依随三维扫描技术的发展和医学图像技术的成熟，现在人们可以轻易地数字化三维物体，例如人脸曲面，大脑皮层曲面等等。在计算机视觉，计算机图形学和医学图像领域中，寻找曲面间的最优映射一直是具有根本重要性的问题，这一问题被称为是曲面配准，或者曲面注册（Surface Registration）。传统的三维人脸识别，老年痴呆症的诊断，虚拟肠镜等等都是基于曲面配准技术。这些工程应用极大地推动了曲面微分几何在计算机科学中的传播和数字几何的发展。在这里，我们来详细介绍曲面映射的一个基本理论：映射的极分解。这一理论可以被推广到任意维数，直观明晰，优美简单，但是又具有极大的实用价值。

数学发展的一个主旋律就是将一个理论框架不停地推广再推广，将许多貌似风马牛不相及的领域有机地结合起来，从而发现许多事物的普遍联系。很多深刻的定理具有着非凡的普适性。极分解（Polar Decomposition）就是一个微小而精辟的例子，我们将它从线性代数推广到场论，再推广到曲面间的映射。

复数

任何一个复数都有极分解 ，这里是复数的模，是复数的幅角。我们可以将复数理解为复平面间的映射：

,

这样，复数的极分解对应着映射的极分解：

。

我们考虑复平面上的标准面元

,

那么映射诱导的拉回面元为：

。

映射是复平面的旋转映射，自然是保面积映射,

。

映射是复平面的相似变换，它是凸函数

的梯度映射。根据最优传输映射理论（详情请看海天讲座 I,II,III），是从测度到测度的最优传输映射：

。

这里我们看到，一个复平面间的微分同胚被分解为保测度的映射和一个最优传输映射。并且，这种分解是唯一的，被称为是映射的极分解。下面，我们将映射的极分解推广到线性代数领域。

线性代数

矩阵的极分解是说任意一个可逆实方阵都可以分解为一个旋转矩阵和正定矩阵之积，

,

这里是旋转矩阵，；是正定对称矩阵。矩阵极分解的证明非常直接了当。可逆，所以是正定对称矩阵，存在唯一分解

,

这里是旋转矩阵，是对角矩阵，

,

因为是正定的，所以，。我们记其平方根为

，

则的平方根为。则令

，

可以直接得出

,

并且是正定对称矩阵。

如果我们将矩阵理解为线性空间之间的仿射映射，

。

那么极分解就是说此映射可以分解为两个映射，，

,

这里是旋转映射，保持体积元不变。是最优传输映射，其解释比较曲折。首先，我们构造一个凸函数，

其对应的梯度映射为

。

根据最优传输理论，凸函数梯度映射是最优传输映射，

,

这里标准体积元为

，

由映射诱导的体积元为

。

所以，矩阵的极映射分解可以理解为：欧式空间之间的线性映射可以分解为保体积元的映射和最优传输映射的复合。我们下面进一步将其推广到场论。

场论

令是欧式空间中的一个单连通区域，我们也可以假设就是整个欧式空间，是上的矢量场。那么，经典的霍奇理论（Hodge Theory）说存在函数，使得矢量场具有唯一的分解

 。

这里，是散度处处为零的矢量场。如果我们在上定义一个流场，其速度向量场为，那么这一流场没有源，没有汇。为函数的梯度场。我们可以由矢量场构造如下一族映射 ，满足如下常微分方程：

则在时刻0，映射可分解为如下两个映射的复合，满足

因为散度处处为零，所以映射保持体积元不变。映射是梯度映射。

图2. 黎曼映照的极分解。

曲面映射

 如图2所示，曲面映射可以分解为保面元映射和最优传输映射的复合。下面，我们详尽解释所有细节。假设曲面的局部坐标为，黎曼张量为

，

曲面的面积元为 。平面圆盘的坐标为，面积元为。的局部表示为，保面积意味着

。

映射是保角变换，则

，

此映射诱导了圆盘上的一个概率测度 。映射是最优传输映射，换言之 保测度

。

同时，在所有保测度的映射中 极小化如下的传输代价

。

根据最优传输理论，最优传输映射由某一个凸函数的梯度映射给出。换言之，存在凸函数，

是正定矩阵，。 更进一步，映射的极分解是唯一的。

利用映射的极分解，我们可以控制映射所诱导的面元。我们将弥勒佛的雕像通过黎曼映照映到平面圆盘上，然后用极分解得到保面积映射，和梯度映射 。我们构造，则为恒同映射。我们构造一族映射

，

这里算子是闵可夫斯基和，则给出了一族映射，将头部区域逐渐放大。

图3. 基于映射极分解得到的一族映射，联结保角映射和保面积映射。

图4. 三维流形映射的极分解。

高维映射

映射的极分解可以由曲面推广到高维情形，理论上对任意维流形都成立。图4显示了一个三维流形的例子。实心的斯坦福兔子模型被调和地映到实心球体上，这一调和映射被分解，得到保体元的映射，和最优传输映射。左列显示了调和映射，中列显示了保体元映射，从中列到左列的映射是最优传输映射。极分解定理给出了计算流形间保测度映射的普适方法。

从这里，我们看到在漫长的历史长河中，极分解理论逐步被推广，从简单到复杂，从特例到一般，从直观到抽象。人类对自然的认识也是日益深刻犀利，同时自然规律的内在和谐统一也逐渐展示开来......

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【老顾谈几何】邀请国内国际著名纯粹数学家，应用数学家，理论物理学家和计算机科学家，讲授现代拓扑和几何的理论，算法和应用。

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