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数学笔记(004)康托尔的无穷数理论

已有 14407 次阅读 2017-8-13 22:25 |个人分类:数学笔记|系统分类:博客资讯

数学笔记(004)康托尔的无穷数理论


今天的数学家都公认,集合论是现代数学的基础。集合论的创始人是德国数学家康托尔。

有限个元素的集合的理论是很容易理解的。集合论里,不考虑每个元素的具体性质。两个有限集合的元素数目如果相等,就可以建立元素之间的一一对应关系,因此可以把这两个有限集合定义为等价的。于是,有限集合可以按照元素的数目分类。

自然数集,整数集,有理数集,实数集等是无限集合的例子。它们的“大小”,或者说“元素数目”怎么定义和比较?

康托尔提出,应该用一一对应关系作为对无穷集合分类的准则,并用一个术语基数(cardinal number),也叫势(cardinality)来标记无穷集合的“大小”。两个无穷集合之间如果能够建立一个一一对应关系,就说这两个集合有“相同数目的元素”/有相同的势/有相同的基数。

于是我们会得到一些奇怪的,“违反常识”的结论,例如:

1. 偶数集合,奇数集合,自然数集合,整数集合,有理数集合....有相同的“元素数目”/基数;

2. 全体实数集合,[0,1]区间内的实数的集合有相同的“元素数目”/基数;

3. 正方形和它的一条边有相同数目的点。

如此等等。

违反了什么常识?违反了“整体大于部分”。在几何原本里,这可是5条公理之一。

无论如何,康托尔的无穷数理论如今已为数学家广泛接受。“最小的”无穷集合,自然数集合的势称作“可数无限”。比自然数集合更大的,[0,1]区间内的实数的集合--“连续统”的“势”的符号是希伯来文的第一个字母“aleph":$\aleph$

如果我们承认康托尔的基本假定:用一一对应关系作为对无穷集合分类的准则,那么由此假定经过逻辑推理得出的一切结论也就不能反对。

剩下的一个问题是:康托尔的无穷数理论尽管看上去很美,它适合我们吗?

我们对物理和数学的关系的基本观点是:数学是物理学家的工具。那么,康托尔的无理数理论,是对我们很好用的工具吗?

请留意博主即将发表的物理数学系列。

以下为参考阅读材料,来自网络:

(1) 康托尔和无穷集合论

格奥尔格·康托尔(Georg Cantor,1845-1918)

康托尔是德国数学家,集合论的创始者。1845年3月3日生于圣彼得堡(今苏联列宁格勒),1918年1月6日病逝于哈雷。其父为迁居俄国的丹麦商人。康托尔11岁时移居德国,在德国读中学。1862年17岁时入瑞士苏黎世大学,翌年转入柏林大学,主修数学,从学于E.E.库默尔、K.(T.W.)外尔斯特拉斯和L.克罗内克。1866年曾去格丁根学习一学期。1867年在库默尔指导下以数论方面的论文获博士学位。1869年在哈雷大学通过讲师资格考试,后即在该大学任讲师,1872年任副教授,1879年任教授。

  集合论是现代数学的基础,康托尔在研究函数论时产生了探索无穷集和超穷数的兴趣。康托尔肯定了无穷数的存在,并对无穷问题进行了哲学的讨论,最终建立了较完善的集合理论,为现代数学的发展打下了坚实的基础。

  大学期间康托尔主修数论,但受外尔斯特拉斯的影响,对数学推导的严格性和数学分析感兴趣。哈雷大学教授H.E.海涅鼓励他研究函数论。他于1870、1871、1872年发表三篇关于三角级数的论文。在1872年的论文中提出了以基本序列(即柯西序列)定义无理数的实数理论,并初步提出以高阶导出集的性质作为对无穷集合的分类准则。函数论研究引起他进一步探索无穷集超穷序数的兴趣和要求。

  1872年康托尔在瑞士结识了J.W.R.戴德金,此后时常往来并通信讨论。1873年他估计,虽然全体正有理数可以和正整数建立一一对应,但全体正实数似乎不能。他在1874年的论文《关于一切实代数数的一个性质》中证明了他的估计,并且指出一切实代数数和正整数可以建立一一对应,这就证明了超越数是存在的而且有无穷多。在这篇论文中,他用一一对应关系作为对无穷集合分类的准则

  在整数和实数两个不同的无穷集合之外,是否还有更大的无穷?从1874年初起,康托尔开始考虑面上的点集和线上的点集有无一一对应。经过三年多的探索,1877 【注:此处原文缺若干字】

  说,“我见到了,但我不相信。”这似乎抹煞了维数的区别。论文于1878年发表后引起了很大的怀疑。P.D.G.杜布瓦-雷蒙和克罗内克都反对,而戴德金早在1877年7月就看到,不同维数空间的点可以建立不连续的一一对应关系,而不能有连续的一一对应。此问题直到1910年才由L.E.J.布劳威尔给出证明。

