旧文重发：不定度规量子理论中负几率等困难的解决办法

说明：这篇文章曾发表在《原子能科学技术》1979年第02期上，是我作为第一作者发表过的2，3篇论文之第一篇。虽然很少有人读过和引用过，对我自己却意义非凡。能够解决一个教科书和大科学家认为的疑难问题，当然大大增加了我对基础研究的信心和兴趣。这篇文章中用到的一些概念，如旋量的度规和协变分量等，在我后来的研究中是不可缺少的。

不定度规量子理论中负几率等困难的解决办法

文克玲

根据对狄拉克旋量的研究，在不定度规量子理论中引进几率算符和修改本征方程等，就能解决负几率和鬼态等困难。

一、引言

态向量空间中可定义两个态向量$|\varphi >$和$|\psi >$的内积。通常的量子力学还附加了条件：任意态向量$|\psi >$的模方$<\psi |\psi >\ge 0$，其中等号只在$|\psi >=0$时成立^【1】。 这样的态向量空间叫做正定度规的。如果去掉这个条件，也允许模方$<\psi |\psi ><0$，则态向量空间叫做不定度规的。

1942年狄拉克首先建议在量子电动力学中引进不定度规来消除紫外发散困难^【2】。1950年格普塔（S.N.Gupta）和布劳勒（M.Bleuler）用不定度规建立了明显协变的量子电动力学^【3，4】。此后，不定度规量子场论得到了多方面的发展。

不定度规理论的发展遇到了很大的困难。在正定度规量子力学中态向量的模方被解释为几率。在不定度规理论中如果仍把模方解释为几率，则模方等于或小于零的态将有零或负的几率。这个负几率是根本无法理解的奇异概念。三十多年来人们未能找到代替模方的几率解释的办法，只好设法去限制这些负几率的坏影响，但是至今未能作到。

在不定度规下，即使$\hat{H}$是厄米算符：

         $<\varphi |\hat{H}|\psi >=<\psi |\hat{H}|\varphi {{>}^{*}}$，    （1）

由本征方程：

         $\hat{H}|\psi >=E|\psi >$        （2）

确定的本征值也未必是实数。若E是复数，则$|\psi >$叫做“复数妖怪”（complex ghost）。$\hat{H}$的本征态的全体一般不是完全集合。如果：              

        ${(\hat H - {E_k})^2}|k,D >  = 0,$

        $(\hat H - {E_k})|k,D >  \ne 0,$                         （3）

则$|k,D>$叫做“偶极子妖怪”。还有更高阶的“妖怪”或鬼态。没有办法消除各种鬼态的坏影响。

虽然不定度规量子理论的困难很大，但由于两方面的原因而受到人们的重视。首先是利用负几率来消除发散困难的可能性。其次，已经阐明，特殊相对论要求态向量空间是不定度规的，具有明显协变性的量子力学必定是不定度规的量子力学。因为特殊相对论的正确性已经得到了充分的证明，这就对不定度规理论提供了强有力的支持。

反过来说, 现有的不定度规理论中的负几率等困难的严重性就更加突出了, 它意味着理论物理的两大坚强柱石—量子力学和特殊相对论发生了矛盾^【5】。

根据用不定度规观点对狄拉克旋量进行研究的结果, 我们找到了解决这些问题的可能途径。不定度规下态向量模方的几率解释必须修改, 而且要引进一个协变的几率算符$\hat{W}$,几率将是$<\psi |\hat{W}|\psi >$。本征方程也要修改成为：：

      $\hat{F}|\psi >=\lambda \hat{W}|\psi >$。             （4） 

二、狄拉克旋量的不定度规理论 

时空的洛伦兹变换是非么正变换, 因此电磁场, 向量场和更高自旋的粒子或场的态向量空间的洛伦兹变换都是非么正的。理论的明显相对论性要求态向量空间的度规在洛伦兹变换下不变其形式。但是非么正变换下形式不变的度规只能是不定度规。所以才说, 相对论要求不定度规的量子力学^【6】。

然而这里所说的理由对狄拉克旋量也完全成立, 狄拉克旋量的明显相对论性理论也应该是不定度规的。旋量的正定度规量子理论人们都很熟悉, 我们从不定度规的观点重新加以考察, 再从这个特例推广到一般, 就可能找到不定度规量子理论的正确形式。对旋量

