数学笔记（001）

  自然数集合的皮亚诺公理及其它

数学笔记系列的前言

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这是从非数学家的观点，即用户--上帝的观点来写的笔记。欢迎数学家和非数学家的指正和讨论。

拍砖也可以，但必需有礼貌！换句话说，可以讨论学问，不准人身攻击。

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数学，是关于数和形的学问。

数，包括各种数集。自然数是最基本的数集，是所有其它数集的基础。

虽然大家都知道自然数，能准确了解自然数集合却需要懂得现代数学的基本思想方法--公理化。

（1）零是不是自然数，是一种option。现在通常把零包括在自然数集合内，可以和计算机编程相容。

（2）自然数集合的皮亚诺(Peano)公理用普通科技语言（非数学家的语言）的叙述如下:

① 0是自然数;

② 每一个确定的自然数a，都有且只有一个确定的后继数a' ，a' 也是自然数(一个数的后继数就是紧接在这个数后面的数，例如，1的后继数是2，2的后继数是3等等); 【注：10进制计数法！】

③ 如果$a$ 是 $b,c$ 的后继数，那么 $b=c$;

④ 0不是任何自然数的后继数;

⑤ 任意关于自然数的命题，如果证明了它对自然数0是对的，又假定它对自然数n为真时，可以证明它对n' 也真，那么，命题对所有自然数都真。(这条公理也叫归纳公设，保证了数学归纳法的正确性) .

（3）计数法：10进制，2进制，16进制......。

（4）加法

自然数集合里的最基本的“二元运算关系”加法，可能是这么定义的：

         $a+0=a$

         $a+1=a'$

         $a+b'=(a+b)'$

然后就可以由递推的办法求出任意两个自然数a,b的和c，记作： $c=a+b$。

（5）乘法

第二个基本的运算当然是乘法，可能是这么递推定义的：

        $a\cdot 0=0$

        $a\cdot b'=a\cdot b+b$

【后记】 现在我们可以回答为什么和什么条件下 1+1=2 了！

在自然数集合的10进制计数法里，有：

          $ 1'=2 $

按照自然数集合加法的定义：

          $a+1=a'$

所以：

          $1+1=1'=2$

在其它数集，计数法和加法定义下，可能有：

          $1+1=10$

          $1+1=1$

          $1+1=0$