【文清慧注：下面是薛问天先生2012.8.27投给评论园地的文章。】

评论1 . 用无穷层满二叉树的遍历等方法

证明“实数集可数”的错误分析

薛问天2012.8.27

xuewentian2006@sina.cn

1.   前言

何华灿教授对沈卫国先生的评价很高，在《统一无穷理论》中介绍说：他根据在无穷层满二叉树上包含有单位区间全部实数的已有定论，构造了一种单位区间实数集与自然数集的一一对应方法，从而证明了实数可数，连续统假设是伪问题。

而且说开始时他并不同意这个推论，后来用他自己的方法建立起了[0,1]区间实数集与自然数集之间的一一对应关系，这才最终相信了沈先生2^À0=À₀的结论是完全正确的。从此，作者开始了对统一无穷概念和理论的深入探索。所以何华灿教授认为从这个意义上讲，沈卫国先生是把他引上无穷探索之路的引路人。可见沈卫国先生工作的重要。

本文仅对沈卫国先生的用无穷层满二叉树上的遍历法等证明实数可数的证明进行分析，指出他的错误所在。他根据有穷层二叉树上节点的个数同枝的个数相当的情况，就猜测和臆想，认为在无穷层二叉树上也成立，作为一种不用证明的、自然成立的“原则”来应用，犯了在推理中使用未加证明的论题的错误。所以笔者认为，沈卫国先生提出的用无穷层满二叉树上的遍历法等证明实数可数的证明都是错误的，证明不了“实数集可数”的结论。

2. 沈卫国先生的证明概述

考察一无穷层丰满二叉树，见图1。该树只有一个根节点，令其为第0层；第一层有2¹＝2个节点；第二层有2²＝4个节点；……；第n层有2ⁿ个节点。而n层以内的节点总数共有个（不算根节点）。除根节点外每个节点，都赋以0或者1作为标注。已知该树上由根到无穷层的任一枝，可以唯一地表示[0,1]区间中的一个二进制无穷小数表示下的实数，同时由于该树是丰满的，因此所有枝的集合包含了全部实数，即其势为连续统2^À0。

图1 丰满二叉树的先广遍历示意图

现逐层（位）按上图路线从上至下，每层从左至右和从右至左逐层交替（其实不交替也是可以的），能遍历（先广遍历）该二叉树中所有节点。当遍历到每个节点时，再使其对应与任意一个经过该节点的，而且以前未曾被任何节点对应过的一个枝，即一个新的[0,1]区间的实数。这样所有节点就同所对应的实数（枝）组成的集合建立了一一对应关系。显然，如果为所有节点所选的对应的实数（枝）组成的集合就是全部[0,1]区间实数，那么就建立了自然数集同[0,1]区间实数集合间的一一对应关系，从而[0,1]区间实数集可数即可得证。

2.   对证明的评论

无穷层丰满二叉树，是一个无穷树。从根节点出发的任何一个无穷路径（枝），都代表一个[0,1]区间中二进制无穷小数表示的实数，这个实数是以路径上的各节点标注为其各位值的无穷小数。由于这是一个满二叉树，所以所有路径覆盖了[0,1]区间全体实数。这些论断都没有问题，都是正确的。

所提出的遍历方法可以遍历到二叉树上的每个节点，使自然数（遍历的步数）同二叉树中所有节点建立了一一对应关系。以及所有节点同所选的对应的实数（枝）组成的集合建立了一一对应关系，这也没有问题。

如果为所有节点所选的对应的枝组成的集合就是二叉树上全部枝的集合，那么就建立了二叉树中所有节点集同[0,1]区间实数集合间的一一对应关系。再根据等势关系的传递性：由自然数集同二叉树中所有节点集等势，二叉树中所有节点集同[0,1]区间实数集等势，可立即推出自然数集同[0,1]区间实数集等势，从而[0,1]区间实数集可数即可得证。

问题就出在为所有节点所选的对应的实数（枝）组成的集合就是全部[0,1]区间实数这个论断上。上述论断也可等价地叙述为与所有节点建立对应的枝覆盖了二叉树上所有的枝。

“证明”的作者没有严格证明上述论断，而是提出了如下的一些理由。

一种理由源于对二叉树上节点和枝的个数的比较，认为“树的节点与树枝有某种特定的函数、对应关系。”具体说原文如下^[2] ：

【

已知一个 n层的丰满二叉树结构的中间节点数为 2ⁿ- 1 个( 包括根节点)。而枝数( 也即端节点数)为 2ⁿ个,因此, 枝数与中间节点数有以下关系:

枝数= 中间节点数+ 1( 之所以相差 1,是因为根节点只有一个)

