NQED2000 全文 

这是2000年会议报告讲稿的全文。NQED是“新量子电动力学”的缩写。新版的NQED，NQED2021正在写作中。以后大家可以比较两个版本的区别，看看这个理论是怎么发展的。坦白说，这个讲稿写得不好，很难懂。大家浏览一下看看大意就行了。

一个基于组态波泛函和量子拉格朗日方程的

新的量子电动力学理论

                         文克玲

                单原子分子测控教育部重点实验室

                物理系, 清华大学, 北京, 100084

      摘要    作者提出了一个明显协变的量子电动力学新理论. 量子场的状态用经典场在全时空中的组态的波泛函来描述.新理论的基本原理与标准理论很不相同. 运动方程有各种解析解. 对康普顿散射的跃迁矩阵元进行了最低阶的微扰论计算并获得正确结果. 对发散困难的来源提出了新的观点.

       关键词   组态波泛函  量子拉格朗日方程  量子电动力学

在通常的量子场论的泛函薛定谔表示中, 背景时空流形被分成一套三维类空超曲面, 而量子场的态则用场在每个超曲面上的组态的波泛函来表示^[1]. 本文提出了一个更加简单和自然的方法. 我们假定场的量子态用场在全部时空中的组态的波泛函来表示. 这个波泛函是明显协变的, 而且容易处理. 这个假定是新理论的第一个基本原理.

通过对自由电磁场的量子化, 我们逐个引入了新理论的其它基本原理. 然后我们对经典电子/正电子Grassmann场进行了量子化, 并建立了量子电动力学. 为了检验新理论, 我们对康普顿散射的跃迁矩阵元进行了最低阶的微扰论计算并获得正确结果. 最后, 我们讨论了新理论的特点, 并对发散困难的来源提出了新的观点.

1 自由电磁场的量子化

    本文中, 我们将采用一种推广的张量记号. 经典场被看作是一种广义的向量. 时空坐标x和场的内部指标将合在一起构成这些向量的复合指标. 因此, 电磁场在时空点x的逆变和协变分量将被记作${A^{x\mu }}$和${A_{x\mu }}$. 我们将用广义的度规来升降这些复合指标. 例如:           

        $\begin{array}{l}{A^{x\mu }} = \int {dy}  \cdot {g^{x\mu ,y\nu }}{A_{y\nu }},\\{A_{y\nu }} = \int {dx}  \cdot {g_{y\nu .x\mu }}{A^{x\mu }}\end{array}$                               (1.1)

其中电磁场的广义度规是:

    $\begin{array}{l}{g^{x\mu ,y\nu }} = {\delta ^{xy}}{g^{\mu \nu }} = \delta (x - y){g^{\mu \nu }},\\{g_{y\nu .x\mu }} = {\delta _{yx}}{g_{\nu \mu }} = \delta (x - y){g_{\nu \mu }}\end{array}$                              (1.2)

如果不会引起误解, 以后我们常常略去对重复的时空坐标和动量指标的积分号. 按照新理论的第一个基本原理, 量子电磁场的波泛函是:

            $\Psi  = \Psi ({A^{x\mu }})$                              (1.3)

或者简写成

            $\Psi  = \Psi (A)$.                                 (1.4)

   本文将使用洛伦茨规范. 并假定电磁场在时空的无穷远处满足周期性边界条件^[2]. 经典电磁场的作用量是

              ${S_\gamma } = \int {dx}  \cdot {A_{x\mu }}( - \frac{1}{2}{\hat k^2}){A^{x\mu }}$                       (1.5)

其中 ${\hat k^2} = i{\partial _\nu } \cdot i{\partial ^\nu }$. 我们猜想, 量子场的真空态${\Psi _{0\gamma }}$ 是

              $\begin{array}{l}{\Psi _{0\gamma }} = \exp [\frac{i}{2}{S_{\gamma F}}],\\{S_{\gamma F}} =  - \frac{1}{2}\int {dx}  \cdot {A_{x\mu }}({{\hat k}^2} + i\hat \varepsilon ){A^{x\mu }}.\end{array}$                  (1.6)

这里的$\hat \varepsilon $是一个无穷小算符. 波泛函空间的基本的算符是${A^{x\mu }}$，${A_{x\mu }}$, $\frac{\delta }{{\delta {A_{x\mu }}}}$和$\frac{\delta }{{\delta {A^{x\mu }}}}$. 为了构造一些描写量子场的产生和湮灭的明显协变的算符, 我们定义:

         $\begin{array}{l}{{\hat A}^{( \pm )x\mu }} = \frac{{{A^{x\mu }}}}{2} \pm {D_F}{^{x\mu }_{y\nu }} \cdot \frac{1}{i}\frac{\delta }{{\delta {A_{y\nu }}}}\\\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array} = \frac{{{A^{x\mu }}}}{2} \mp \frac{1}{{\hat k + i\varepsilon }}\frac{1}{i}\frac{\delta }{{\delta {A_{x\mu }}}},\\{{\hat A}^{( \pm )}}_{y\nu } = \frac{{{A_{y\nu }}}}{2} \pm {D_F}{^{x\mu }_{y\nu }} \cdot \frac{1}{i}\frac{\delta }{{\delta {A^{x\mu }}}}\\\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}&{}\end{array} = {g_{x\mu ,y\nu }}{{\hat A}^{( \pm )x\mu }},.\end{array}$                         (1.7)

其中${D_F}{^{x\mu }_{y\nu }}$ 是自由电磁场的 Feynman 传播子的张量记号, 它的详细的表达式将在后面给出. 很容易验证${\hat A^{( - )x\mu }}$和 ${\hat A^{( - )}}_{x\mu }$是量子场的湮灭算符:                              

        $\begin{array}{l}{{\hat A}^{( - )x\mu }} \cdot {\Psi _{0\gamma }} = 0,\\{{\hat A}^{( - )}}_{x\mu } \cdot {\Psi _{0\gamma }} = 0.\end{array}$                                      (1.8)

从(1.7)式可知场算符的对易关系是:

        $[{{\hat A}^{( - )x\mu }},{{\hat A}^{( + )}}_{y\nu }] = i{D_F}{^{x\mu }_{y\nu }},$

        $[{{\hat A}^{( - )x\mu }},{{\hat A}^{( + )y\nu }}] = i{g^{y\nu ,z\lambda }}{D_F}{^{x\mu }_{z\lambda }} = i{D_F}^{x\mu ,y\nu },$

        $[{{\hat A}^{( - )}}_{x\mu },{{\hat A}^{( + )}}_{y\nu }] = i{g_{x\mu ,z\lambda }}{D_F}{^{z\lambda }_{y\nu }} = i{D_{Fx\mu ,y\nu }}$            (1.9)

等等, 而且我们还有关系式:

         $\begin{array}{l}{A^{x\mu }} = {{\hat A}^{( + )x\mu }} + {{\hat A}^{( - )x\mu }},\\{A_{x\mu }} = {{\hat A}^{( + )}}_{x\mu } + {{\hat A}^{( - )}}_{x\mu }.\end{array}$                             (1.10)

我们现在必须有一个代替薛定谔方程的新方程来确定物理态. 作为理论的第二个基本原理, 我们假定:

        ${\hat k^2}{\hat A^{( - )x\mu }} \cdot \Psi (A) = 0$                            (1.11)

是量子电磁场的运动方程. 显然, ${\Psi _{0\gamma }}$  是方程 (1.11) 的一个解. 同时, 当$\not h = 0$时, 方程 (1.11) 成为:

        ${\hat k^2}{A^{x\mu }} \cdot \Psi (A) = 0,$                                      (1.12)

这意味着在经典极限下, $\Psi (A)$ 当且仅当场$A$是经典电磁场的拉格朗日运动方程的解时不为零. 因此, 以后我们将把新理论中量子场的运动方程称之为量子拉格朗日方程.

作为理论的第三个基本原理, 我们假定两个波泛函的内积是对称的和线性的:

     $\begin{array}{l}({\Psi _1},{\Psi _2}) = ({\Psi _2},{\Psi _1}),\\(a{\Psi _1},{\Psi _2}) = a({\Psi _1},{\Psi _2}),\end{array}$                                    (1.13)

其中 a是一个任意复数. 因此模方$(\Psi ,\Psi )$ 并不一定是实数. 我们规定物理的态泛函的归一化条件是:

          $(\Psi ,\Psi ) = 1.$                                      (1.14)

因此, 物理的态泛函的一个必要条件是它的模方不为零. 为了方便起见, 我们假定真空态${\Psi _{0\gamma }}$是归一化的:

        $({\Psi _{0\gamma }},{\Psi _{0\gamma }}) = 1.$                                         (1.15)

值得注意的是, 按照内积的这个定义, 态向量空间不是一个 Hilbert 空间; 态向量$\Psi $的复共轭${\Psi ^*}$ 从不出现在理论中. 对任何熟悉量子力学^[3]的人来说, 这个新的原理看上去非常新奇. 但是我们将表明它工作得很好. 事实上, 物理态泛函的行为类似於实向量.

