[打听，科普，数学] 素数（8）：素数间隙 prime gap 与 Cramer's Conjecture  (Cramér's Conjecture)

素数间隙： prime gap

素数计数函数： prime counting function

克莱姆猜想： Cramer's Conjecture , Cramér's Conjecture

一、素数间隙与黎曼猜想，Harald Cramér 1936

   网传：

   设 p_n 为第 n 个素数。假设“黎曼猜想 Riemann Hypothesis”成立，在 1936 年，Harald Cramér 证明了对于足够大的 n ，有

这里，C 是一个常数。

二、克莱姆猜想 Cramér's Conjecture 及其误差

   或者更正式地写为

图1  Cramér's Conjecture 的公式

https://mathworld.wolfram.com/images/equations/CramerConjecture/NumberedEquation1.svg

图2  Cramér's Conjecture 的误差

https://mathworld.wolfram.com/images/eps-svg/CramerConjecture_1000.svg

图3  7j9en.png

https://i.sstatic.net/7j9en.png

图4  Plot-of-maximal-prime-gap-size-as-a-function-of-prime-number-size-The-stars-are-the.webp

https://www.researchgate.net/publication/361299433/figure/fig1/AS:11431281186582331@1693953439528/Plot-of-maximal-prime-gap-size-as-a-function-of-prime-number-size-The-stars-are-the.png

图5  The-comparison-of-G-x-and-g-x-as-well-as-of-the-Cramer-conjecture-This-figure.png

https://www.researchgate.net/profile/Marek-Wolf-2/publication/48200444/figure/fig3/AS:306079339696134@1449986409408/The-comparison-of-G-x-and-g-x-as-well-as-of-the-Cramer-conjecture-This-figure.png

参考资料：

[1] bilibili，2022-03-14 14:11，黎曼猜想

https://www.bilibili.com/read/cv15653584/?opus_fallback=1

   大素数间隙猜想

   另一个猜想是大素数间隙猜想。哈拉尔德·克拉梅尔证明了：假设黎曼猜想成立，素数 p 与其后继者之间的间隙将会为

。平均来说，该间隙的阶仅为O(ln(p))，而根据数值计算结果，它的增长率并不似黎曼猜想所预测的那么大。

[1] 科普中国，2021-12-31，素数分布

https://www.kepuchina.cn/article/articleinfo?business_type=100&classify=0&ar_id=315801

   素数分布是数论中研究素数性质的重要课题。素数或称质数，是指一个大于1的整数，除1和它本身外，不能被其他的正整数所整除。研究各种各样的素数分布状况，一直是数论中最重要和最有吸引力的中心问题之一。关于素数分布性质，通过数值观察、计算和初步研究发现，素数分布是以黎曼公式为中心，高斯公式为上限的正态分布，这在现在来说是经验公式，待数学家给出严格证明之后才能成为数学定理。

   素数在自然数中占有极其重要的地位，但是它的变化非常不规则。人们至今没有找到，大概也不可能找到一个可以表示全体素数的有用公式。最初的研究方法，是通过观察素数表来发现素数分布的性质。

以前的《科学网》相关博文链接：

[1] 2026-03-11 23:01，[打听，科普，数学] 素数（7）：素数间隙 prime gap 之一

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1525421.html

[2] 2026-03-10 20:54，[打听，科普，数学] 素数（6）：不用黎曼猜想的“素数计数函数”2个估计

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1525254.html

[3] 2026-03-09 22:12，[笔记，科普，数学] 素数（5）：黎曼猜想 Riemann Hypothesis

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1525092.html

[4] 2026-03-08 21:01，[笔记，科普，数学] 素数（4）：素数定理，黎曼两个估计的误差

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1524948.html

[5] 2026-03-07 21:01，[笔记，科普，数学] 素数（3）：素数定理，高斯两个估计的误差

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1524859.html

[6] 2026-03-05 21:30，[笔记，科普，数学] 素数（2）：素数定理 prime number theorem 之一

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1524561.html

[7] 2026-03-04 15:36，[笔记，科普，数学] 素数（1）：算术基本定理 fundamental theorem of arithmetic

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1524368.html

[8] 2024-11-17 22:51，[数学文化，客观派，讨论] 欧几里得对“素数有无穷多个”研究的有效性

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1460458.html

[9] 2024-11-10 22:51，[数学文化，笔记] 素数有无穷多个之九类证明

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1459433.html

[10] 2024-11-02 22:49，[笔记，科普，资料] 素数 prime number 入门

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1458252.html

[11] 2013-07-23 11:51，孪生素数：相关介绍和链接

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-710546.html

[12] 2024-10-22 22:21，[打听，笔记] 推导符号公式的局限性：从数学、心理学到哲学

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1456506.html

[13] 2024-05-19 22:49，[羡慕，讨论，物理] 仅推公式就能得到成果的人

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1434748.html

[14] 2026-01-21 20:45，[往日（22）] 外国 Science 文献给出“人类最高成就”者的部分统计原因（相关性）：宽基础、重积累

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1519414.html

[15] 2026-03-06 01:24，[资源，科普，数学] 素数表（质数表，小于 200000） list of primes, prime numbers

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1524570.html

[16] 2024-06-25 22:49，[请教，讨论，笔记] 柯西：函数不一定要有解析表达式。（关联：分布参数系统 distributed parameter system）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1439715.html

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