对于数学，许多人关心的是怎么应用，这也是需要训练和智力的。最简单数学应用是算术的加减法，通常认为这是碰到了就会用的事，忘记了这也是在小学里被不断考试逼得才习惯的。小懵小的时候被他妈考：“口袋里有两个钢蹦，回家后发现口袋破了，还剩啥？”，小懵答：“还有个洞。”问：“你同学有5个苹果，被你吃了3个，结果是什么？”答：“被他揍一顿。”经过上学不断做作业补考后，学会了算术。上班工作时老板问大家：“公司每次送货到上海要一天的时间，有什么办法会快一点？”小懵冲口而出：“派两辆车去，能省一半时间。”被老板开了以后，小懵很懊恼：“数学有什么用，越学越出错！”

小学训练了数字运算和算术的应用后，经过中学代数几何三角的训练，基本要学会把生活中的具体问题转化成已经解决过的一般性问题，也就是套公式和用定理。不太笨的学了点抽象思维，知道怎样考虑一般性的问题，也就是推导公式和证明定理。韩寒说数学学到初一就行了，怕是没过这一关，能算一下跑车速度、时间及稿费和字数的关系，大约就是他对数学的最多的理解了。套公式来钱没有套人快。

大学理工科的数学训练，是学习怎么将不怎么像数学的实际问题变成数学问题，也就是建立起数学模型，利用数学的方法和理论来解决问题。这又比中学的数学应用能力高了一个层次。很多人中学的数学成绩也不错，大学毕业了，其实还没学好套公式和用定理这个层次的数学应用本领，更谈不上建立模型的应用。所以老觉得数学没有用。

有的人可能不服气，“我怎么也是数学高分考进大学的，怎么不会套公式用定理？”你的高分可能只是师傅喂招练的样子货，不会用在实战中。现实问题和公式定理的关系，都不是像考试那样专门设计给你作答的，总是转了些弯，夹杂着许多不相干的东西，要动点脑筋处理，这要有点想象力和对数学的理解力，能分清主次抽取本质才会应用。

举个例，博文“征婚选择的最佳策略”，介绍“有n个美女逐个介绍与你约会，依序每次只见一个，你选了她就没机会见到后面可能更好的；如果让她走了，也许后面都不如她，问怎么选结果最好？”这问题经数学推演后有个很简单的一般结果，最大概率选到了心仪美女的策略是：

对于n个依次来临的机会，首先对前[n/e]个仅仅作了解，不做选择，然后开始将约会的与前面所有见到的相比，如果更好就接受，否则等下一个。这里e=2.71828…，[n/e]是n/e的整数部分。

有人说：“谈恋爱用数学算，能有感情吗？”这是抬扛，就像说感情好不用送花一样的矫情。其实这选择策略和谈感情并不排斥。有排斥的只是对数学应用的理解。有人说：“我有老婆了，飘过。”这课题虽然有“征婚选择”的广告，其实谈的是对于n个依次来临机会，最佳选择策略的公式定理。现实中遇到的相亲、求职、选项目和逛商店买东西，都是符合这公式定理的应用。有多少人会想到可以套用这个公式定理？读过证明思路掌握其道理的人，能否根据自己问题的特殊性，对这策略略加调整来应用？

大家可能说，这凭经验就行了，一般不费这脑筋。当然这是牛刀小用，但用数学解决实际问题的精神是一样的。1962年劳埃德•沙普利（Lloyd S. Shapley）与大卫•盖尔发表篇论文，为稳定婚配设计一个求偶规则——盖尔-沙普利（Gale-Shapley）算法，也是个类似的例子。许多人看了这论题大笑之，婚配能这么简单？1997年，埃尔文•罗斯（AlvinE. Roth）把这算法应用到全国住院医生匹配项目，每年为美国医院匹配超过2万个岗位。2003年，他为纽约市公立高中的制定申请者和学校的配比规则，从此不喜欢自己所在高中的学生减少了90%。今天，越来越多的美国城市学校使用了盖尔-沙普利算法。现在肾脏捐赠的匹配也是用这个算法。结果2012年诺贝尔经济奖由罗斯和沙普利共同获得，以奖励他们提出的“稳定分配理论和市场设计中的实践”。 Gale-Shapley算法没有用到什么高深的数学，罗斯的应用基本也是套用公式定理，他们只是把数学应用的本领发挥出来。