  康托尔在1878年这篇论文里已明确提出“”的概念(又称为基数)并且用“与自身的真子集有一一对应”作为无穷集的特征

  康托尔认为,建立集合论重要的是把数的概念从有穷数扩充到无穷数。他在1879~1884年发表的题为《关于无穷线性点集》论文6篇,其中5篇的内容大部分为点集论,而第5篇很长,此篇论述序关系,提出了良序集、序数及数类的概念。他定义了一个比一个大的超穷序数和超穷基数的无穷序列,并对无穷问题作了不少的哲学讨论。在此文中他还提出了良序定理(每一集合都能被良序),但未给出证明。

  在1891年发表的《集合论的一个根本问题》里,他证明了一集合的幂集的基数较原集合的基数大,由此可知,没有包含一切集合的集合。他在1878年论文中曾将连续统假设作为一个估计提出,其后在1883年论文里说即将有一严格证明,但他始终未能给出。

  19世纪70年代许多数学家只承认,有穷事物的发展过程是无穷尽的,无穷只是潜在的,是就发展说的。他们不承认已经完成的、客观存在着的无穷整体,例如集合论里的各种超穷集合。康托尔集合论肯定了作为完成整体的实无穷,从而遭到了一些数学家和哲学家的批评与攻击,特别是克罗内克。康托尔曾在1883年的论文和以后的哲学论文里对于无穷问题作了详尽的讨论。另一方面,康托尔创建集合论的工作开始时就得到戴德金、外尔斯特拉斯和D.希尔伯特的鼓励和赞扬。20世纪以来集合论不断发展,已成为数学的基础理论。

  他的著作有:《G.康托尔全集》1卷及《康托尔-戴德金通信集》等。


(2) 集合论的创立者康托尔的遭遇

    节选自  解恩泽主编 《科学蒙难集》

  19世纪末期,数学界出现了一件引人注目的事情。一位名叫康托尔(G.Cantor,1845-1918)的德国数学家提出一种令人费解的古怪理论----集合论。它的内容是如此与常识格格不入,以至于一出世就引起了一场轩然大波。

   康托尔的研究成果发表之后,马上遭致当时一些赫赫有名的数学家的激烈攻击。德国数学家克隆尼克(L.Kronecker,1823-1891)是这些人中言辞最激烈、攻击时间最长的一个。他认为,康托尔关于超限数的研究,是一种非常危险的数学疯病。因而他各种用得上提尖刻语言,粗暴地、连续不断地攻击康托尔达十年之久。他甚至在柏林大学的学生面前公开攻击康托尔,这在许多数学家看来是很过分的事情。克隆尼克的影响还使康托尔的学术论文一再延误发表日期。总之,克隆尼克的专横无理令人震惊,他的激烈攻击使康托尔的精神状态受到极大损害。

  除了克隆尼克之外,还有一些著名数学家也对集合论发表了反对意见。法国数学家彭加勒(H.Poi-ncare,1854-1912)说:“我个人,而且还不只我一人,认为重要之点在于,切勿引进一些不能用有限个文字去完全定义好的东西”。他把集合论当作一个有趣的“病理学的情形”来谈,并且预测说:“后一代将把(Cantor)集合论当作一种疾病,而人们已经从中恢复过来了”。德国数学家魏尔(C.H.Her-mann Wey1,1885-1955)认为,康托尔关于基数的等级观点是雾上之雾。菲利克斯.克莱因(F.Klein,1849-1925)也不赞成集合论的思想。数学家H.A.施瓦兹原来是康托尔的好友,但他由于反对集合论而同康托尔断交。

  在克隆尼克等人的围攻和反对下,康托尔的精神逐渐崩溃了。从1884年春天起,即在他40岁的时候,他患了严重的忧郁症。1918年,他在哈勒大学附属精神病院去世。一位数学家为自己创立的理论付出这样大的代价,这种事情在数学史上还是不多见的。

   集合论的创立和康托尔的遭遇,给后人留下的历史教训是很深刻的。它告诫人们,要坚持和发展科学真理,决不能离开实践。科学理论的对象和内容越是抽象,就越需要深深扎根在现实土壤之中。它还告诫人们,当一种新的科学发现或发明出现的时候,不要凭借直观的、常识或以往的经验来下判断,更不要给科学成果施加某种主观的、人为的标准。真理的唯一标准只能是人们的实践。它告诫那些创造科学新成就的人们,要有充分的精神准备听取各种反对意见,承受可能出现的冷遇、嘲讽和打击,克服前进道路上的各种困难。要充分认识到,获得科学发现是艰苦的,使科学发现为人们理解同样的艰苦的,两者都要经历一个奋斗的过程,决不可能一蹴而就。它还告诫那些评价科学新成新的人们,要冷静、客观、全面地看待每一项科学发现或发明,要善意地对待科学新成果发展过程中难免的缺点和弱点。科学工作者要注意科学道德修养,避免再出现克隆尼克那样的事情。像集合论这样的科学成果,在科学发展中应是越来越多的;而像康托尔这样的悲惨遭遇,则是不应该再出现了。


  




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