  如果对任意两个波泛函 ${\Psi _1},{\Psi _2}$ 都有等式:

            $(\hat F{\Psi _1},{\Psi _2}) = ({\Psi _1},\hat G{\Psi _2}).$                               (1.16)

则算符$\hat F$和$\hat G$称为相互对偶的. 以后我们将把 $\hat F$的对偶算符写成${\hat F^T}$.如果$\hat F = {\hat F^T}$,则我们说$\hat F$是一个自对偶算符.我们设想内积$({\Psi _1},{\Psi _2})$可以用某种推广的泛函积分算法来定义,并且满足泛函积分算法的一般规律.因此,以下我们常常把它写成泛函积分的形式:

        $({\Psi _1},{\Psi _2}) = \int {DA}  \cdot {\Psi _1}{\Psi _2}$                               (1.17)

当一个算符从右面作用在一个态泛函上时, 其结果定义为:

           $\Psi \hat F = {\hat F^T}\Psi .$                                         (1.18)

因此在内积$\int {DA}  \cdot {\Psi _1}\hat F{\Psi _2}$ 中算符$\hat F$ 无论向左面或右面作用都给出相同的结果. 我们假定波泛函在电磁场的值趋于无穷时也满足周期性条件.因此,在(1.7)中定义的产生和湮灭算符相互共轭:

          $\begin{array}{l}{\left( {{{\hat A}^{( + )x\mu }}} \right)^T} = {{\hat A}^{( - )x\mu }}.,\\{\left( {{{\hat A}^{( + )}}_{x\mu }} \right)^T} = {{\hat A}^{( - )}}_{x\mu ,}\end{array}$                                       (1.19)并且方程(1.8)和(1.11)可以重新写作

            $\begin{array}{l}{\Psi _{0\gamma }} \cdot {{\hat A}^{( + )x\mu }} = 0,\\{\Psi _{0\gamma }} \cdot {{\hat A}^{( + )}}_{x\mu } = 0,\end{array}$                                      (1.20)

和

      $\Psi  \cdot [{\hat k^2}{\hat A^{( + )x\mu }}] = 0.$                                    (1.21)

  第四个原理是关于测量结果的原理. 我们假定, 一个可观察量F的多次测量的平均值是

        $ < F{ > _\Psi } = \frac{{\int {DA}  \cdot \Psi \hat F\Psi }}{{\int {DA}  \cdot \Psi \Psi }}$                                  (1.22)

其中$\hat F$ 是一个对应於 $F$ 的自对偶算符. 虽然 $\Psi \Psi $ 不能被直接看作是几率密度, 这个假定意味着实质上我们保留了量子力学的几率解释.

  为了能得到量子场的能量动量守恒定律, 我们假定量子场的拉格朗日密度算符是

            ${\hat L_\gamma }(x) =  - 2{\hat A^{( + )}}_{x\lambda }{\hat k^2}{\hat A^{( - )x\lambda }}$,                      (1.23)

能量动量密度算符是

        ${\hat T^{\mu \nu }}_\gamma (x) =  - 4{\hat A^{( + )}}_{x\lambda }{\hat k^\nu }{\hat k^\mu }{\hat A^{( - )x\lambda }} - {g^{\mu \nu }}{\hat L_\gamma }(x)$  .             (1.24)

于是从方程(1.12) 和 (1.21) 我们得到:

          ${\partial _\nu }\int {DA \cdot \Psi {{\hat T}^{\mu \nu }}_\gamma (x)\Psi }  = 0.$                              (1.25)

为了描述具有确定能量和动量的单光子态, 我们需要电磁场的动量表示. 我们将记场的动量分量为${A^{k\mu }}$和${A_{k\mu }}$. 它们与场的坐标分量通过一个表象变换而相互联系:

          $\begin{array}{l}{A^{k\mu }} = u_x^k{A^{x\mu }},\\{A_{k\mu }} = u_k^x{A_{x\mu }},\end{array}$                                         (1.26)

其中的表象变换函数$u_x^k$和 $u_k^x$是:

      $\begin{array}{l}u_x^k = {(2\pi )^{ - 2}}{e^{ + ikx}},\\u_k^x = {(2\pi )^{ - 2}}{e^{ - ikx}}.\end{array}$                                      (1.27)

我们在上标和/或下标上加星号来表示一个张量或变换函数的复共轭, 例如:

          $\begin{array}{l}{A^{k\mu *}} = {({A^{k\mu }})^*},\\u_{x*}^{k*} = {(u_x^k)^*}.\end{array}$                                (1.28)

因此我们有

           ${A^{k\mu *}} = u_{x*}^{k*}{A^{x\mu *}},$                                 (1.29)

等等. 以下我们将经常使用关于复共轭的这个约定. 当我们升高或降低一个复变量的指标时, 我们必须使用厄米的度规. 例如, 从方程(1.26)-(1.29) 我们有

        $\begin{array}{l}{A_{k\mu }} = {g_{k\mu ,k'\nu *}}{A^{k'\nu *}} = {g_{kk'*}}{g_{\mu \nu *}}{A^{k'\nu *}},\\{g_{kk'*}} = \delta (k - k'),\\{g_{\mu \nu *}} = {g_{\mu \nu }},\\{A^{k\mu }} = {g^{k\mu ,k'\nu *}}{A_{k'\nu *}} = {g^{kk'*}}{g^{\mu \nu *}}{A_{k'\nu *}},\\{g^{kk'*}} = \delta (k - k'),\\{g^{\mu \nu *}} = {g^{\mu \nu }}.\end{array}$                   (1.30)

在动量表示中, 光子的传播量是:

            $\begin{array}{l}{D_F}{^{k\mu }_{k'\nu }} = {\delta ^k}_{k'}{\delta ^\mu }_\nu {D_F}({k^2}),\\{D_F}({k^2}) =  - \frac{1}{{{k^2} + i\varepsilon ({k^2})}}.\end{array}$                            (1.31)

坐标表示中的传播量可以通过一个表示变换得到:

           ${D_F}{^{x\mu }_{y\nu }} = u_k^x{D_F}{^{k\mu }_{k'\nu }}u_y^{k'}.$                                (1.32)

量子场的产生和湮灭算符的动量分量是

             $\begin{array}{l}{{\hat A}^{( \pm )k\mu }} = u_x^k{{\hat A}^{( \pm )x\mu }}\\\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array} = \frac{{{A^{k\mu }}}}{2} \pm {D_F}({k^2})\frac{1}{i}\frac{\delta }{{\delta {A_{k\mu }}}},\\{{\hat A}^{( \pm )k\mu *}} = u_{x*}^{k*}{{\hat A}^{( \pm )x\mu *}}\\\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array} = \frac{{{A^{k\mu *}}}}{2} \pm {D_F}({k^2})\frac{1}{i}\frac{\delta }{{\delta {A_{k\mu *}}}}\end{array}$                      (1.33)

和

           $\begin{array}{l}{{\hat A}^{( \pm )}}_{k\mu } = \frac{{{A_{k\mu }}}}{2} \pm {D_F}({k^2})\frac{1}{i}\frac{\delta }{{\delta {A^{k\mu }}}}\\\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array} = {g_{k\mu ,k'\nu *}}{{\hat A}^{( \pm )k'\nu *}},\\{{\hat A}^{( \pm )}}_{k\mu *} = \frac{{{A_{k\mu *}}}}{2} \pm {D_F}({k^2})\frac{1}{i}\frac{\delta }{{\delta {A^{k\mu *}}}}\\\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array} = {g_{k\mu *,k'\nu }}{{\hat A}^{( \pm )k'\nu }}\end{array}$                      (1.34)

值得注意的是, 关于带有复共轭指标的产生和湮灭算符以及传播量的约定和对张量和变换函数的约定不同. 例如, ${\hat A^{( \pm )k\mu *}}$ 不是 ${\hat A^{( \pm )k\mu }}$的复共轭. .为了从${\hat A^{( \pm )k\mu }}$得到${\hat A^{( \pm )k\mu *}}$ , 我们只是把${\hat A^{( \pm )k\mu }}$的表示式中的任何指标用它的复共轭来代替. 从方程.(1.31),(1.33)和(1.34)容易得到以下的对易关系

           $[{{\hat A}^{( - )k\mu }},{{\hat A}^{( + )}}_{k'\nu }] = i{D_F}({k^2}){\delta ^\mu }_\nu {\delta ^k}_{k'},$

$[{{\hat A}^{( - )k\mu }},{{\hat A}^{( + )k'\nu *}}] = i{D_F}({k^2}){g^{k\mu ,k'\nu *}},$

$[{{\hat A}^{( - )}}_{k\mu },{{\hat A}^{( + )}}_{k'\nu *}] = i{D_F}({k^2}){g_{k\mu ,k'\nu*}}.$          (1.35)

此外,我们还能定义混合表示中的传播量. 例如:

