数学笔记（002）自然数集合的扩展

(1) 整数集合

数学家引入了一个叫做“逆运算”的概念。加法的逆运算是减法。对于两个自然数$a,b$的和$c$：

                           $c=a+b$

可定义减法运算：

                           $c-a=b$

                           $c-b=a$

但是，对于任意的两个自然数，减法运算的结果不一定是一个自然数。于是数学家们引入了负整数的概念，把自然数集合扩展到整数集合，并且推广了加法，减法和乘法的定义，使这三种运算在整数集合中是闭合的。

与此同时，还定义了一个运算符号：负号“-”，以及相应的运算规则。

(2) 有理数集合

乘法的逆运算是除法。整数集合对除法是不封闭的，于是数学家们定义了有理数集合。有理数又叫分数。

两个有理数的四则运算（加减乘除）的运算结果仍然是一个有理数（闭合性），并且满足所谓交换律，结合律和分配律。这样的集合叫做域（Field）。

每个有理数都能写成有限位小数或无限循环小数的形式，所以有理数，分数和小数在实质上是等价的。

(3) 实数集合

虽然大多数人都知道和会用实数，但真正懂得什么是实数的人其实非常少。实数集合的性质是如此复杂，不是数学系本科毕业的千万别说自己懂得什么是实数。

有理数集合是实数集合的子集，实数集合中其余的元叫做无理数。一个实用的办法是定义无理数为无限不循环小数。但是我们没有任何办法写出一个无限不循环小数，结果是，绝大部分的无理数是根本写不出来的，只存在于我们的思维中。

有的常用的无理数会用符号表示，例如$\pi$ 和自然对数的底$e$。（它们是怎样定义的？）

许多无理数是用表达式写出的，例如著名的$\sqrt 2$。我们可以根据性质：

               $\sqrt 2 \cdot \sqrt 2 =2$

计算它的近似值到我们要求的任何准确度。

(4) 复数集合

复数集合可以认为是解二阶实系数方程的需要而从实数集合扩展出来的。最简单的一个二阶实系数方程：

             $x^2=-1$

在实数集合内无解。数学家于是定义了一个虚数单位$i$，规定乘法：

            $1\cdot i=i$

            $i\cdot i =-1$

再规定对每个有序实数二元组$(a,b)$对应一个复数$c=a+bi$，以及各种复数的四则运算规则，就完成了复数集合的基本定义。

实数集和复数集都是域(Field)。