0该文的背景

我的博文^[1]证明了无穷小量0.1^∞=0。微信群《相容集合论研究》（欢迎扫码加入）的群友林益老师提出了一个问题，如果两边乘10^∞，就会得出

1=0×10^∞

即0乘以10^∞竟然不等于0？似乎出现了矛盾。
       我那篇博文是用可靠的初等数学来证明的，应该不会有问题，这就使得我不得不考虑0×10^∞=0是否成立了。
       不难发现，即使对于1/∞=0，两边乘∞后，也会出现同样的问题1=0×∞这一“矛盾”。
        所以就有了这篇文章。

1 前言

由于所有实数都是有限的，所以在实数域内我们只能讨论趋向于无穷，而不可能讨论达到无穷。然而数学上确实存在着无法用任何实数描述的无限现象。例如，无限的自然数集合的元素数目、级数的项数、无限小数的位数等都不可能用任何一个实数来描述。

在芝诺悖论中，芝诺已经严格地证明了，快跑者通过任意有限次的追赶都是永远追不上乌龟的，然而，不难证明，未追上乌龟的必要条件是只追了有限次，因此，他并没有证明过无限次的追赶也追不上。由于快跑者实际上是能追上乌龟的，所以必然是通过无限次的追赶才追上了乌龟，而这个“无限次”的次数也是无法用任何实数来描述的。

 为此，必须在实数域外建立其他数系。

2 无限数的定义和性质

    命题1实数都是有限的。

 该命题显然成立。

 命题2实数无上界地增长的结果是无法用实数表示的。

 证明(反证法):假定实数无上界地增长的结果可以用某实数X∈R来表示，则表明X是实数的上界，矛盾，证毕

 例如，无上界地增长的自然数序列

1，2，3.....

其中自然数的数目就不可能用任何一个自然数表示。

    数学是用来描述数学世界的，数学世界最终又是用来描述客观世界的。既然在数学世界中存在着无法用实数表示的数，那就必须在数学中增加相应的数，为此，

 定义1   无法用实数表示的数称为无限数,用∞表示。

 例如，上述自然数序列中的自然数数目就可以用∞表示。

 同理，无限小数的位数，无限次追赶的次数，都可以用∞表示。

 这里要注意，在数学分析中也有∞这个符号，但通常只是一个表示发散的符号，不一定是一个可以参加运算的数。

 无限数的性质

  1)对任何x∈R，∞﹥x

  2)对任何x∈R，x/∞=0

 性质1显然（否则就可以用实数来表示∞，与∞的定义矛盾），性质2的证明(反证法):

 证明：假定x/∞≠0，不妨设x/∞=e∈R，则∞=(x/e)∈R，与定义1矛盾，证毕。

 这里要注意的是，哪怕e是一个变量或传统意义上无穷小量，只要e≠0，以上证明都成立。

 显然，对于任何实数，它的倒数都不可能等于零。所以性质2是无限数区别于实数的一个特点。

 无限数的其他性质将在下面叙述。

3 无限和有限的关系

 由于实数域内并没有无限数，人们很可能会疑惑，无限和有限之间是怎么建立起联系的呢？

 其实，命题2已经回答了这个问题：有限数无上界地增加的结果必须用无限数来描述。为了讨论方便，可引入达到无限的概念：

 定义2 若某一待研究的数学对象只能用无限数来表示，则称该数学对象已达到了无限。

 这里要注意的是，如果有限数的增加是有上界的，则其增加结果仍然能用有限数来描述，因此，这时并没有达到无限。只有有限数的增加没有上界时，根据命题2，其增加的结果才只能用无限数来描述。

 根据定义2，对自然数序列，我们只要人为规定它的元素数目是无限多的，那么这个自然数序列就达到了无限。

 那么，在实际问题中，是不是也能达到无限呢?

 根据我们的日常生活经验，似乎在有限的时间内，我们只能进行有限次的操作，这就造成了不能达到无限的印象。

 其实，这种日常生活经验并不可靠。这是因为，这种经验其实是建立着两个假定之上:1)在日常生活中，如果一个事情要分多次做的话，每两次之间都是有间隔的，既然有间隔，就必然有减速和加速，这些都需要化时间；2)加速，减速再加上操作本身需要消耗的时间，结果每次操作都要消耗不少时间。这样，在我们日常生活中，在有限的时间内是不能完成无限次的操作的。这也给人无限只能接近而不能达到的一种感觉。

