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群论结课

已有 2677 次阅读 2022-1-4 20:53 |个人分类:群论|系统分类:教学心得

一年一度的群论结束了。

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学生考得总是很不好。也不奇怪,他们的普遍基础太差了。暑假的时候,跟一个东北某211大学的老师聊起来,他就说经他测试,他们学校的研究生80-90%都不会求解一元二次方程。他们倒是记得公式,但是不会推导。本来我还半信半疑,可是后来亲测后发现我们的学生也是如此。我自己的研究生告诉我,如果是x^2+2 x + 3 = 0,  他会解,但是像 a x^2 + b x + c = 0他就不会了。

中国教育怎么搞成这样的?我绝不相信这是因为所谓扩招后学生资质不行。事实上,旁边的台湾省一样姓陈林郑黄,可是有台清交成四大名校,非四大名校的台湾师范彰化师范等也都不错。

也许初中数学老师在讲一元二次方程时,连带讲讲一元三次方程就好了。简单的配方法能够处理二次方程,但是三次方程就会遇到按下葫芦起来瓢的困难。这样学生就更能理解配方法的精髓和局限。

我自己倒是借着教课,又学习了一下群论。一直听说Wigner当年将群论引入量子力学时,受到了物理学家的排斥,还搞出了“群祸”的说法。

这个说法应该没有持续太久,毕竟群论以及群表示理论其实没那么难(这里也恳请科普专家们不要再渲染相对论和量子力学的诡异和困难了)。

其实,Wigner一开始也不了解群表示理论。他在之前对群论在晶体对称性分类上的应用感兴趣,但是对群表示理论其实并不了解。

他将群论引入量子力学的第一篇文章是在1926年底写的,当时他讨论的是三个电子的系统的能级的分类。当时他都完全没考虑自旋。他的文章在这里

Wigner1927_Article_überNichtKombinierendeTermeInD.pdf     

当时的背景是这样的。海森堡之前考虑了n个全同粒子系统的能级分类。海森堡认为,系统的能级可以分成n!种,不同种类的能级之间不能发生跃迁,这n!中有两种很特别,一个是全对称,也就是符合玻色-爱因斯坦统计,另外一种是全分对称,也就是符合泡利不相容原理。

而Dirac也考虑了同样的问题,但是Dirac认为只有全对称和全反对称两种。

今天我们知道(经Wigner指出),他们俩都错了。

不过,这里值得一提的是,Heisenberg和Dirac都从波函数反对称条件推出了Pauli不相容原理,这个原理是Pauli分析原子光谱时总结出来的。Pauli在总结出这个规律时还没有新量子力学。在今天的量子力学教材中,Pauli不相容原理总是作为波函数反对称的一个自然而平庸的推论,但其实历史上是反过来的,pauli不相容原理在前,heisenberg和dirac的波函数反对称条件在后,pauli当时都没用自旋的概念。只有了解这个历史先后,才能理解pauli的了不起。

Wigner就是拿一个三电子的系统做了细致分析,指出其实还存在全对称和全反对称之外的波函数。

这真是一个好问题!

量子力学教材里总是只限于讨论两粒子系统,对这样的系统,波函数确实要么对称要么反对称,就好比高中数学里常用的结论,任何一个函数总可以以唯一方式分解为一个偶函数和一个奇函数之和。

对两粒子系统,确实我们不需要群论。

但是,一旦有三个粒子,高中数学里的那点伎俩就不够了。这时候必须上群论了。今天我们知道,S_3有三个不等价不可约表示,一个平凡表示,对应全对称波函数,一个符号表示,对应全反对称波函数,第三个是所谓的混合表示,是二维的。

Wigner就是指出存在这第三种波函数。

他完全没使用群表示理论的知识。他是采取一种因地制宜的做法。令人赞叹的是,他得到了所有用系统工具能够得到的结果。

在其文章的末尾,Wigner曾表示接下来将考虑更多电子的情况。

不过,据说他跟同学von Neumann讨论后,后者告诉他其实你做的就是群表示理论,然后他很快学会了Frobenius,Schur,Young,  Weyl等搞出来的理论,写了一系列经典文章。

相关的历史见文章: 

https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0315086005001072        



https://blog.sciencenet.cn/blog-100379-1319593.html

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