果得到国际物理学界的肯定。

最后，我要做一个结论。从爱因斯坦得到数学家的大力帮助，找到黎曼的重要工作从而完成广义相对论开始，就可见数学对物理学的重大贡献。由于物理试验和天文观测的结果，正好是爱因斯坦广义相对论预言出来的结果，所以当时全世界所有的头条都是找到了广义相对论的证明。在这个背景下，一批几何学家带领完成了一系列的现代几何的奠基工作，推动了广义相对论的发展。

与此同时，外尔(Weyl)推动了广义相对论和电磁理论的发展。他经过十年的努力，完成了一个伟大的工作，发现电磁理论里的麦克斯韦方程其实可以看做规范场的一个表现，这个看法影响了二十世纪理论物理学和数学的发展。这归根结底是由于外尔当年想研究广义相对论和数学并将其推广到其他物质场而做成的。

事实上，到了1954年，米尔斯(Mills)和杨振宁将外尔理论里边的交换群改变为非交换群，这更成为整个粒子物理学标准模型的支柱。杨-米尔斯理论的数学基础是规范场，而规范场的基本理论是嘉当(Cartan)和陈省身得出来的，其中纤维丛的理论则起源于惠特尼(Whitney)和霍普夫(Hopf)。所以，爱因斯坦的影响非常深远，无论是在数学上，还是在物理上都产生了很重要的理论，因此说实验上的发现并不是很简单的事情。

近四十年来，量子场论跟弦论的兴起，使得数学焕然一新。我希望数学、物理跟加速器的发展会融合，并带动各个学科和人类文明的更新。假如在加速器里面能够发现超对称的话，整个世界的物理前沿跟数学前沿都会改变。所以我期望能够在中国建加速器。谢谢!