最近浏览了下Mott的自传a life in science。听大师讲其经历的物理学的发展是件很享受的事情。

Mott提到，他的第一个工作是关于库仑势中粒子的散射问题。

大概在1926年，heisenberg率先取得突破，提出了矩阵力学。按照Mott的说法，当时，矩阵这种东西，即便在剑桥，也没几个人熟悉（其实英国有cayley，英国人也许是最应该懂矩阵的了）！不过，很快schroedinger又搞出了波动力学，其方程是物理学家熟悉的偏微分方程，所以很快被物理学家们掌握，之后量子力学爆炸了。

1926年的时候，Mott刚好在剑桥读本科。按照Mott的说法，1926也许是开始做研究的最佳时机，因为有很多简单（而重要）的问题可以做。

当时在剑桥，在卡文迪许，有个巨人叫卢瑟福，他因为著名的卢瑟福散射闻名。所谓卢瑟福散射就是带电粒子在库仑势中的散射。卢瑟福给出了这个过程的微分散射截面的解析公式。

但是卢瑟福当初是没有量子力学的，他是基于经典力学推导的他的公式。现在既然有了量子力学，就得用量子力学重新考虑这个问题。

Mott就是做的这个问题。Mott在没有做任何近似的情况下，解析地证明了在量子力学中，卢瑟福的公式依然成立。其文章展示了很高的数学技巧，而其作者当时仅仅是个本科生。

其实在Mott之前，德国的Wentzel和Oppenheimer就考虑过这个散射问题。

Wentzel(就是著名的WKB的W)采用的办法是Born近似，只考虑到第一级修正。如果直接对库仑势1/r用born近似，就会发现，最终要做的积分是对sin（ax）从0积分到无穷大。显然，在参数a不等于0时，积分振荡而不收敛。Wentzel采用的办法是给库仑势加个调制因子exp（-r/R），这里参数R最终趋于无穷大。一旦有了这个调制因子，被积函数就是sin（ax）exp（-x/R），积分就收敛了。而且幸运的是，在R趋于无穷大时，这个值趋于一个有限的值即1/a。于是Wentzel令原来发射的积分为此有限值。这样他得到了卢瑟福公式。

Wentzel在他的文章的结尾是这样评述的，Ich habe nicht feststellen koennen, ob dies auf einem Zufall oder auf einem tieferen Zusammenhang beruht （我不知道这是个巧合还是有更深层的原因）。

让人感动的诚实！今天很少有文章会坦诚自己结果或者方法的局限性，夸夸其谈的倒是很多。

Wentzel采用的这个伎俩，在数学上叫abel summation（阿贝尔和），也叫abel regularization（阿贝尔正规化）。这是个无厘头的技巧，但是对很多物理问题都非常有效，博主甚至都遇到过。

不确定这是否是abel summation在物理学中最早的应用。不过，关于这个伎俩，Wentzel是这么讲的(见回忆文章https://arxiv.org/pdf/0809.2102.pdf  )，Born was too mathematical to dare alter the Coulomb potential. I had no such compunctions and Born never forgave me for that. 

也许这个伎俩还是让人不安，在Wentzel之后，Oppenheimer重新考虑了wentzel要做的积分。他发现，如果不采用wentzel采用的球坐标，而采用柱坐标，就根本不需要引入调制因子，可以直接用精确的库仑势，得到的结果（在born近似下）还是卢瑟福公式。

Wentzel和oppenheimer的文章一再暗示，即便在量子力学下，卢瑟福公式依然成立。但是他们的文章毕竟是基于born近似的，而且是最糙的born近似，所以找一个精确解还是必要的。这就是Mott的工作。

据Mott讲，这个工作在卡文迪许没有引起多大反响，但是Fowler很喜欢。在Fowler的推荐下，文章发表在著名的皇家学会会志上。

今天的量子力学教材上对量子力学下卢瑟福公式的推导都是采用wentzel的办法，因为积分非常简单。Oppenheimer和Mott的推导都需要太多数学。

注1：Mott，wentzel，oppenheimer的文章：

Wentzel1926_Article_ZweiBemerkungenüberDieZerstreu.pdf  

Oppenheimer1927_Article_BemerkungZurZerstreuungDerΑ-Te.pdf   

Mottrspa.1928.0067.pdf    

注2：在上面的回忆wentzel的文章中有提到，wentzel曾给学生讲，born提出的几率解释其实在当时的圈子里是常识，因为这个原因born并没有专门为其几率解释写一篇文章（在born提出几率解释的文章的后半部分，born提出了所谓的born近似）。

注3：也许展示abel求和技术最简单的例子是下面这个。级数

1-1 +1 - 1 + 1 -1 + 1 

不收敛。但是加上指数衰减的调制因子后，级数

1 -x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + 

却可以求和为1/(1+x)。令x等于1，我们回到原来的级数，但是函数1/(1+x)在x=1时没有任何奇异的行为，其取值为1/2。于是我们令原来振荡的级数之和为1/2.