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无限集与其真子集的映射关系是集合论的一个重要问题,必须加以严格的考察。
定理1 无限集与其真子集之间的映射是单射而不是双射。
证明:设 A 是无限集合 B 的无限真子集,C=B-A,则 B=A∪C,现将 A 视作另一个独立的集合,并用A#表示。显然,由于 C 的存在,映射 A#→B 是单射而不是双射。具体来说,A# 与B中的 A 是同一个集合,外延相同,故可在 A# 与 A 之间建立一一对应,但 C 的任何一个元素在 A# 中都没有原像,所以映射 A#(即A)→B 之间是单射而不是双射。证毕
以上证明简单且清楚,那么康托又是怎么证明无限集合与其真子集可以一一对应呢?
以下以
N={1,2,3,……} (1)
和
N1={0}∪N={0,1,2,……} (2)
为例说明康托的证明方法及其错误。
为了判断两个集合之间能不能建立一一对应,可以将一个无限集合看作显集合和隐集合之并【1】,例如,N={1,2,3……}={1,2,3}∪{……},则易证:
命题1 若两个集合的显集合和隐集合中只有两个显集合(或隐集合)能一一对应,而两个隐集合(或显集合)不能一一对应,则两个集合不能一一对应。
康托仅根据(1)(2)的显集合可以一一对应即认为 N 和 N1 可以一一对应,并没有考虑两个隐集合是否能够一一对应。
这样考虑问题显然太简单化了。
事实上,(1)的隐集合是 N-{1,2,3} 而(2)的隐集合是 N1-{0,1,2}=N-{1,2},两个隐集合不同,有何理由可以保证它们一定可以一一对应?根据命题1,当然也无法保证 N 和 N1 可以一一对应。
另一方面,将 N 写成 {1,2,……},N1写成{0,1,2,……},这时两个隐集合分别是N-{1,2} 和 N1-{0,1,2} = N-{1,2},它们的外延相同,当然可以一一对应,但两个显集合{1,2}与{0,1,2}显然不能一一对应,根据命题1,N 与 N1 不能一一对应。
康托实际上只考虑了显集合的一一对应,并没有考虑隐集合是否能否一一对应,其证明是不严格的,反映了其思维的简单化倾向,不能成立。
其实,更清楚的方法是将N1 写成
N1=N∪{0}={1,2,3……,0} (3)
则(1),(3)中的N外延相同,可以一一对应,但(3)中的0元素在(1)中没有原像,与前述一样,(1),(3)也不能一一对应。
在证明了定理1并确定了 N 和 N1 之间不能建立一一对应关系以后,不但所谓整体等于部分悖论已被彻底消除,希尔伯特的无限旅馆悖论以及所谓∞+1=∞等推论显然也不再成立了。
事实上,如果无限集合能够与其真子集一一对应,那么一一对应的意义就几乎荡然无存了:任何一个人都知道,无限集合的元素数目必定是比其真子集多的。如果在元素数目不相等的两个集合之间能够建立一一对应关系,这就意味着一一对应并不能比较元素数目的多少,而建立在该基础上的势与基数的概念也就与元素数目没有了关系,那么势和基数的概念究竟代表了什么?如果其数学意义都说不清楚,研究它们又有什么意义?又如何应用?
微信群《相容集合论研究》的群友MAN(以理服人)也认为“说不清等势理论的目的和用途,还怎么应用它?还怎么讨论它?”
实际上,若否认了定理1,是不可能有人能够真正令人满意地回答这些问题的。
传统集合论存在许多需要改进的地方,上述问题只是冰山一角。以消灭所有集合论悖论为宗旨的相容集合论【1】正在做这方面的尝试。
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【1】相容集合论初探
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