因此,完全可以认为, 当我们逐层数过各枝的中间节点时( 先广遍历) , 同时也数过了几乎同样多的枝数,我们可以给已数过的枝编上号,每一号码( 自然数)唯一地对应一枝, 数过的不再重复。当我们数过的层数 n ® ¥时, 可以认为,穷尽了所有的中间节点,而前面已述, 中间节点数与枝数,有数量上的对应关系,因此也可认为穷尽了所有枝数( 即枝数的自然数编号® ¥) , 而每一枝,表示一个实数, 因此可认为穷尽了( 数过了)所有实数。

】

于是认为，当n（层次）趋向无穷时，节点的个数同枝的个数仍旧相当。“无穷层丰满二叉树,其枝数与节点数的对应即是一种对应关系(原则)。在这一对应原则下, 实数与自然数完全可以一一对应。”既然证明的遍历方法为每个节点都对应有不同的枝，而节点个数同枝的个数相当，从而所对应的枝应该覆盖了二叉树上所有的枝。

问题是根据什么说，在有穷层二叉树上的中间节点数与枝数在数量上的对应关系对于无穷层二叉树就一定成立？有穷到无穷是一种质的飞跃。有穷层二叉树上节点和枝的集合都是有穷集，无穷层二叉树上节点和枝的集合都已经成为无穷集。有穷集讲的是个数，对于无穷集已经变成“势”的概念了。莫非“证明”指的在数量上的对应关系是无穷层二叉树上节点的集合和所有枝的集合等势。“证明”的作者没有证明这个结论，只是根据有穷层二叉树上节点的个数同枝的个数相当的情况对无穷层二叉树上的情况的一种错误的猜测和臆想，把它看成是一种不用证明的、自然成立的“原则”。

其实这个错误可能已经有很多人指出过，但是他直到现在还错误地认为这是不需要证明的“当然”的事^[4]：

“推广到无穷，由于对应是从有限同步趋向无限的，在所有的有限情况时都成立，也就是无限个有限时都成立，当然就是对无限时也成立了（就连这一点，有些人还在那里没有任何证明、根据、推理地说有限不能推到无限）。”

所以说，证明者混淆了有穷和无穷的界限，根据有穷结构的情况对无穷的结构进行了未经证明的错误的猜测和臆想，犯了在推理中使用了未加证明的论题的错误。

更有意思的是，证明者没有严格地证明自己提出的论断，反而要求读者提出论断不成立的反证，如果提不出来，就印证了他的结论是正确的。他说：

“如果不承认无穷层丰满二叉树中的中间节点数对应于树中枝数, 理由是什么? 想必也提不出来,这从反面亦可印证上文结论。”

这里还要指出一个小漏洞，即使论断无穷层二叉树上节点的集合和枝的集合等势成立，也推不出证者想要的论断：为所有节点所选的对应的实数（枝）组成的集合就是全部[0,1]区间实数。因为正如沈先生经常强调的，两个集合等势，只能推出存在着集合间的一一对应，并不等于说你建立的某个特殊的对应就一定是一一对应。

只是由于“等势”的大前提不成立，这点小漏洞我们就不进一步追究了。

我们来看证明的另一个版本 ^[3]：

【

现逐层(位) 数过该二叉树中所有节点(先广遍历) :数到第 n 层时必能数过个节点,由于,其中2ⁿ为该层所对应的节点及枝数, 因此只取该层以前所有节点中的 2ⁿ 个即可, 现令这样的每一节点对应一个经过该节点的以前未曾被任何节点对应过的一枝, 即一个新的 0~ 1 区间无穷位小数表式下的实数。

当数完树中第 n 层( n 位) 时,即可数过起码2ⁿ 个实数, 而在康托对角线法的原则下, 只可能数过 n 个实数( 并对第 n个实数的 n 位进行求反操作)。显然, 这是二者间的唯一区别,所需其它法则并无不同, 后者既可实现, 前者也必可实现。当数过的位数(层次) 趋向无穷时,必可数过包括所有无理数为其真子集的那些实数。这是因为,虽然在 n很大时2ⁿ > > n, 但 n 有限, 2ⁿ必有限; n无限, 2ⁿ 也必无限。于是既然在实数个数与实数位数的一一对应原则下康托对角线法可以使位数趋于无穷以产生一个无穷位新实数,那么在新的对应原则下无穷层丰满二叉树法中也没有理由不可数过所有层数(位数) 。因此,如果这种数法会遗漏某一无理数, 其结论必然是: 可以数过作为丰满无穷层二叉树一枝的该实数的任一位,但却不允许该实数被数到。即一个无穷层丰满二叉树的先广遍历, 可以数过任一节点,却会漏掉某一或某些枝。但显然,这是不可能的。因该树中总节点数不会少于总枝数, 因此如上述结论成立, 必有两个或两个以上节点对应同一枝的情况,而这与原设数法不符,由此证所欲证。