         $\begin{array}{l}{D_F}{^{k\mu }_{x\nu }} = u_x^{k'}{D_F}{^{k\mu }_{k'\nu }} = u_x^k{\delta ^\mu }_\nu {D_F}({k^2}),\\{D_F}{^{k\mu *}_{x\nu }} = u_{x*}^{k*}{\delta ^\mu }_\nu {D_F}({k^2}),\end{array}$                     (1.36)

因此, 不同表示中的算符的对易关系能写作

        $[{{\hat A}^{( - )k\mu }},{{\hat A}^{( + )}}_{x\nu }] = i{D_F}{^{k\mu }_{x\nu }},$

        $[{{\hat A}^{( - )k\mu *}},{{\hat A}^{( + )}}_{x\nu }] = i{D_F}{^{k\mu *}_{x\nu}},$    (1.37)

等等. 在动量表示中, 量子场的运动方程是:

        ${k^2}{\hat A^{( - )k\mu }} \cdot \Psi  = 0,$                                       (1.38)

方程(1.8),(1.10)和(1.20)则成为

        $\begin{array}{l}{{\hat A}^{( - )k\mu }}{\Psi _{0\gamma }} = {\Psi _{0\gamma }}{{\hat A}^{( + )k\mu }} = 0,\\{{\hat A}^{( - )}}_{k\mu }{\Psi _{0\gamma }} = {\Psi _{0\gamma }}{{\hat A}^{( + )}}_{k\mu } = 0,\\{{\hat A}^{( - )k\mu }} + {{\hat A}^{( + )k\mu }} = {A^{k\mu }},\\{{\hat A}^{( - )}}_{k\mu } + {{\hat A}^{( - )}}_{k\mu } = {A_{k\mu }}.\end{array}$                               (1.39)

当 ${k^2} = 0$, ${A^{k\mu }}{\Psi _{0\gamma }}$ 和 ${A^{k\mu {\rm{*}}}}{\Psi _{0\gamma }}$ 都满足方程(1.38); 可是它们的模方都是零, 所以不是物理态. 但它们的线性组合:

        ${\Psi _{k\rho \theta }} = ({e^{ + i\theta }}{\rho _\mu }{A^{k\mu }} + {e^{ - i\theta }}{\rho _{\mu *}}{A^{k\mu *}}) \cdot {\Psi _{0\gamma }}$                   (1.40)

确实是一个物理态, 式中的$\rho $是一个复极化向量, 满足

        ${\rho ^\mu }{\rho _\mu } =  - 1$                                              (1.41)

而$\theta $则是这个态的相位. 从(1.35),(1.39)-(1.41)等可以得到态${\Psi _{k\rho \theta }}$和${\Psi _{k\rho \theta '}}$ 的内积

        $\int {DA}  \cdot {\Psi _{k\rho \theta }}{\Psi _{k\rho \theta '}} =  - 2i{D_F}({k^2}){\delta ^4}(0)\cos (\theta  - \theta ').$                 (1.42)

因此, 对于给定的$k\rho $, 物理态有两个正交的模式, 其相位差为$\pi /2$.

在此理论中, 量子洛伦茨条件可取为

       ${\partial _\mu }{\hat A^{( - )x\mu }} \cdot \Psi  = 0.$                                          (1.43)

真空态${\Psi _{0\gamma }}$ 显然满足这个条件. 如果

${\rho ^\mu }{k_\mu } = 0.$                                           (1.44)

则单光子态${\Psi _{k\rho \theta }}$也满足这个条件. 因此量子洛伦茨条件看来并不引起任何困难.

  在动量表示中, 量子场的能量动量张量密度算符可取作:

       ${\hat T^{\mu \nu }}_\gamma (k) =  - 4{\hat A^{( + )}}_{k\lambda }{k^\nu }{k^\mu }{\hat A^{( - )k\lambda }} - {g^{\mu \nu }}{\hat L_\gamma }(k)$                   (1.45)

其中

        ${\hat L_\gamma }(k) =  - 2{\hat A^{( + )}}_{k\lambda }{k^2}{\hat A^{( - )k\lambda }}$    .                         (1.46)

因此对单光子态${\Psi _{k\rho \theta }}$ (${k^2} = 0,{k^0} = |\vec k|$), 在全部时空中量子场的总能量动量的平均值是

         $\begin{array}{l}\int {DA}  \cdot {\Psi _{k\rho \theta }} \cdot \int {dk'}  \cdot {{\hat T}^{0\mu }}_\gamma (k'){\Psi _{k\rho \theta }}\\\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array} =  - 8{k^0}{k^\mu }{D_F}({k^2}){D_F}({k^2}){\delta ^4}(0)\\\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array} =  - 2i{D_F}({k^2}){\delta ^4}(0) \cdot 2\pi \delta (0) \cdot {k^\mu }\end{array}$.               (1.47)

按照方程(1.42),方程(1.47) 右面的第一项是${\Psi _{k\rho \theta }}$的模方;因子$2\pi \delta (0)$是时空的

”无穷大”时间间隔. 因此态${\Psi _{k\rho \theta }}$ 确实有正确的四动量${k^\mu }$.

2.  旋量场的量子化

  为了能自然地得到反对易关系, 我们假定同时描写电子和正电子的经典旋量场$\psi $是一个Grassmann 场. 它的分量将写成${\psi ^{xa}}$, 而且叫做逆变分量. 狄拉克共轭$\bar \psi $的分量将写成${\psi _{xa}}$, 并叫做协变分量.因为${\psi _{xa}}{\psi ^{xa}}$在洛伦茨变换下是一个不变量, 这样的记号是合理的. ${\psi ^{xa}}$和${\psi _{xa}}$之间通过旋量场的协变度规来联系

        ${\psi _{xa}} = {g_{xa,yb*}}{\psi ^{yb*}} = {\delta _{xy}}{g_{ab*}}{\psi ^{yb*}}$.                  (2.1)

本文中将使用旋量的泡利-狄拉克表示. 在这个表示中旋量的度规是对角的:

        ${g_{11*}} = {g_{22*}} =  - {g_{33*}} =  - {g_{44*}} = 1.$                            (2.2)

量子旋量场的态泛函是:

        $\Psi  = \Psi (\psi ,\bar \psi ) = \Psi ({\psi ^{xa}},{\psi _{xa}}).$                       (2.3)

场的产生和湮灭算符用以下表示式定义:

        $\begin{array}{l}{{\hat \psi }^{( \pm )xa}} = \frac{{{\psi ^{xa}}}}{2} \pm {S_F}{^{xa}_{yc}} \cdot \frac{1}{i}\frac{\delta }{{\delta {\psi _{yc}}}},\\{{\hat \psi }^{( \pm )}}_{yc} = \frac{{{\psi _{yc}}}}{2} \pm {S_F}{^{xa}_{yc}} \cdot \frac{1}{i}\frac{\delta }{{\delta {\psi ^{xa}}}},\end{array}$

        $\begin{array}{l}{{\hat \psi }^{( \pm )yb*}} = \frac{{{\psi ^{yb*}}}}{2} \pm {S_F}^{xa,yb*} \cdot \frac{1}{i}\frac{\delta }{{\delta {\psi ^{xa}}}}\\\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array} = {g^{xa,yb*}}{{\hat \psi }^{( \pm )}}_{xa},\\{{\hat \psi }^{( \pm )}}_{yb*} = \frac{{{\psi _{yb*}}}}{2} \pm {S_{Fxa,yb*}} \cdot \frac{1}{i}\frac{\delta }{{\delta {\psi _{xa}}}}\\\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array} = {g_{xa,yb*}}{{\hat \psi }^{( \pm )xa}},\end{array}$                         (2.4)

其中 ${S_F}{^{xa}_{yc}}$ 是费曼传播子,详细的表达式在后面给出. 而

        $\begin{array}{l}{S_F}^{xa,yb*} = {g^{zc,yb*}} \cdot {S_F}{^{xa}_{zc}},\\{S_{Fxa,yb*}} = {g_{zc,yb*}} \cdot {S_F}{^{zc}_{xa}}.\end{array}$                       (2.5)

${g^{zc,yb*}}$ 是旋量场度规的逆变分量, 满足:

        $\begin{array}{l}{g^{zc,yb*}} = {\delta ^{zy}}{g^{cb*}}\\{g_{cb*}}{g^{b*a}} = {\delta ^a}_c,\\{g_{ad*}}{g^{b*a}} = {\delta ^{b*}}_{d*}.\end{array}$                                  (2.6)

由于Grassmann变量的乘法和微分运算的反对易性质, 这些算符满足以下的反对易关系:

        $\begin{array}{l}\{ {{\hat \psi }^{( - )xa}},{{\hat \psi }^{( - )}}_{yc}\}  =  + i{S_F}{^{xa}_{yc}},\\\{ {{\hat \psi }^{( + )xa}},{{\hat \psi }^{( + )}}_{yc}\}  =  - i{S_F}{^{xa}_{yc}},\\\{ {{\hat \psi }^{( - )xa}},{{\hat \psi }^{( - )yb*}}\}  =  + i{S_F}^{xa,yb*},\\\{ {{\hat \psi }^{( + )xa}},{{\hat \psi }^{( + )yb*}}\}  =  - i{S_F}^{xa,yb*},\\\{ {{\hat \psi }^{( - )}}_{xa},{{\hat \psi }^{( - )}}_{yb*}\}  =  + i{S_{Fxa,yb*}},\\\{ {{\hat \psi }^{( + )}}_{xa},{{\hat \psi }^{( + )}}_{yb*}\}  =  - i{S_{Fxa,yb*}}.\end{array}$                    (2.7)