 然而，这种感觉并不一定能用到数学上去:以计算1÷3为例，除了最初几步计算以外，我们马上就可以知道所有的小数都是3，根本就不需要计算无限次，更不需要每次都停顿即可得到具有无限位的无限小数。

 再例如，把1秒可以走完的路在大脑中分成n步走，则每步所需要的时间为1/n秒，根本就不需要减速、停顿和加速，而走n步所需要的时间还是1秒，与n一点关系都没有，这时，哪怕分成∞步，结果还是1秒。这个例子也说明了无限是能达到的。

  所谓芝诺悖论，本质上也是一样:分成无限次追赶完全只是在人的大脑中进行的，实际所需要的时间也与分的次数无关，因此也完全可以在有限的时间内达到无限次追赶。

 当然，认为所有的无限过程一定能在有限的时间内达到也是片面的。以π的计算为例，至少在目前来说，我们是不可能在有限的时间内达到无限的。不过，如果时间也是无限的，也没有理由认为无限是不可达的：如果时间是无限的，计算得到的位数也是无法用任何一个有限数来描述的，根据定义2，也达到了无限。

4 无限数的一些应用

  1) 对无限集合元素数目的描述

 在传统集合论中，由于无法用自然数来表示无限集合元素数目，所以代之以基数这一数学意义模糊不清的概念:事实上，对于无限集来说，甚至没有一个人能够说出基数的精确数学意义究竟是什么。

 有了无限数这一概念之后，就可以简单、明确、清楚地用∞来表示无限集合元素数目这一概念，以取代数学意义不清的基数概念，从而可以防止因其数学意义不清而导致的悖论。

 不过，以自然数集合为例，正因为我们不可能用任何一个自然数来表示自然数集合的元素数目，所以才需要引入无限数这一概念，所以问“达到哪一个自然数才算是达到无限”这个问题是没有意义的。这是因为，问这个问题等于在问:“用哪一个自然数可以表示自然数集合的元素数目”，显然违反了无限数这一概念的定义。

 有了无限数这一概念，还可以定义严格的一一对应：元素数目严格相等的两个无限集合之间的一一对应。例如，设N={1,2,3...},显然,N是N’={0}∪N的真子集。由于任何无限集合的元素数目都是比其真子集多的，所以，N与N’之间不可能建立严格的一一对应关系，所谓部分等于整体这一悖论也就消失了^[2]。

 不仅仅是该悖论，无限旅馆悖论、对角线等悖论也都不复存在。

 这里，所谓对角线悖论指把自然数集合当作不可数集合这一悖论，详见我的上一篇博文^[3]。

  2）在数学分析中的应用

 如前所述，在传统数学中，虽然也有∞这一符号，但并没有严格定义的无限数这一概念， ∞也往往被看作是表示发散的一个符号，并不是一个可以参与运算的数。这时，人们往往习惯于在实数域内讨论问题，而不敢轻易越雷池一步，从而在与无限有关的问题中，留下了很多空白和误区。

  以数列极限的定义为例，实际上该定义仅仅讨论了趋于无限时候的情形，因此所谓极限也就往往成为虽然可以无限接近，但是永远不能达到的、可望而不可即的"彼岸"。

 也就是说，在实数范围内，我们最多只能讨论趋于无穷，而不可能讨论达到无穷。

 引入了无限数的概念后，求数列极限有时会变得非常容易：根据命题2和定义1、2，n→∞可以直接变成n达到∞。例如，lim(1/n)可直接写成1/∞，根据性质2，1/∞=0，与根据极限定义求得的结果一致。

 但要注意，由于这时候∞是一个数，而不是表示发散的符号，所以必须注意前后的一致。比如，lim(n²)必须写成∞²而不是∞。

 对于n达到∞时的不定式lim (n)/lim(n²)= ∞/∞²,可直接得到∞/∞²=1/∞=0.

 同理，n达到∞时，lim (n)/lim(n+10)=∞/(∞+10)=1/(1+10/∞)=1

  .........

