说课（1）、（2）、（3）都已经先后在一些杂志上发表或即将发表，这让我对此系列有了继续写下去的热情，加之国庆长假之后将到某个地方去给那里的老师们吹吹非数学类专业的数学教学如何灌输数学思想，所以准备将说课继续进行下去。杨玲要的“病态”科普只好暂时放一放了。

      说课（3）谈到了微积分教学中函数部分应该考虑的问题，本文则要谈谈极限。极限是微积分教学中公认的第一个难点，难在那令人不知所云的定量化的极限语言，很多数学专业的学生在学完了微积分之后也不知语言到底在说啥。非数学专业所用的《高等数学》中一般对此要求不高，只要学生能依样画葫芦用语言做简单的证明即可，只是苦了数学专业的孩子，常常为此绞尽脑汁也摸不着门道。极限思想本身并不难掌握，而且现实中也经常使用“极限”之类的语言，比如“挑战智力极限”、“发挥得淋漓尽致（或发挥到极致）”、“累死了”等等，相信没有人会对这些日常用语不理解。然而一旦数学化就让人有点雾里看花了，似乎数学家们在故弄玄虚，把一个本来很好理解的东东变得扑塑迷离。也难怪，当初牛顿对这个东东的理解也有点似是而非，以至于有人攻击他的文章中出现的无穷小量像个幽灵般一会儿不知从什么地方突然冒了出来，一会又悄无声息地消失得无影无踪。要真正熟练地使用极限的确需要个过程，不过为了帮助学生较好地掌握并处理极限问题，我们还是可以考虑在教学上做点改进。虽然我们的教材都是先谈极限再谈导数，但历史上极限问题是伴随着实际问题产生的，换句话说，谈极限不可能离开导数或积分的思想，我们在教学中引入极限概念时也不可能摆脱这些背景。说到底，所谓极限就是当自变量发生变化时，因变量（函数）会如何变化？例如，马路上行驶的汽车其速度通常是不断变化的，那么如何计算汽车在某个时刻的速度？又如，物体从空中落下，将会以加速度向下坠落，如何求出任一时刻落体的速度？在阐述这类问题时，我们自然会涉及处理这些问题时常用的方法：局部地以“常量”代替“变量”，或者说以“不变”代替“变”、以“简单”代替“复杂”。这也为后面定义导数与积分埋下了伏笔。接着可以简单地阐述一下如何运用这一思想求物体运动的瞬时速度。中学阶段计算圆的面积也采用了类似的思想方法，即用园的内接正多边形的面积（简单）作为圆的面积（复杂）的近似，当边数越来越多时，多边形的面积就越来越接近圆的面积了。我们且别急于给出极限的定量化定义（即语言），让学生先理解了极限概念再说不迟，可以这样来给出极限定义：

       定义1：设f(x)在a点的附近有定义（在a点可以没有定义），即在a点的某个去心邻域内有定义，如果当x越来越接近a点时f(x)越来越接近于某一个常数A，则称f(x)当 x趋近于 a时的极限为 A，记作。

        学生对这个定义没有任何理解上的困难，接着可以通过一些例子阐述极限概念。定义1可以称为极限的定性描述或直观描述，由这个定义的确可以判断一些函数的极限是否存在，等于多少。然而在大多数情况下，并没有这么幸运，有时，凭直觉不仅难以估计极限是多少，甚至不能判断极限是否存在，这就需要寻找一种比较科学的判断方法。问题的难点恰恰在这个地方，什么是科学的判断方法？如何自然地引入语言？几乎所有的教材都是通过具体的例子说明要函数值与某个值接近到某种程度，自变量需要与某个值接近到什么程度，可不管你苦口婆心、口沫横飞地如何解释，学生就是很难跟着你从具体的例子飞跃到抽象的δ-ε描述。

       如何克服这个难点呢？我们可以让学生先来分析一个具体的问题：假设工人要造一个球，要求球的体积是V，误差不超过0.1，请问他如何保证做到不超过这个误差？因为体积是不可以量的，他唯一能量的是球的直径。学生自然会想到通过球的体积公式来确定。我们可以进一步假设，不同顾客对球的精度要求是不同的，比如甲可能要求体积误差不超过0.1，乙可能要求体积误差不超过0.01，工人能满足乙的要求吗？接着可以用抽象的字母（如ε）来代表不同的客户对误差的不同要求，工人如何做到体积误差不超过ε？这种具体的例子远比通过数学上具体的函数来说明更容易让学生接受。在此基础上不妨再来个具体函数并结合图像（几何直观是必不可少的）阐述δ-ε语言的思想。有了这些准备工作之后就可以给出极限的定量化描述了。      

       总而言之，在讲授极限概念时，宜首先让学生真正理解极限思想而不是极限的定量化语言，然后通过直观的例子逐步诱导出抽象的语言。对于非数学专业的学生来说，没有必要对使用δ-ε语言进行证明的问题作太高的要求，关键是真正能理解这一语言。