微信群《相容集合论研究》(欢迎扫码入群)中的群友MAN（以理服人）在讨论调和级数时提出了一个悖论（私人通讯）：
       S=1+2+3+4+...
=(1+2)+(3+4)+(5+6)+...
       ①S>1+3+5+...=S_奇
       ②S>2+4+6+...=S_偶

_{--------------------------------}

       S_偶=2+4+6+...
=(1+1)+(2+2)+(3+3)+...
>(1+0)+(2+0)+(3+0)+...
=1+2+3+...=S，即
      ③S_偶>S

      ②③为什么矛盾呢？

 _{--------------------------------}

我：这个问题很有意思。应该与伽利略悖论^【1】有点类似:
      在第一段中，因为S=S_偶+S_奇 ,故  S_偶和S_奇的自然数数目大约只有S的一半，
      但第二段的S^*(与第一段S不是一回事，所以用S^*表示)是从S_偶中来的，本来S_偶大约只有S的一半，缩小后的S^*又只有S_偶的一半，所以S^*≈S/4，并没有悖论。

      虽然这个悖论可以解决，但是很明显，S和S*都是自然集合内元素的加和，但相应的两个自然数集合显然是不同的，否则它们的元素和怎么可能不同呢？
      自然数集合不唯一是相容集合论^【2】的基础，很多问题可以因此迎刃而解。以对角线证明中所列出的实数

a₁，a_2，a_3......                        （1）

为例，其中

a₁=0.a₁₁a₁₂a₁₃a₁₄...

a₂=0.a₂₁a₂₂a₂₃a₂₄...

a₃=0.a₃₁a₃₂a₃₃a₃₄..

......

    其表示小数个数的行标和表示小数位数的列标，显然都是自然数（下标通常都用自然数来表示），因此各自组成的集合当然都是自然数集合，但是这两个自然数集合显然是不一样的，只要承认自然数集合不是唯一的，并不会产生任何矛盾：

     设（1）中小数个数为∞₁（相容集合论用清晰且严格的元素数目概念代替了传统集合论的基数概念)，小数位数为∞_2，易证∞₁>∞_{2（以二进制小数为例）:
证明:设小数位数为n，则二进制小数的个数为2}ⁿ_{，n→∞时∞1/∞2=Lim(2}ⁿ_{)/Lim(n)=∞﹥1，证毕}

    由于对角线的行号和列号严格一致，所以形成了一个边长为∞₂的正方形（见图1），而康托根据对角线找到的实数

 b=0.b₁b₂.....其中，b_k≠a_kk(k=1,2,3...)

其位数与小数的位数恰好相等，也只有∞₂（见图1）个：

      图中的横坐标表示小数的位数∞₂，纵坐标表示小数的个数∞₁。从图1可以看到，b虽然不是所列出来的虚线上的∞₂个实数之一，但完全可以是（1）所列出来的∞₁个实数之一，并没有任何矛盾。

      事实上，（1）中每一个实数的下标都是自然数，这时，实数与自然数就形成了一一对应。康托认为那是假设，会引起矛盾,但如前所述，实际上矛盾并不存在：

     除非硬要不顾事实地认为只有唯一的自然数集合，即∞₁=∞₂，才会人为制造矛盾。

     然而，这个逻辑就很奇怪了，明明知道∞₁≠∞₂，偏要假定∞₁=∞₂，然后再推出矛盾证明∞₁≠∞₂，有必要吗？比方说明明知道1+1=2，然后偏要假定1+1≠2，再推出矛盾证明1+1=2，有意义吗？

     因此，只要承认自然数集合不唯一，就没有任何理由认为实数是不可数的。

     事实上，这里所有的下标，无论是表示小数位数的列标

1，2，3...n-1,n,n+1.....

还是表示小数个数的行标

1，2，3...n-1,n,n+1...2ⁿ-1,2ⁿ,2ⁿ+1.....

都是不折不扣的自然数，这是铁定的事实:并不存在任何一个非自然数的数，有什么理由认为它们不是自然数呢？但显然行标和列标不能一一对应，这其实再次验证了自然数集不是唯一的这一相容集合论的基本原理。

     任意两个自然数集，无论如何表示，如果它们之间没有确定的函数关系，是无法确定它们的大小关系的。

  如果它们之间有确定的函数关系，就可能有大小关系，比如(1)里面的行标集和列标集，虽然都是自然数集，但是它们有确定的函数关系，且无法严格一一对应^【2】，所以有大小区别。

  除了用清晰严格的元素数目代替模糊不清的基数概念以外，以消除任何悖论为目标的相容集合论还引入了严格一一对应的概念。所谓严格一一对应，就是在元素数目相同的两个集合之间建立起来的一一对应。例如，任何无限集与其真子集的元素数目不同，所以不能建立起严格的一一对应关系。这就消除了部分等于整体这一重大的集合论悖论。

  还有，在集合之间人为地加函数关系没有客现意义:不同的函数关系可能会出来不同的结果。如果函数关系是本来就固有的，就有客观意义了。以二进制小数为例，每增加一位小数，小数个数就要翻倍，这个就是客观存在的、固有的函数关系。

  在康托定理的证明中，也存在着类似现象: 虽然子集不能与自然数一一对应，但既然自然数集合不是唯一的，就没有理由认为子集不能与其他的自然数集合的元素一一对应。

     用闭区间套法证明实数不可数也存在类似问题^【2】。
     在MAN提出的这个悖论中，如果认为自然数集合是唯一的，并认为与S^*相对应的集合N^*=｛1，2，3....｝是自然数集合，就会发现N^*与S对应的集合N=｛1，2，3....｝无法严格一一对应，甚至可能因此认为N不可数！

       在传统集合论中，因为没有无限集合元素数目的概念，所以不易很清楚地讨论对角线的问题，长期以来存在的对对角线证明的质疑也一直未能得到主流数学界的认同。由于相容集含论引入了无限集合元素数目的概念以代替基数概念，并用与数学分析相同的符号∞来表示无限集合的元素数目， 不但把数学分析和集合论统一了起来，而且要讲清楚对角线的问题也变得轻而易举，相信会得到主流数学界的认同。.

致谢：

      数学专业出身的田茂(天长地久)老师与我讨论对角线问题应该已经有一两年了。上一篇博文发表后，他又提了不少问题。为了回答他的问题，我作了一些补充，所以才有了这篇修改稿，应该比原文讲得更清楚些，尤其是增加了一张很直观的图。
    在此谨表谢意！
    如果我能够说服他，他可能是我说服的第一位出身于数学专业的人士。

【1】伽利略悖论及其消解

https://blog.sciencenet.cn/blog-3425940-1328306.html

【2】相容集合论初探

 https://blog.sciencenet.cn/blog-3425940-1326712.html