        $\psi  = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{\psi ^1}(x)}\\{{\psi ^2}(x)}\\{{\psi ^3}(x)}\\{{\psi ^4}(x)}\end{array}} \right)$

来说, 按照正定度规与$\psi $相应的对偶态向量是它的厄米共轭${{\psi }^{\text{+}}}$：

${{\psi }^{\text{+}}}=({{\psi }^{1*}}(x),{{\psi }^{2*}}(x),{{\psi }^{3*}}(x),{{\psi }^{4*}}(x))$.        （5）

但按照明显协变的不定度规与$\psi $相应的对偶态向量不是${{\psi }^{\text{+}}}$, 而是所谓的狄拉克共扼旋量或伴随旋量$\bar{\psi }$, 在泡里一狄拉克表象下，

$\bar{\psi }=({{\psi }^{1*}}(x),{{\psi }^{2*}}(x),-{{\psi }^{3*}}(x),-{{\psi }^{4*}}(x))$.          （6）

我们作出这个论断的理由是：众所周知, $\bar{\psi }\psi $是相对论不变量密度, 这正是相对论性模方密度的必要充分条件。而${{\psi }^{*}}\psi $不是相对论不变的, 它不可能是相对论性的模方密度, 而是正定的几率密度。用态向量$\psi $和它的相对论性对偶态向量$\bar{\psi }$来表示时, 几率密度是$\bar{\psi }{{\gamma }^{0}}\psi $，这里的${{\gamma }^{0}}$矩阵：

                                 ${\gamma ^0} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&{ - 1}&0\\0&0&0&{ - 1}\end{array}} \right)$               （7）

是不定度规理论中旋量的几率算符。而且, ${{\gamma }^{0}}$还是几率流四向量算符${{\gamma }^{\mu }}$的类时分量, $\bar{\psi }{{\gamma }^{\mu }}\psi $是旋量的几率流密度。

我们看到, 在不定度规情形下, 虽然旋量的模方密度$\bar{\psi }\psi $可能小于零, 但几率密度总是正定的, 根本不存在任何负几率􀀁 模方和几率是两个不同的概念, 模方是且仅仅是某种不变量, 对同一态向量空间取不同度规即定义不同内积时, 同一态向量可以有不同的模方，几率则是与度规无关的客观存在的物理量。只有在正定度规理论里旋量的模方密度才和几率密度相等。

通常的不定度规理论里认为几率算符是标量算符, 因此找不到一个协变的几率算符能给出正定的几率, 被迫引进了负几率。我们着到：旋量的几率算符是协变的几率流四向量算符的一个分量, 确实给出正定的几率。在一般情形下, 如果假定几率算符是更复杂的协变的几率张量算符的一个分量, 仍然有可能给出正定的几率。

把通常的旋量理论中的力学量算符记作$^{N}\hat{F}$, 则力学量的平均值$F$是：

$F=\int{d\vec{x}}\cdot {{\psi }^{+}}{{\cdot }^{N}}\hat{F}\psi $.     （8）

在不定度规理论里按下式定义力学量算符$\hat{F}$：

$F=\int{d\vec{x}}\cdot \bar{\psi }\hat{F}\psi $.      （9）

显然有：

            $\hat{F}={{\gamma }^{0}}{{\cdot }^{N}}\hat{F}$          （10）

例如, 旋量的不定度规的几率流, 电流, 拉格朗日量和能量动量张量算符分别是：                

            $\begin{array}{l}{{\hat W}^\mu } = {\gamma ^\mu },\\{{\hat j}^\mu } = e{\gamma ^\mu },\\\hat L =  - {\gamma ^\mu }{{\hat p}_\mu } + m,\\\hat T_\nu ^\mu  = \delta _\nu ^\mu \hat L + {\gamma ^\mu }{{\hat p}_\nu }.\end{array}$                            （11）

其中${{\hat{p}}_{\mu }}$是平移变换的无穷小算符, 不定度规理论中它并不是动量算符。哈密顿量算符$\hat{H}$是$\hat{T}_{\nu }^{\mu }$的一个分量:

$\begin{array}{l}\hat H = \hat T_0^0\\\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array} =  - {\gamma ^k}{{\hat p}_k} + m.\end{array}$                           （12）

这些算符都是明显协变的。正定度规理论里的力学量算符一般都不具有明显协变性, 例如几率流四向量算符是：

$^{N}{{\hat{W}}^{\mu }}=(\vec{\alpha },I).$       （13）

它为什么是不变的需要复杂的证明。

根据（10）式旋量在不定度规理论里正确的本征方程应是：

$\hat{F}\psi =\lambda {{\gamma }^{0}}\psi $        （14）

没有复本征值和各种鬼态。

三、不定度规理论与正定度规理论的等价性

从旋量的不定度规理论中得出的这些规律有可能推广到一般情形。而且可以证明, 总能建立这样的不定度规理论, 它实际上等价于通常的正定度规理论。

如果我们有一个单粒子或场的正定度规量子理论, 它在实质上是相对论性的。把其中与$\psi $相应的对偶态向量记作${{\psi }^{+}}$, 力学量算符记作$^{N}\hat{F}$。按照态向量空间的洛伦兹变换, 可以求出相对论性的不定度规, 再由度规求出对偶态向量$\bar{\psi }$。按照下式：

$\bar{\psi }\hat{W}\psi ={{\psi }^{+}}\psi $      （15）

可以求出不定度规理论中的几率算符$\hat{W}$。然后由：

             $\bar{\psi }\hat{F}\psi ={{\psi }^{+}}{{\cdot }^{N}}\hat{F}\psi $           （16）

又可求出不定度规理论中的力学量算符$\hat{F}$：

$\hat{F}=\hat{W}{{\cdot }^{N}}\hat{F}$.        （17）

能够证明, 总有：

             $\hat{W}={{\hat{W}}^{-1}}$         （18）

因此, 由（15）式得：

$\bar{\psi }={{\psi }^{+}}\hat{W}$.        （19）

正定度规理论中的各种公式、方程和表达式无非是由$\psi $, ${{\psi }^{+}}$和$^{N}\hat{F}$组成的。用$\bar{\psi }$和$\hat{F}$代换${{\psi }^{+}}$和$^{N}\hat{F}$, 就能变换成不定度规理论中的相应形式。特别是本征方程, 应是：

$\hat{F}\psi =\lambda \hat{W}\psi $       （20）

“ 矩阵元” 是：

$\bar{\psi }\hat{F}\psi ={{\psi }^{+}}{{\cdot }^{N}}\hat{F}\psi $.  （21）

这样作出的不定度规理论显然和原来的正定度规理论等效, 但是具有明显协变的优点。在实用上通常 则是正定度规理论更为方便。

四、简单的结论

旋量的例子表明：同一个态向量空间中可以定义不同的度规和内积, 从而建立形式不同而实质上等效的理论；正定度规理论中的几率表示式${{\psi }^{+}}\psi $$\bar{\psi }\hat{F}\psi ={{\psi }^{+}}{{\cdot }^{N}}\hat{F}\psi $和本征方程等不能简单地照抄到不定度规理论中去，而应改成$\bar{\psi }\hat{F}\psi ={{\psi }^{+}}{{\cdot }^{N}}\hat{F}\psi $和（20）式等。

推而广之, 按这样方式建立的一般的不定度规量子力学和场论将没有任何新的困难。$|\varphi >$ 而现有不定度规理论的负几率和鬼态等困难很可能是由于它的基本前提中有疑问, 即照抄了只对正定度规理论才成立的模方的几率解释和本征方程(2) 等的结果。

参考文献 

〔1 〕P.A.M.Dir ac , 量子力学原理, 科学出版社,1 9 6 6.

〔2 〕P.A.M.Dir ac , Proc. Roy. Soc., A 180, 1(1942).

〔3 〕S.N.Gupta, Proc. Phys.Soc., A 63, 681 (1950).

〔4 〕M.Bleuler, Helv. Phys. Acta, 23, 567(1950).

〔5 〕汤川秀树等, 基本粒子, 科学出版社, 1975。

〔6 〕N.Nakanish, Proc. Theo. Phys., Supplement 51, 1(1972)