套用公式定理的数学应用比较简单，基本是将与公式定理很适用的实际问题，规范整理一下，直接套用就行了。对于离现成理论比较远，不大靠近规范的数学问题，就需要剔除枝节抓住重点，抽象归纳成一个数学模型，然后寻求数学的答案。这是大学理工科要学会应用数学的功力。

阿呆上了大学后，知好色而慕少艾，追了同班的阿春，感情与日俱增，回宿舍翻了中学传的追妞进展公式，$x _k = x_0(1+r)^k$，这k次牵手感情的$x_k$值是离散的递增，不足以反映这整天腻在一起的变化。进大学了，应该有能力给自己解惑。他体会到感情随时间变化的速度与已有的感情成正比，如果这个比率是r，用了刚学的微积分知识，就可以列出微分方程 $dx/dt = rx$，不难解出$x(t) = x_0 e^{rt}$，呈指数函数增长呀，多让人激动！过了几星期，阿呆觉得增进没那么猛了，有点郁闷，同室损友说知足吧，这你侬我侬的能涨到没个边？总会饱和吧！阿呆想想有道理，如果感情饱和值是$x_m$，这增长率r应该由差距的比例值来修正，可以写成$r(x) = r(1 – x/x_m)$，列出微分方程就是： $dx/dt = r(1-x/x_m)x$，这岂不是阻滞增长的Logistic模型？它的解$x(t)=x_m/(1+(x_m/x_0-1)e^{-rt})$ 是先快速增长后渐进饱和的S形曲线。这让人心安了，符合万物增长的自然规律呀！再过一段时间，阿呆发现阿春的情绪稍微有些周期性的变化，他在考虑怎样在式子里加上28天的周期项。。。

这就是构造数学模型的工作，用数学推导出的定性结果来解决心中的疑虑。不要以为阿呆可笑，他表现出应用数学解决问题的资质和功力。这建模工作首先要有想象力，把实际的问题抽象出数学的量，建立起它们间的关系，然后应用数学的理论得出定性或定量的结果，发现误差和情况变化时，对模型做出修正。阿呆的模型对他的追妞有多大功效是一回事，这需要在实践中验证和修正。但他建模工作正是对数学理解的应用，体现出的是能力。历史上有人沿着阿呆考虑问题的思路，将考虑的感情量x换作是人口，建立起人口变化的数学模型。指数增长的简单模型由1798年马尔萨斯提出的，它吻合19世纪以前欧洲一些地区人口的统计数据和短期人口增长的预测。当人口增长越过最快增长期后，更精细的阻滞增长模型很好地拟合1860到1990的美国人口数据，用它求出r 和 $x_m$参数后，可以用来验证2000年人口及预测2010年人口。Logistic模型中经济领域有很多应用。

建立模型应用数学来解决问题，是从实践中归纳表述成数学问题，用逻辑演绎的方法来求解，再把数学解的结论解释成实践中现象，用现实对象的数据检验得到的结果。再决定是更换、修改还是深化应用这个数学模型。建立起数学模型在一定程度上解惑、预测、指导实践不是个难事，从而受益于数学的应用。但经过时间和实践考验留存下来，数学模型有价值的百不存一，能够成为理论的更是凤毛麟爪。就像无数论文发表，真正有用的没有多少，公司创业能够上市，上市后能够做大也在少数。但是没有这些努力，就没有现在被大家广为应用的理论和叱诧风云的大公司。

常常听到人们抱怨数学解决不了他们的实际问题，得出来的结果往往是错的。有位搞生化的研究生抱怨用数学算出来的只是一个数字量，他要的是一对数字量。说这数学计算出来的结果太逊了！这些人缺的是选择正确模型，并按照实践反馈来修正模型的能力。

我说数学就像一把刀，你的刀工不行，该切丝时切成块，能怪刀子不给力吗？

（待续）