容易看出:

        $\begin{array}{l}{\psi ^{xa}} = {{\hat \psi }^{( + )xa}} + {{\hat \psi }^{( - )xa}},\\{\psi ^{xb*}} = {{\hat \psi }^{( + )xb*}} + {{\hat \psi }^{( - )xb*}},\\{\psi _{xa}} = {{\hat \psi }^{( + )}}_{xa} + {{\hat \psi }^{( - )}}_{xa},\\{\psi _{xb*}} = {{\hat \psi }^{( + )}}_{xb*} + {{\hat \psi }^{( - )}}_{xb*}.\end{array}$                            (2.8)

    经典Grassmann 旋量场的作用量是

        $\begin{array}{l}{\psi ^{xa}} = {{\hat \psi }^{( + )xa}} + {{\hat \psi }^{( - )xa}},\\{\psi ^{xb*}} = {{\hat \psi }^{( + )xb*}} + {{\hat \psi }^{( - )xb*}},\\{\psi _{xa}} = {{\hat \psi }^{( + )}}_{xa} + {{\hat \psi }^{( - )}}_{xa},\\{\psi _{xb*}} = {{\hat \psi }^{( + )}}_{xb*} + {{\hat \psi }^{( - )}}_{xb*}.\\{S_e} = \int {dxdy}  \cdot {\psi _{xa}}{L_e}{^{xa}_{yc}}{\psi ^{yc}}\\{L_e}{^{xa}_{yc}} = ({{\hat p}_\mu }{\gamma ^{\mu a}}_c - m{\delta ^a}_c){\delta ^x}_y,\end{array}$                         (2.9)

其中${\gamma ^{\mu a}}_c$是 $\gamma $ 矩阵的分量. 和电磁场的情形相似, 我们假定真空态是

        ${\Psi _{0e}} = \exp [\frac{i}{2}{S_{eF}}]$,

        $\begin{array}{l}{S_{eF}} = \int {dxdy}  \cdot {\psi _{xa}}{L_{eF}}{^{xa}_{yc}}{\psi ^{yc}}\\{L_{eF}}{^{xa}_{yc}} = {L_e}{^{xa}_{yc}} + {\varepsilon ^{xa}}_{yc},\end{array}$        (2.10)

这里的$\epsilon$是一个无穷小量.因此 ${\hat \psi ^{( - )xa}},{\hat \psi ^{( + )xb*}},{\hat \psi ^{( + )}}_{xa},{\hat \psi ^{( - )}}_{xb*}$是湮灭算符:

        $\begin{array}{l}{{\hat \psi }^{( - )xa}} \cdot {\Psi _{0e}} = 0,\\{{\hat \psi }^{( + )xb*}} \cdot {\Psi _{0e}} = 0,\\{{\hat \psi }^{( + )}}_{xa} \cdot {\Psi _{0e}} = 0,\\{{\hat \psi }^{( - )}}_{xb*} \cdot {\Psi _{0e}} = 0.\end{array}$                                     (2.11)

我们假定量子旋量场的运动方程是:

        $[({{\hat p}_\mu }{\gamma ^{\mu a}}_c - m{\delta ^a}_c){{\hat \psi }^{( - )xc}}] \cdot \Psi  = 0,$

        $[{{\hat \psi }^{( + )}}_{xa}({{\hat p}_\mu }{\gamma ^{\mu a}}_c - m{\delta ^a}_c)] \cdot \Psi  = 0.$                        (2.12)

它们等价於:

        $[( - {{\hat p}_\mu }{\gamma ^{\mu b*}}_{d*} - m{\delta ^{b*}}_{d*}){{\hat \psi }^{( + )xd*}}] \cdot \Psi  = 0,$

$[{{\hat \psi }^{( - )}}_{xb*}( - {{\hat p}_\mu }{\gamma ^{\mu b*}}_{d*} - m{\delta ^{b*}}_{d*})] \cdot \Psi  = 0.$                    (2.13)

对于量子旋量场来说, 关于态泛函的内积, 归一化条件和算符的对偶性等的定义和量子电磁场完全相同. 从方程(1.13) 和(1.17), 我们看到任意两个态泛函必定相互对易:

${\Psi _1}{\Psi _2} = {\Psi _2}{\Psi _1},$                                       (2.14)

因此任何态泛函必定只包含Grassmann 变量的偶次幂 与电磁场的情形相似, 我们假定态泛函也满足周期性边界条件,. 因此, ${\hat \psi ^{( + )xa}},{\hat \psi ^{( - )xb*}},{\hat \psi ^{( - )}}_{xa},{\hat \psi ^{( + )}}_{xb*}$分别是${\hat \psi ^{( - )xa}},{\hat \psi ^{( + )xb*}},{\hat \psi ^{( + )}}_{xa},{\hat \psi ^{( - )}}_{xb*}$ 的对偶算符. 于是我们有

        $\begin{array}{l}{\Psi _{0e}} \cdot {{\hat \psi }^{( + )xa}} = 0,\\{\Psi _{0e}} \cdot {{\hat \psi }^{( - )xb*}} = 0,\\{\Psi _{0e}} \cdot {{\hat \psi }^{( - )}}_{xa} = 0,\\{\Psi _{0e}} \cdot {{\hat \psi }^{( + )}}_{xb*} = 0.\end{array}$                        (2.15)

按照右算符的定义, 方程(2.12) 和 (2.13) 可以重新写成:

    $\begin{array}{l}\Psi  \cdot [({{\hat p}_\mu }{\gamma ^{\mu a}}_c - m{\delta ^a}_c){{\hat \psi }^{( + )xc}}] = 0,\\\Psi  \cdot [{{\hat \psi }^{( - )}}_{xa}({{\hat p}_\mu }{\gamma ^{\mu a}}_c - m{\delta ^a}_c)] = 0,\\\Psi  \cdot [({{\hat p}_\mu }{\gamma ^{\mu a}}_c - m{\delta ^a}_c){{\hat \psi }^{( + )xc}}] = 0,\\\Psi  \cdot [{{\hat \psi }^{( - )}}_{xa}({{\hat p}_\mu }{\gamma ^{\mu a}}_c - m{\delta ^a}_c)] = 0,\\\Psi  \cdot [{{\hat \psi }^{( - )xd*}}( - {{\hat p}_\mu }{\gamma ^{\mu b*}}_{d*} - m{\delta ^{b*}}_{d*})] = 0,\\\Psi  \cdot [( - {{\hat p}_\mu }{\gamma ^{\mu b*}}_{d*} - m{\delta ^{b*}}_{d*}){{\hat \psi }^{( + )}}_{xb*}] = 0.\end{array}$                         (2.16)

如果我们假定量子场的能量动量张量密度算符是:

        $\begin{array}{l}{{\hat T}^{\mu \nu }}_e(x) = 2{{\hat \psi }^{( - )}}_{xa} \cdot {\gamma ^{\nu a}}_c{{\hat p}^\mu }{{\hat \psi }^{( - )xc}}\\\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}&{}&{}\end{array} - 2{{\hat \psi }^{( + )xc}} \cdot {\gamma ^{\nu a}}_c{{\hat p}^\mu }{{\hat \psi }^{( + )}}_{xa} - {g^{\mu \nu }}{{\hat L}_e}(x),\end{array}$                 (2.17)

其中${\hat L_e}(x)$是拉格朗日密度算符:

        ${\hat L_e}(x) = \int {dy}  \cdot [2{\hat \psi ^{( - )}}_{xa}{L_e}{^{xa}_{yc}}{\hat \psi ^{( - )yc}} - 2{\hat \psi ^{( + )yc}}{L_e}{^{xa}_{yc}}{\hat \psi ^{( + )}}_{xa}]$       (2.18)

那么从运动方程(2.12), (2.13) 和 (2.16) 我们可以推导出以下的能量动量守恒定律:

        ${\partial _\nu }\int {D\psi  \cdot \Psi {{\hat T}^{\mu \nu }}_e(x)\Psi }  = 0.$               (2.19)

如果我们定义量子场的电流密度算符为:

        ${\hat J^\nu }(x) = 2{\hat \psi ^{( - )}}_{xa} \cdot {\gamma ^{\nu a}}_c{\hat \psi ^{( - )xc}} - 2{\hat \psi ^{( - )xc}} \cdot {\gamma ^{\nu a}}_c{\hat \psi ^{( + )}}_{xa},$           (2.20)

那么我们还可以推导出以下的电荷守恒定律:

        ${\partial _\nu }\int {D\psi  \cdot \Psi {{\hat j}^\nu }(x)\Psi }  = 0.$                              (2.21)

    经典旋量场的动量分量由下式给出:

        $\begin{array}{l}{\psi ^{p\sigma }} = \int {dx}  \cdot u_{xa}^{p\sigma }{\psi ^{xa}},\\{\psi _{p\sigma }} = \int {dx}  \cdot u_{p\sigma }^{xa}{\psi _{xa}},\end{array}$                                  (2.22)

其中幺正变换函数 $u_{p\sigma }^{xc}$和它的逆$u_{xa}^{p\sigma }$满足:

        $\begin{array}{l}u_{xa}^{p\sigma } = {(u_{p\sigma }^{xa})^*},\\u_{p\sigma }^{xa}u_{yc}^{p\sigma } = {\delta ^a}_c{\delta ^x}_y,\end{array}$                                  (2.23)

和

        $\begin{array}{l}u_{p\sigma }^{xc} = u_p^xu_\sigma ^c(p),\\u_p^x = {(2\pi )^{ - 2}}{e^{ - ipx}},\\({\gamma ^{\mu a}}_c{{\hat p}_\mu } - m{\delta ^a}_c)u_{p\sigma }^{xc} = ({p_0} - E(p\sigma )){\gamma ^{0a}}_cu_{p\sigma }^{xc}.\end{array}$           (2.24)

方程(2.24) 中的能量本征值是::

        $\begin{array}{l}E(p\sigma ) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ + E\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array}\sigma  = 1,2}\\{ - E\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array}\sigma  = 3,4}\end{array}} \right.\\E = \sqrt {{{\vec p}^2} + {m^2}} .\end{array}$              (2.25)

旋量场的度规的动量分量是:

        $\begin{array}{l}{g_{p\sigma ,q\rho *}} = u_{p\sigma }^{xa}{g_{xa,yb*}}u_{q\rho *}^{yb*},\\{g^{p\sigma ,q\rho *}} = u_{xa}^{p\sigma }{g^{xa,yb*}}u_{yb*}^{q\rho *}.\end{array}$        (2.26)

动量表象中, 旋量传播子是:

        $\begin{array}{l}{S_F}^{p\sigma ,q\pi *} = {S_F}^{q\pi *,p\sigma } = {\delta ^{pq*}}{\delta ^{\sigma \pi *}}{S_F}(p\sigma )\\{S_F}{^{p\sigma }_{q\rho }} = {g_{q\rho ,q'\pi *}}{S_F}^{p\sigma ,q'\pi *}\\{S_F}{^{p\sigma *}_{q\rho *}} = {g_{q\rho *,q'\pi }}{S_F}^{p\sigma *,q'\pi }\\{S_{Fp\sigma ,q\pi *}} = {g_{p\sigma ,q'\rho *}}{S_F}{^{q'\rho *}_{q\pi *}} = {\delta _{pq*}}{\delta _{\sigma \pi *}}{S_F}(p\sigma )\end{array}$                (2.27)

其中:

        $\begin{array}{l}{S_F}(p\sigma ) = \frac{1}{{{p_0} - E(p\sigma ) + i\varepsilon (p\sigma )}}\\\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{P\frac{1}{{{p_0} - E}} - i\pi \delta ({p_0} - E)\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array}\sigma  = 1,2}\\{P\frac{1}{{{p_0} + E}} + i\pi \delta ({p_0} + E)\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array}\sigma  = 3,4}\end{array}} \right.\end{array}$  .   (2.28)

量子旋量场的产生和湮灭算符的动量分量是:

        $\begin{array}{l}{{\hat \psi }^{( \pm )p\sigma }} = \frac{{{\psi ^{p\sigma *}}}}{2} \pm {S_F}(p\sigma ) \cdot \frac{1}{i}\frac{\delta }{{\delta {\psi ^{p\sigma *}}}},\\{{\hat \psi }^{( \pm )p\sigma *}} = \frac{{{\psi ^{p\sigma *}}}}{2} \pm {S_F}(p\sigma ) \cdot \frac{1}{i}\frac{\delta }{{\delta {\psi ^{p\sigma }}}},\\{{\hat \psi }^{( \pm )}}_{p\sigma } = \frac{{{\psi _{p\sigma }}}}{2} \pm {S_F}{^{q\pi }_{p\sigma }} \cdot \frac{1}{i}\frac{\delta }{{\delta {\psi ^{q\pi }}}},\\{{\hat \psi }^{( \pm )}}_{p\sigma *} = \frac{{{\psi _{p\sigma *}}}}{2} \pm {S_F}{^{q\pi *}_{p\sigma *}} \cdot \frac{1}{i}\frac{\delta }{{\delta {\psi ^{q\pi }}}}.\end{array}$                      (2.29)

它们满足以下对易关系:

         $\begin{array}{l}\{ {{\hat \psi }^{( - )p\sigma }},{{\hat \psi }^{( - )}}_{xa}\}  =  + i{S_F}{^{p\sigma }_{xa}},\\\{ {{\hat \psi }^{( - )p\sigma }},{{\hat \psi }^{( - )q\pi *}}\}  =  + i{S_F}^{p\sigma ,q\pi *},\\\{ {{\hat \psi }^{( + )xa}},{{\hat \psi }^{( + )}}_{yc}\}  =  - i{S_F}{^{xa}_{yc}},\\\{ {{\hat \psi }^{( + )p\sigma }},{{\hat \psi }^{( + )q\pi *}}\}  =  - i{S_F}^{p\sigma ,q\pi *}.\end{array}$                           (2.30)

动量表象中的运动方程是:

        $[({p_0} - E(p\sigma )){{\hat \psi }^{( - )p\sigma }}] \cdot \Psi  = 0,$

        $[{{\hat \psi }^{( + )}}_{p\sigma }({p_0} - E(p\sigma ))] \cdot \Psi  = 0,$

        ${p_0} - E(p\sigma )){{\hat \psi }^{( + )p\sigma *}}] \cdot \Psi  = 0,$

        $[{{\hat \psi }^{( - )}}_{p\sigma *}({p_0} - E(p\sigma ))] \cdot \Psi  = 0.$                         (2.31)

  如果${p_0} = E(p\sigma )$, $\eta $是一个Grassmann 变量, 则态

        ${\Psi _{p\sigma \eta \theta }} = ({e^{ + i\theta }}{\eta ^*}{\psi ^{p\sigma }} + {e^{ - i\theta }}{\psi ^{p\sigma *}}\eta ) \cdot {\Psi _{0e}}$                 (2.32)

满足运动方程, 是单个电子或正电子的物理态. 当$\sigma  = 1,2$ 时, ${\Psi _{p\sigma \eta \theta }}$ 代表一个四动量 $p({p_0} = E)$ 的电子. 当 $\sigma  = 3,4$时，它代表一个四动量$ - p({p_0} =  - E)$的正电子. $\theta $ 是这个态的相位. Grassmann 变量h在单电子/正电子态泛函中出现, 反映了费米子必然成对出现这一事实. ${\Psi _{p\sigma \eta \theta }}$的模方是:

        $({\Psi _{p\sigma \eta \theta }},{\Psi _{p\sigma \eta \theta }}) = \int {D\psi D\eta }  \cdot {\Psi _{p\sigma \eta \theta }}{\Psi _{p\sigma \eta \theta }},$                     (2.33)

其中

        $\int {D\eta }  \cdot \eta {\eta ^*} = 1.$                                              (2.34)

两个态${\Psi _{p\sigma \eta \theta }}$ , ${\Psi _{p\sigma \eta \theta '}}$的内积是:

        $\int {D\psi D\eta }  \cdot {\Psi _{p\sigma \eta \theta }}{\Psi _{p'\sigma '\eta \theta '}} =  - 2i{\delta _{pp'*}}{\delta _{\sigma \sigma '*}}{S_F}(p\sigma )\cos (\theta  - \theta ')$.    (2.35)

在动量表示中, 能量动量密度算符可取作:

        $\begin{array}{l}{{\hat T}^{\mu \nu }}_e(p) = 2{{\hat \psi }^{( - )}}_{p\sigma } \cdot {\gamma ^{\nu \sigma }}_\rho (p){p^\mu }{{\hat \psi }^{( - )p\rho }}\\\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}&{}&{}\end{array} - 2{{\hat \psi }^{( + )p\rho }} \cdot {\gamma ^{\nu \sigma }}_\rho (p){p^\mu }{{\hat \psi }^{( + )}}_{p\sigma } - {g^{\mu \nu }}{{\hat L}_e}(p)\end{array}$            (2.36)

其中 ${\hat L_e}(p)$ 是拉格朗日密度算符:

        ${\hat L_e}(p) = 2{\hat \psi ^{( - )}}_{p\sigma }{L_e}{^\sigma _\rho }(p){\hat \psi ^{( - )p\rho }} - 2{\hat \psi ^{( + )p\rho }}{L_e}{^\sigma _\rho }(p){\hat \psi ^{( + )}}_{p\sigma }$,          (2.37)

而

        ${L_e}{^\sigma _\rho }(p) = {\gamma ^{0\sigma }}_\rho (p)({p_0} - E(p\sigma )).$                           (2.38)

因此对单个电子或正电子态${\Psi _{p\sigma \eta \theta }}$ (${p_0} = E(p\sigma )$), 全部时空中的总能量动量的平均值是:

        $\begin{array}{l}\int {D\psi D\eta  \cdot } {\Psi _{p\sigma \eta \theta }}\int {dp' \cdot } {{\hat T}^{\mu 0}}(p'){\Psi _{p\sigma \eta \theta }}\\\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array} = 4{\delta ^4}(0){p^\mu }{S_F}(p\sigma ){S_F}(p\sigma )\\\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array} =  - 2i{\delta ^4}(0){S_F}(p\sigma ) \cdot 2\pi i\delta (0) \cdot ( \pm {p^\mu }).\end{array}$                   (2.39)

按照(2.35)式, (2.39)式右面第一项是态 ${\Psi _{p\sigma \eta \theta }}$的模方.因子$2\pi \delta (0)$是时空的无穷时间间隔. 因此态${\Psi _{p\sigma \eta \theta }}$ 有正确的能量动量值(对电子是${p^\mu }$,对正电子是$ - {p^\mu }$).