 可见，都比直接根据定义求极限方便得多。

    更重要的是，由于引入无限数后，极限的数学意义就很明确了: 不再是n趋向于无穷时可以无限接近的一个数值，而是n达到无限时所达到的数值。凡是对于实际上可以达到无限的数学问题，极限值就是问题的答案。例如，博文[1]用初等数学的方法证明了0.1^∞=0，虽然用初等数学证明很严格，但是难度相对较高，而用结合了无限数的高等数学可以直接证明0.1^∞=1/10^∞=0。

  3）在初等数学中的应用

  无限数的概念也可以应用于初等数学以拓展某些函数的定义域，比如可设Log(0)=-∞。

  4）在消除悖论方面的应用

 在实数轴上，相邻两点之间的距离都为零，所以可认为点是连续的。但实数轴本身是有长度的， 0+0+0+...≠0？这就似乎形成了悖论。由于事关实数究竟是连续的还是离散的，不妨称之为连续-离散恃论。长期以来，该悖论一直困惑着数学家们。但根据性质2），该悖论显然已被消除。这是因为，性质2可改写成

     0×∞≠0

即

  0+0+0+...≠0

我们知道，任何数乘以零都等于零，但这里所谓的“任何数”，其实都是指有限的实数，并没有把∞包括进去，而∞乘以零是不是等于零，并不是一个可以想当然就能得到答案的问题，而是一个需要严格证明的问题。由于本文的推导是严格的，故0×∞不等于零也毫不奇怪。 

 由此，不难证明:

 命题3：任何两个数值不同的实数之间都可以有无限多个相距为零的点。

 证明：任何两个数值不同的实数可形成长度为L的线段。将该线段分成n份，则每份长度为L/n，不难证明，在n趋于无穷的过程中，无论n多么大，间距L/n>0, 因此，在实数范围内，该过程可以永远进行下去。然而，如果份数达到了无穷数∞，则间距L/∞=0, 所以，任何两个数值不同的实数之间都可以有无限多个相距为零的点。证毕

 由于有限个0相加仍然是0，所以

 推论1：数轴上有限个点对应于同一个实数。

 该推论表明，与人们的想象相反，实数轴上的点与实数并不是一一对应的。

 设单位长度线段上的点的数目为∞，则长度为m线段上的点的数目为m×∞，故

 推论2:  数轴上点的多少与线段的长度成正比。

 由于数轴上相邻点的距离为零，即点是连续的，而根据推论2，用无限数表示的数轴上点的多少又与用实数表示的线段的长度成正比，所以

 推论3：实数的变化是连续的,无限数的变化也是连续的。

 “无限数的变化是连续的”可以看作是无限数的第三个性质。

 推论4:   由∞个点组成的边长为L的正方形点的数目为∞²；立方体点的数目为∞³

 显然，与直觉完全一致的命题3及其推论与康托建立在未必严格的一一对应基础上的理论结果完全不同，至于哪一个更科学，或许历史会有评判。

 由性质2，还不难证明，

  a/0=∞

 这个同样令人惊奇的性质也都不是任何实数所具有的，但却是合乎逻辑的结论。我们知道，被除数不变时，除数越小，商越大。根据高等数学，除数趁于零时，商趋向于无穷大。不过在实数域内并没有可以表示无穷大的数，所以除以零就变成没有意义了。然而，现在既然已经定义了无穷数，除以零就不再是没有意义的了，而是很自然地等于无穷大。

        既然分母为零也是有意义的，那么所谓的贝克莱悖论自然也不再存在。以y=x²为例x，易知

Δy/Δx=2x+Δx

用无穷小量取代有穷小量，即用Δx/∞表示无穷小量dx，Δy/∞表示无穷小量dy，则

dy/dx=2x+dx=2x

并无任何悖论。

5 与康托的超穷数的不同点

  
    1）无限数是用来描述集合的元素数目的，而超穷数是用来描述没有人说得清楚其数学意义的基数的。

    2）常用的基数实际上只有两个，一个是自然数集合的基数，一个是实数的基数。中间有没有其他基数，到现在也说不清楚。而无限数是可以连续变化的，可以有无限多个。

    3）基数的一些结论完全反直觉(比如线上点的数目与面上点的数目相同)且充满悖论(比如部分等于全部，无限旅馆悖论等)，而用无限数得到的结果不但不再有这些悖论，还与直觉一致。更重要的是还能消除一些长期存在的悖论：比如芝诺悖论，连续离散悖论，贝克莱悖论等。

    4）超穷数概念在集合论外鲜有用处，而无限数概念不但可以用在集合论，而且可以用在数学分析甚至初等数学。
    5）最重要是逻辑结构的不一样:超穷数理论要么根本就没有逻辑，比方说它的生成原则，根本就没有证明过，无限可以完成的假设也完全没有证明；要么其证明根本就是错的，比方说用对角线证明实数的基数与自然数不同^[3]。而无限数的概念步步为营，每一步都有严格的证明。

 【1】https://blog.sciencenet.cn/blog-3425940-1334726.html

 【2】https://blog.sciencenet.cn/blog-3425940-1326712.html

 【3】https://blog.sciencenet.cn/blog-3425940-1336677.html