经典力学中，有一个结果让人非常佩服，就是Laplace发现，在Kepler问题中，除能量和角动量外，其实还存在一个矢量是守恒量，此即所谓的laplace-runge-lenz矢量

这个结果让人佩服的理由是，这里A的表达式并不那么简单！那么Laplace当初是如何发现之的呢？

最近博主第一次找来Laplace的天体力学原著，从中找到了Lapalce的原始发现过程。其实laplace的想法非常简单非常直接非常系统。按照现在的术语，我们有一组关于位置xi和动量pi的运动方程，然后我们想找一个xi和pi的函数V，使得V对时间的微分为零。做此微分得

将运动方程带入，就得到一个有关V的偏微分方程。现在就是要求解这个偏微分方程。Laplace的策略是，假定V是pi的多项式函数，将V按照动量pi的幂次做分解，并且假定pi的最高次幂为2。

按照此策略，laplace很容易就发现了三个守恒量，它们最高只含有pi的一次幂。它们其实就是角动量的三个分量。

当做到pi的二次幂时，就得到了能量，以及他的矢量了！见图：

方框内的三个量即Lapalce矢量的三个分量，只不过在当时对矢量大家都是采用细述其各分量的记法。

回过头来看，在计算之前，Laplace就有充分的理由怀疑，在能量和角动量之外，还存在额外的守恒量。Kepler问题的相空间是6维，能量和角动量的三个分量一共是4个守恒量，如果不存在额外的守恒量，系统还有两个自由度。但是其实Kepler系统中，系统的轨迹是个闭合的曲线，只有一个自由度。

在kepler问题中，Laplace的矢量跟角动量矢量具有同等重要的地位，它们一起确定行星在三维空间中的轨迹；角动量L确定轨道平面，矢量A确定长轴方向。

按照Noether定理，每个守恒量背后其实是一个对称性。角动量L对应的对称性很显然，就是系统的转动不变性。那么矢量A对应的对称性呢？这个可以通过下面的两张图看出。

在第一幅图中，实线所表示的椭圆轨道经过一系列转动，得到另外三个形状相同只是取向不同的椭圆轨道。在第二幅图中，同样的实线轨道，经过A的x分量的作用，依次“流”变为三个新的椭圆轨道，其长轴保持不变（这意味着所有轨道能量相同），但是取向和偏心率均有变化。所以，我们看到，Laplace的矢量作为一个守恒量，其实与Kepler问题中，能量与角动量无关这一事实有关。

历史上，Laplace的守恒量被重复发现过。不过，其第一次被以矢量形式展现，可能是在Runge的矢量分析的教材里。不过，Runge没有引用Laplace。之后，Lenz在用旧量子力学研究电场磁场中的氢原子时，用到了矢量A这个守恒量。

海森堡提出矩阵力学后，Pauli利用作为算符的矢量A，求解了氢原子能级。