在北京读书的时候，曾有幸听杨振宁讲报告。有次他讲他没有上过高中，高中物理是他自学的。他对书中的匀速圆周运动曾颇感困惑---为什么加速度是在径向方向，而不是切线方向呢？他说等他想明白这点后，高中物理他就懂了。

相信很多人有过类似的困惑。

这也许是应该的，因为这个问题必须要用到微积分或者至少是微积分思想。

不确定之前是否有人研究过匀速圆周运动相关的加速度问题，不过牛顿是有明确结论的。他专门有个定理，明确表示加速度a正比于速度v的平方，而反比于圆半径r。

今天看来，牛顿的推导没那么直接。原因很简单，牛顿虽然发明了微积分，但是没来得及将之发展到今天这样完善的程度。

一个更一般的问题是，如果轨迹不是圆周，而是一条任意曲线，而运动速度也不是恒定，而是任意，那么加速度如何？按照微积分，我们有简单的推导

可见，这时一般而言加速度有两个分量，一个在曲线的法线方向，一个在曲线的切线方向。有趣的是，这两个分量大小都只依赖于速度v的平方。

这点导致Bonnet的定理，即如果同样一个轨迹可以在力场F1，F2，F3等若干力场中任意一个单独存在时实现，那么这条轨迹也可以在这些力场同时存在时实现。定量上，如果对应力场Fi的速度为vi，那么在这些力场同时存在时，只需要将粒子的速度v改为

即可。

这个定理的一个应用是在Euler问题上。Keper问题是个单引力中心问题，其解大家很清楚。如果是两个引力中心呢？可以想象，粒子在这样一个场中的运动可能非常复杂，例如（*表示两个引力中心，即两个太阳）

但是按照Bonnet定理，这个系统至少存在如下图所示的非常规则的轨道（闭合，周期）

事实上任何以两个中心为焦点的椭圆都可以被实现，因为在其中任何一个引力中心单独存在时，这个椭圆轨道是可以被实现的。

注1：Euler最早研究了双中心问题，而且凭借其天才，说明这个问题跟kepler问题一样是可以通过积分求解的。

注2：Bonnet的定理非常简单，但是颇有启发性，可惜不（哪怕是以习题形式）出现在一般教科书上。

注3：印象中，老杨认为，如果一个人没有跟他一样对匀速圆周运动有过困惑，那么这个人肯定不能学物理。