3 量子电动力学

现在量子场的态泛函是:

 $\Psi  = \Psi (A,\psi ,\bar \psi ) = \Psi ({A^{x\mu }},{\psi ^{xa}},{\psi _{xa}})$.                       (3.1)

“裸真空态”将记作:

        ${\Psi _0} = \exp [\frac{i}{2}({S_{eF}} + {S_{\gamma F}})]$,                                 (3.2)

电磁相互作用的拉格朗日量为:

        ${L_{{\mathop{\rm int}} }}(x) =  - e{\psi _{xa}}{A_{x\lambda }}{\gamma ^{\lambda a}}_c{\psi ^{xa}}$                         (3.3)

电磁相互作用量是:

        ${S_{{\mathop{\rm int}} }} = \int {dx}  \cdot {L_{{\mathop{\rm int}} }}(x)$               (3.4)

我们假定物理的真空态是:

         ${\Psi _{0\_QED}} = \exp [\frac{i}{2}{S_{{\mathop{\rm int}} }}] \cdot {\Psi _0}$                                (3.5)

而且我们更进一步假定量子场的运动方程是:

        $[({{\hat p}_\mu }{\gamma ^{\mu a}}_c - m{\delta ^a}_c){{\hat \psi }^{( - )xc}} - \frac{1}{2}e{A_{x\mu }}{\gamma ^{\mu a}}_c{\psi ^{xc}}] \cdot \Psi  = 0,$

$[{{\hat \psi }^{( + )}}_{xa}({{\hat p}_\mu }{\gamma ^{\mu a}}_c - m{\delta ^a}_c) - \frac{1}{2}e{\psi _{xa}}{A_{x\mu }}{\gamma ^{\mu a}}_c] \cdot \Psi  = 0,$

$[{{\hat k}^2}{{\hat A}^{( - )x\mu }} + \frac{1}{2}e{\psi _{xa}}{\gamma ^{\mu a}}_c{\psi ^{xc}}] \cdot \Psi  = 0.$             (3.6)

其中的第二个方程与下面的方程等价:

        $[( - {\hat p_\mu }{\gamma ^{\mu b*}}_{d*} - m{\delta ^{b*}}_{d*}){\hat \psi ^{( - )xd*}} - \frac{1}{2}e{A_{x\mu }}{\gamma ^{\mu b*}}_{d*}{\psi ^{xd*}}] \cdot \Psi  = 0$        (3.7)

运动方程(3.6)又可写成:

     $\begin{array}{l}\Psi  \cdot [({{\hat p}_\mu }{\gamma ^{\mu a}}_c - m{\delta ^a}_c){{\hat \psi }^{( + )xc}} - \frac{1}{2}e{A_{x\mu }}{\gamma ^{\mu a}}_c{\psi ^{xc}}] = 0\\\Psi  \cdot [{{\hat \psi }^{( - )}}_{xa}({{\hat p}_\mu }{\gamma ^{\mu a}}_c - m{\delta ^a}_c) - \frac{1}{2}e{\psi _{xa}}{A_{x\mu }}{\gamma ^{\mu a}}_c] = 0\\\Psi  \cdot [{{\hat k}^2}{{\hat A}^{( + )x\mu }} + \frac{1}{2}e{\psi _{xa}}{\gamma ^{\mu a}}_c{\psi ^{xc}}] = 0\end{array}$             (3.8)

如果选取量子场的能量动量张量密度算符为:

        ${\hat T^{\mu \nu }}(x) = {\hat T^{\mu \nu }}_e(x) + {\hat T^{\mu \nu }}_\gamma (x) - {g^{\mu \nu }}{\hat L_{{\mathop{\rm int}} }}(x)$,             (3.9)

其中的相互作用量拉格朗日量密度算符为:

        ${\hat L_{{\mathop{\rm int}} }}(x) =  - e{\psi _{xa}}{A_{x\lambda }}{\gamma ^{\lambda a}}_c{\psi ^{xa}}$ ,                        (3.10)

则从运动方程(3.6)和(3.8)可以导出量子场的能量动量守恒定律:

          ${\partial _\nu }\int {DAD\psi  \cdot \Psi {{\hat T}^{\mu \nu }}(x)\Psi }  = 0$                    (3.11)

容易验证, 态:

        ${\Psi _{k\rho \theta }} = ({e^{ + i\theta }}{\rho _\mu }{A^{k\mu }} + {e^{ - i\theta }}{\rho _{\mu *}}{A^{k\mu *}}) \cdot {\Psi _{0\_QED}}$                 (3.12)

和态:

        ${\Psi _{p\sigma \eta \theta }} = ({e^{ + i\theta }}{\eta ^*}{\psi ^{p\sigma }} + {e^{ - i\theta }}{\psi ^{p\sigma *}}\eta ) \cdot {\Psi _{0\_QED}}$                 (3.13)

满足运动方程(3.6), 其中各符号的意义参见(1.40)和(2.33). 它们和无相互作用时的态的差别仅仅在于用${\Psi _{0\_QED}}$代替了${\Psi _0}$.以后我们将用它们来描写单个光子和单个电子/正电子的物理态.不但如此,含有更多个量子的态泛函也不难写出.例如,描写有一个电子/正电子和一个光子以及它们的相互作用的态泛函是:

         $\begin{array}{l}{\Psi _{k\rho \theta ,q\pi \eta \theta '}} = ({e^{ + i\theta }}{\rho _\mu }{A^{k\mu }} + {e^{ - i\theta }}{\rho _{\mu *}}{A^{k\mu *}})\\\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}&{}&{}\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array}({e^{ + i\theta '}}{\eta ^*}{\psi ^{p\sigma }} + {e^{ - i\theta '}}{\psi ^{p\sigma *}}\eta ) \cdot {\Psi _{0\_QED}}\end{array}$            (3.14)

4. Compton 散射

设"初态"中电子的四动量为$p$,极化为$\tau $,并且电子是静止的, 所以$\vec p = 0$,

${p_0} = m$ .又设光子的四动量为 ${k_i}$ ,能量为${k_{i0}} = {w_i}$ ,极化向量为${e_i}$,电子和光子的相位都是零.于是可以取这个初态的态泛函${\Psi _i}$为:

          $\begin{array}{l}{\Psi _i} = \exp [\frac{i}{2}{S_{{\mathop{\rm int}} }}] \cdot {\Psi _{i0}}\\{\Psi _{i0}} = ({e_{i\lambda }}{A^{{k_i}\lambda }} + {e_{i\lambda *}}{A^{{k_i}\lambda *}})({\eta ^*}{\psi ^{p\tau }} + {\psi ^{p\tau *}}\eta ) \cdot {\Psi _0}\end{array}$          (4.1)

记"末态"中电子的四动量为$q$,极化为$\pi $, ${q_0} = {E_f}$.又记光子的四动量为${k_f}$, 能量为${\omega _f}$, 极化向量为${e_f}$,电子和光子的相位分别是$\theta $和$\theta '$.与此相应的末态波泛函${\Psi _f}$为:

        $\begin{array}{l}{\Psi _f} = \exp [\frac{i}{2}{S_{{\mathop{\rm int}} }}] \cdot {\Psi _{f0}}\\{\Psi _{f0}} = ({e^{ + i\theta }}{e_{f\rho }}{A^{{k_f}\rho }} + {e^{ - i\theta }}{e_{f\rho *}}{A^{{k_f}\rho *}})({e^{ + i\theta '}}{\eta ^*}{\psi ^{q\pi }} + {e^{ - i\theta '}}{\psi ^{q\pi *}}\eta ) \cdot {\Psi _0}\end{array}$   (4.2)

能量动量守恒要求:

        $p + {k_i} = q + {k_f}$                                         (4.3)

初态${\Psi _i}$和末态${\Psi _f}$的内积$({\Psi _i},{\Psi _f})$相当於通常理论中的散射矩阵元,以下我们将用微扰论的方法计算它.把它按相互作用量的幂展开:

        $\begin{array}{l}({\Psi _f},{\Psi _i})\\\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array} = \int {DAD\psi D\eta }  \cdot {\Psi _{f0}}{\Psi _{i0}} \cdot \exp [i{S_{{\mathop{\rm int}} }}]\\\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array} = \int {DAD\psi D\eta }  \cdot {\Psi _{f0}}{\Psi _{i0}} \cdot (1 + i{S_{{\mathop{\rm int}} }} - \frac{1}{2}S_{{\mathop{\rm int}} }^2 + ....)\end{array}$     (4.4)

则最低阶的贡献是:

        $A_{}^{(2)} =  - \frac{1}{2}\int {DAD\psi D\eta }  \cdot {\Psi _{f0}}{\Psi _{i0}} \cdot S_{{\mathop{\rm int}} }^2$                  (4.5)

应用(2.34)式以及 Grassman 变量的反对易性,得到:

        $\begin{array}{l}A_{}^{(2)} = \frac{1}{2}(B1 + B2)\\B1 =  - {e^{ + i\theta '}}\int {DAD\psi }  \cdot {\Psi _0}{\psi ^{p\tau *}}({e^{ + i\theta }}{e_{f\rho }}{A^{{k_f}\rho }} + {e^{ - i\theta }}{e_f}^\rho {A_{{k_f}\rho }})\\\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array} \cdot S_{{\mathop{\rm int}} }^2 \cdot ({e_{i\lambda }}{A^{{k_i}\lambda }} + {e_i}^\lambda {A_{{k_i}\lambda }}) \cdot {\psi ^{q\pi }}{\Psi _0}\\B2 =  - {e^{ - i\theta '}}\int {DAD\psi }  \cdot {\psi ^{p\tau }}{\Psi _0}({e^{ + i\theta }}{e_{f\rho }}{A^{{k_f}\rho }} + {e^{ - i\theta }}{e_f}^\rho {A_{{k_f}\rho }})\\\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array} \cdot S_{{\mathop{\rm int}} }^2 \cdot ({e_{i\lambda }}{A^{{k_i}\lambda }} + {e_i}^\lambda {A_{{k_i}\lambda }}) \cdot {\psi ^{q\pi *}}{\Psi _0}\end{array}$      (4.6)

我们首先计算 B1.用:

        $S_{{\mathop{\rm int}} }^2 = {e^2}\int {dy}  \cdot {\psi _{yc}}{A_{y\nu }}{\gamma ^{\nu c}}_d{\psi ^{yd}}\int {dx}  \cdot {\psi _{xa}}{A_{x\mu }}{\gamma ^{\mu a}}_b{\psi ^{xb}}$          (4.7)

代入, 得到:

        $\begin{array}{l}B1 =  + {e^2}{e^{ + i\theta '}}\int {DAD\psi } \int {dx} dy({e^{ + i\theta }}{e_{f\rho }}{A^{{k_f}\rho }} + {e^{ - i\theta }}{e_f}^\rho {A_{{k_f}\rho }})\\\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}&{}&{}\end{array}{A_{y\nu }}{\gamma ^{\nu c}}_d{A_{x\mu }}{\gamma ^{\mu a}}_b({e_{i\lambda }}{A^{{k_i}\lambda }} + {e_i}^\lambda {A_{{k_i}\lambda }})\\\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}&{}&{}\end{array}{\Psi _0}{\psi ^{p\tau *}}{\psi _{yc}}{\psi _{xa}}{\psi ^{yd}}{\psi ^{xb}}{\psi ^{q\pi }}{\Psi _0}.\end{array}$      (4.8)

先考察与旋量场有关的因子.由于:

        $\begin{array}{l}{\psi ^{p\tau *}} = {{\hat \psi }^{( + )p\tau *}} + {{\hat \psi }^{( - )p\tau *}},\\{\Psi _0}{{\hat \psi }^{( - )p\tau *}} = 0,\end{array}$                                 (4.9)

所以:

        ${\Psi _0}{\psi ^{p\tau *}} = {\Psi _0}{\hat \psi ^{( + )p\tau *}}.$                                     (4.10)

再由于:

        $\begin{array}{l}{\psi ^{xb}} = {{\hat \psi }^{( + )xb}} + {{\hat \psi }^{( - )xb}},\\{{\hat \psi }^{( - )xb}}{\Psi _0} = 0,\\\{ {{\hat \psi }^{( - )xb}},{{\hat \psi }^{( + )q\pi }}\}  = 0,\end{array}$                                   (4.11)

所以: 

        ${\psi ^{xb}}{\psi ^{q\pi }}{\Psi _0} = {\hat \psi ^{( + )xb}}{\hat \psi ^{( + )q\pi }}{\Psi _0}$                          (4.12)

重复以上过程, 得到

        ${\psi ^{yd}}{\psi ^{xb}}{\psi ^{q\pi }}{\Psi _0} = {\hat \psi ^{( + )yd}}{\hat \psi ^{( + )xb}}{\hat \psi ^{( + )q\pi }}{\Psi _0}.$                   (4.13)

和:

        ${\Psi _0}{\psi ^{p\tau *}}{\psi _{yc}}{\psi _{xa}} = {\Psi _0}{\hat \psi ^{( + )p\tau *}}{\hat \psi ^{( + )}}_{yc}{\hat \psi ^{( + )}}_{xa}$                  (4.14)

于是, 这个因子中的场量已经全部变成了产生和消失算符, 可以利用它们的对易关系来计算. 结果是:

        $\begin{array}{l}{\Psi _0}{\psi ^{p\tau *}}{\psi _{yc}}{\psi _{xa}}{\psi ^{yd}}{\psi ^{xb}}{\psi ^{q\pi }} \cdot {\Psi _0}\\\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array} =  - i{\Psi _0} \cdot {S_F}^{p\tau *,yd} \cdot {S_F}{^{xb}_{yc}} \cdot {S_F}{^{q\pi }_{xa}} \cdot {\Psi _0}\\\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}&{}\end{array} + i{\Psi _0} \cdot {S_F}^{p\tau *,xb} \cdot {S_F}{^{yd}_{yc}} \cdot {S_F}{^{q\pi }_{xa}} \cdot {\Psi _0}\\\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}&{}\end{array} + i{\Psi _0} \cdot {S_F}^{p\tau *,yd} \cdot {S_F}{^{xb}_{xa}} \cdot {S_F}{^{q\pi }_{yc}} \cdot {\Psi _0}\\\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}&{}\end{array} - i{\Psi _0} \cdot {S_F}^{p\tau *,xb} \cdot {S_F}{^{yd}_{xa}} \cdot {S_F}{^{q\pi }_{yc}} \cdot {\Psi _0}\end{array}$                (4.15)

计算过程中, 已考虑到由于初态和末态不同,

        ${S_F}^{p\tau *,q\pi } = 0$                                              (4.16)

其次, 由于: 

        ${S_F}{^{xb}_{xa}} = \int {dp}  \cdot {(2\pi )^{ - 4}}\frac{{ + m}}{{{p^2} - {m^2} + i\varepsilon }} \cdot \delta _a^b$                    (4.17)

再考虑到 $\gamma $矩阵的零迹性,

        ${\gamma ^{\mu a}}_b\delta _a^b = {\gamma ^{\mu a}}_a = 0$                                (4.18)

(4.16)中含有${S_F}{^{xb}_{xa}}$的项对最终结果没有贡献. 同样, 含有 ${S_F}{^{yd}_{yc}}$的项也没有贡献. 因此, 将(4.15)代入(4.8),并且考虑到指标$x,\mu ,a,b$和$y,\nu ,c,d$ 的对称性,就得到:

        $\begin{array}{l}B1 =  - 2i{e^2}{e^{ + i\theta '}}\int {DAD\psi }  \cdot \int {dx} dy\\\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}&{}\end{array}({e^{ + i\theta }}{e_{f\rho }}{A^{{k_f}\rho }} + {e^{ - i\theta }}{e_f}^\rho {A_{{k_f}\rho }}) \cdot {A_{y\nu }}{\gamma ^{\nu c}}_d\\\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}&{}\end{array} \cdot {A_{x\mu }}{\gamma ^{\mu a}}_b({e_{i\lambda }}{A^{{k_i}\lambda }} + {e_i}^\lambda {A_{{k_i}\lambda }})\\\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}&{}\end{array}{\Psi _0} \cdot {S_F}^{p\tau *,yd} \cdot {S_F}{^{xb}_{yc}} \cdot {S_F}{^{q\pi }_{xa}} \cdot {\Psi _0}\end{array}$                (4.19)

下面我们按类似的方法来计算此式中与电磁场有关的因子,考虑到:

        ${D_F}^{{k_f}\rho ,{k_i}\lambda } = 0$                              (4.20)

等, 得到:

