“自旋世界”上一篇介绍了我熟悉的第一个依辛模型应用--合金扩散与相变。依我看来，这一应用最为美妙的故事应该算是相(或者称为畴)长大动力学的标度行为。其背后的美丽是：畴长大动力学指数完全决定于空间维度，与具体体系无关！这样美丽的东西管她有用与否，物理人都是不会放弃去把玩和欣赏的。

有趣的是，对这一标度律的确认最终归结于依辛模型的应用。

问题的背景很简单：对于一个合金相变体系，在恒温恒压条件下，如果两相共存，由于两相界面能存在，为了降低界面能，合金两相空间尺寸总是要长大以降低总的界面能。了解这种长大规律首先来源于合金微结构和性能控制的需要，其次才是物理人出于美的渴求而对这种长大规律的理解。

其实，这一物理现象先人几百年前就知道。直到1960年代由Lifshitz、Slyozov和Wagner先后基于扩散理论提出著名的LSW动力学：

R~t^1/3

这里R是整体体系中畴的平均尺寸，t是时间，1/3是标度指数。这一动力学的条件是畴的体积百分数很低，且适用于纯粹畴长大过程。对于这一规律，最初只在冶金材料学界被人熟知，物理学家并不care这个东西，也许那个时代他们有更重要的事情要做。但是，复杂的合金相变体系有如此简单的规律总是会让物理人莫名其妙兴奋的。其后，二维体系的实验又揭示出R~t^1/2的动力学，从而马上让人想到标度指数与空间维度相关，美就诞生了。

到了1970年代末和1980年代初，开始有比较牛的物理学家如UCSB的J. S. Langer等关注这一动力学。在整个1980年代，很有几个国际知名的统计物理研究组把玩这个现象，又先后提出了一堆不同的标度关系，也都兴致勃勃地声言这是重大进展。结果，到后期有一个Bell Lab的D. A. Huse出马，用当时最快的计算机群之一，在一个硕大无比的点阵中，利用上一篇介绍的依辛模型应用，证实了上面这个LSW理论在是无比本征和正确的，无需“畴的体积百分数很低”这个条件。够拗口的吧？！哈哈

其结果就是：R~t^1/d

这里d是空间维度！可见，一维纳米线的畴长大就应该与t成正比。这一预言似乎正在等待被实验证实。

我们看到，复杂世界的简单关系其实比比皆是，并非一定只有老祖宗F=ma和E=mc²才算。物理参量与空间或者时间维度的直接简单关系本身就是美不胜收妙不可言的。

尽管如此，上述动力学并没有从物理源头进行彻底的证明，虽然它放之四海而皆“准”，只要是各向同性界面能控制的畴长大过程。其可靠性依赖于物理空间的标度关系。举个简单的例子来说明这种标度：一个合金体系中畴的大小不可能一样，总存在一个长度尺度上的分布，很大的畴和很小的畴所占份量都比较少。给定时刻t，这个分布一定是单峰的。不同时间分布曲线峰值位置可能不同，但是这些曲线是自相似的、可以标度的。这个峰值随着时间t变化的规律就是上述动力学。无论是何体系，这一动力学都是普适的。

但是，为什么分布曲线一定是自相似的？似乎目前还没有精确的证明！缺少这种证明却并不妨碍我们说这动力学美！

物理维度就是世界的规矩，有了规矩就能成方圆。方圆是什么？就是我们的技术了。

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