        $\begin{array}{l}{\Psi _0}({e^{ + i\theta }}{e_{f\rho }}{A^{{k_f}\rho }} + {e^{ - i\theta }}{e_f}^\rho {A_{{k_f}\rho }}) \cdot {A_{y\nu }}{\gamma ^{\nu c}}_d\\\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}&{}\end{array} \cdot {A_{x\mu }}{\gamma ^{\mu a}}_b({e_{i\lambda }}{A^{{k_i}\lambda }} + {e_i}^\lambda {A_{{k_i}\lambda }}){\Psi _0}\\\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array} =  - {\Psi _0}{\Psi _0}[{e^{ + i\theta }}{e_{f\rho }}{e_{i\lambda }}({u^{{k_f}}}_y{u^{{k_i}}}_x{\gamma ^{\rho c}}_d{\gamma ^{\lambda a}}_b + {u^{{k_f}}}_x{u^{{k_i}}}_y{\gamma ^{\lambda c}}_d{\gamma ^{\rho a}}_b)\\\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}&{}\end{array} + {e^{ + i\theta }}{e_{f\rho }}{e_{i\lambda }}({u^{{k_f}}}_yu_{{k_i}}^x{\gamma ^{\rho c}}_d{\gamma ^{\lambda a}}_b + {u^{{k_f}}}_xu_{{k_i}}^y{\gamma ^{\lambda c}}_d{\gamma ^{\rho a}}_b)\\\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}&{}\end{array} + {e^{ - i\theta }}{e_{f\rho }}{e_{i\lambda }}(u_{{k_f}}^y{u^{{k_i}}}_x{\gamma ^{\rho c}}_d{\gamma ^{\lambda a}}_b + u_{{k_f}}^x{u^{{k_i}}}_y{\gamma ^{\lambda c}}_d{\gamma ^{\rho a}}_b)\\\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}&{}\end{array} + {e^{ - i\theta }}{e_{f\rho }}{e_{i\lambda }}(u_{{k_f}}^yu_{{k_i}}^x{\gamma ^{\lambda c}}_d{\gamma ^{\rho a}}_b + u_{{k_f}}^xu_{{k_i}}^y{\gamma ^{\lambda c}}_d{\gamma ^{\rho a}}_b)]{D_F}(k_i^2){D_F}(k_f^2)\end{array}$ (4.21)

将它代入(4.19),并利用(1.15)等, 即得:

        $\begin{array}{l}B1 =  + 2i{e^2}{e^{ + i\theta '}}{D_F}(k_i^2){D_F}(k_f^2)\int {dx} dy\\\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}&{}\end{array}[{e^{ + i\theta }}{e_{f\rho }}{e_{i\lambda }}({u^{{k_f}}}_y{u^{{k_i}}}_x{\gamma ^{\rho c}}_d{\gamma ^{\lambda a}}_b + {u^{{k_f}}}_x{u^{{k_i}}}_y{\gamma ^{\lambda c}}_d{\gamma ^{\rho a}}_b)\\\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}&{}\end{array} + {e^{ + i\theta }}{e_{f\rho }}{e_{i\lambda }}({u^{{k_f}}}_yu_{{k_i}}^x{\gamma ^{\rho c}}_d{\gamma ^{\lambda a}}_b + {u^{{k_f}}}_xu_{{k_i}}^y{\gamma ^{\lambda c}}_d{\gamma ^{\rho a}}_b)\\\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}&{}\end{array} + {e^{ - i\theta }}{e_{f\rho }}{e_{i\lambda }}(u_{{k_f}}^y{u^{{k_i}}}_x{\gamma ^{\rho c}}_d{\gamma ^{\lambda a}}_b + u_{{k_f}}^x{u^{{k_i}}}_y{\gamma ^{\lambda c}}_d{\gamma ^{\rho a}}_b)\\\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}&{}\end{array} + {e^{ - i\theta }}{e_{f\rho }}{e_{i\lambda }}(u_{{k_f}}^yu_{{k_i}}^x{\gamma ^{\lambda c}}_d{\gamma ^{\rho a}}_b + u_{{k_f}}^xu_{{k_i}}^y{\gamma ^{\lambda c}}_d{\gamma ^{\rho a}}_b)]\\\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}&{}\end{array}{S_F}^{p\tau *,yd} \cdot {S_F}{^{xb}_{yc}} \cdot {S_F}{^{q\pi }_{xa}}\end{array}$        (4.22)

其中电子的传播量可以明显写出:

        $\begin{array}{l}{S_F}^{p\tau *,yd} = u_p^yu_\tau ^d(p){S_F}(p\tau ) =  - i\pi \delta (0)u_p^yu_\tau ^d(p)\\{S_F}{^{q\pi }_{xa}} = u_x^q{u_{\pi *a}}(p){S_F}(q\pi ) =  - i\pi \delta (0)u_x^q{u_{\pi *a}}(q)\\{S_F}{^{xb}_{yc}} = \int {dp'}  \cdot u_{p'}^xu_y^{p'}{S_F}{^b_c}(p')\\{S_F}{^b_c}(p') = \frac{{{{p'}_\mu }{\gamma ^{\mu b}}_c + m{\delta ^b}_c}}{{{{p'}^2} - {m^2} + i\varepsilon }}\end{array}$              (4.23)

由此可以计算出(4.22)中对时空变量的积分,结果为:

         $B1 = i{e^{ + i\theta '}}{e^{ - i\theta }}ED$                               (4.24)

其中:

        $\begin{array}{l}D = m{\omega _i}{\omega _f}[{u_{\pi *a}}(q){e_{i\lambda }}{\gamma ^{\lambda a}}_b{S_F}{^b_c}(p - {k_f}){e_{f\rho }}{\gamma ^{\rho c}}_du_\tau ^d(p)\\\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}&{}\end{array} + {u_{\pi *a}}(q){e_{f\rho }}{\gamma ^{\rho a}}_b{S_F}{^b_c}(p + {k_i}){e_{i\lambda }}{\gamma ^{\lambda c}}_du_\tau ^d(p)]\\E = \frac{{{e^2}}}{{32m\omega _i^2\omega _f^2}}{\delta ^8}(0)\end{array}$        (4.25)

对B2 进行相似的计算, 得到: 

        $B2 = {(B1)^*}$                                           (4.26)

在我们的理论中, 波泛函含有复变量和 Grassmann 变量. 但是由于我们对内积等的规定, 物理态波泛函的行为经常像是一个实泛函. 按照这个观点, 从 (4.6) 立刻就可以看出(4.26)是正确的 

    跃迁几率正比於$A_{}^{(2)}$的平方, 它依赖於散射电子和光子的相位. 在实验中我们无法区别这些相位, 因此应该对四种正交的末态求和.从(4.6),(4.24)和(4.26)可以得到:

         $\sum\limits_{\theta  = 0,\frac{\pi }{2}} {\sum\limits_{\theta ' = 0,\frac{\pi }{2}} {{{({A^{(2)}})}^2}} }  = 2{E^2}D{D^*}$                            (4.27)

将(4.25),(4.27)与标准理论的结果^[4]比较,只差一个由于波泛函定义不同和归一化约定不同引起的因子. 因此, 我们的理论对于这一问题得到了正确的结果.

5. 讨论

虽然在原理上和形式上我们的理论和通常的理论都有很大的不同, 但关于康普顿散射矩阵元的微扰计算仍然得到了相同的正确结果. 所以它很可能也是一个正确的量子电动力学理论.

在重整化方法的辅助下,标准量子电动力学的计算结果至今未发现与实验结果有何分歧.在计算方面,看来任何新理论都很难有所改进. 但是我们的理论仍然得到了一些十分有趣的结果.首先,一般认为标准的量子电动力学的运动方程对于真空态, 单光子态和单电子态等最简单的物理态都没有解^[5]. 而在我们的理论中,这些解十分容易得到.其次,在我们的理论中,和通常理论中的跃迁矩阵元相当的是初态${\Psi _i}$和末态${\Psi _f}$的内积$\;\;({\Psi _i},{\Psi _f})$.对于归一化的物理态,如果我们假定它们的内积至多是一个有限量,那么从物理上说,我们的理论中将不存在发散困难.虽然我们没有给出证明,关于内积这个假定看上去是十分可信的.在用微扰论方法来计算这个内积时,虽然我们仍将遇到发散困难, 但这只是表明了微扰论方法在处理无限自由度系统时的局限性.我们遇到的只是计算方法上的困难,而非原理上的困难,这两者的性质是完全不同的.最后,我们的理论中所有的基本定义和方程都是明显协变的(内积的定义是个例外).对于推导相对论束缚态的运动方程和发展弯曲时空中的量子场论,它都是一个很好的出发点.

参考文献

[1]       Halliwell, J.J., Global space-time symmetries in the functional Schrodinger picture, Phys. Rev. D, 1991, 43: 2590.

[2]       Feynman, R.P., Quantum Mechanics and Path Integrals, p92. McGraw-Hill

    Inc., New York, 1980.

[3]  Dirac, P.A.M., The Principles of Quantum Mechanic, 4th ed.,

    Oxford University Press, London, 1958.

[4]  Itzykson, C. and Zuber,J.B., Quantum Field Theory, McGraw-Hill Inc.,

    New York, 1980.

[5] Dirac, P.A.M., 物理学的方向, 科学出版社, 北京, 1981.

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