】

证明者在此提出了另一种对应方法。当遍历到有穷层n时，由于第n层以及以前的节点数2 ´ ( 2ⁿ- 1)大于该有穷n层二叉树的枝数2ⁿ，于是在这些节点中只选2ⁿ个节点，使每个节点对应一个不同的实数（无穷二叉树上的的枝）。这样一来，当遍历完第n层以及以前的节点时，就有2ⁿ个不同的实数与之对应。而这个数目刚好等于有穷n层二叉树的有穷枝的个数。进而证明者就据此得出结论：既然无穷二叉树上的所有层均可被遍历到，所以就可遍历到无穷二叉树上的所有的枝，即0~ 1 区间中所有无穷位小数表示的实数。

错误是很明显的。从以上的遍历方法只能得知，当遍历到任意层时，肯定可以对应到与该有穷二叉树的全部有穷枝的个数相等的无穷二叉树上的无穷枝。证明者没有证明由此怎么就能推出可遍历到无穷二叉树上的所有无穷枝的结论。在此同样犯了根据有穷情况不加证明地猜测和臆想无穷的情况的错误。如说“该树中总节点数不会少于总枝数”等。

证明者没有证明，实际上也不可能证明全部有穷枝的集合的势等于所有无穷枝的势，因为全部有穷枝的集合相当于全部有穷小数的集合，它的势是可数无穷À₀，小于无穷枝集合的势。无穷二叉树上所有无穷枝集合相当于全部[0,1]区间实数的集合，它的势是连续统À₁。

在证明中还有一种说法，以为枝是由节点组成的。既然能遍历二叉树枝上所有的节点，就应当能够遍历到所有的枝。说：“因此，如果这种数法会遗漏某一无理数，其结论必然是：可以数过作为丰满无穷层二叉树一枝的该实数的任一位，但却不允许该实数被数到。即一个无穷层丰满二叉树的先广遍历，可以数过任一节点，却会漏掉某一或某些枝。但显然，这是不可能的。”

对于这种说法，沈先生在后来自己的文章中已经做了批驳^[4]。他举了个例子说：“可以清楚地看到，我们这样永远数下去，尽管我们可以数过指向A方向的那一枝上的所有的点，但该枝仍没有被数到，……。”我认为错误的关键在于无穷二叉树的枝上有无穷多个节点，即使该枝上所有的节点都可以被遍历到（即对该枝上的任何节点，都存在一个遍历步，在该步遍历到该节点），并不等于存在一个时刻（遍历步），表明在该步（包括以前）把该枝上所有的节点都遍历完了。所以在遍历中如果用“把该枝上所有的节点都遍历完了”来定义对该枝的遍历的话，不要说遍历所有的枝，就连一个枝都遍历不到。这也正是在前述证明方法中把与枝的对应建立在对节点的遍历的基础之上的原因。

3.      对另外一些证明方法的错误的分析

证明作者并不满意他提出的证明，后来又“给出了一个更直观的数实数集的方法，以使实数集可数的证明更加确定。”原文摘录如下^[4]：

【

】

证明者提出了一种一层层“数”的方法，将一个“扇形结构”的无穷丰满二叉树变成无穷“矩形结构”。要指出的是用“数”的方法，是不可能完成这个任务的。数的任何一步n，不管n有多大，只能将无穷丰满二叉树顶端的n层有穷扇形变成n´2ⁿ的有穷矩形。在矩形的下面还拖着2ⁿ个无穷扇形。上面所论述的“矩形结构中节点数远大于枝数” 都是有穷矩形的属性，得不出无穷“矩形结构”中的“节点可数，枝数也必可数”的结论。

想要构成表示全体二进位无穷小数的无穷矩形，可以先构造表示全体二进位n位有穷小数的n´2ⁿ的有穷矩形，每列表示一个n位有穷小数。然后将有穷位数n推广成无穷位，从而形成无穷矩形。这种推广是一种从有穷位到无穷位的质的飞跃，有穷矩形的属性在无穷矩形中不一定成立。无穷矩形有无穷行和无穷列。行数表示无穷小数的位数，是可数无穷；列数表示无穷小数的个数已不可数。已经不能看成是一个一个相互割裂、孤立的列。如果把它分布在一个轴上，则是密密麻麻，不仅是稠密的，还是连续的。无穷矩形的节点也已经不可数，绝不是“显然是可数的”所能交代得了的。依旧犯了在证明中根据有穷结构的情况任意猜测和臆想无穷结构的错误。

沈先生最近又提出了一个新的证明^[5]。原文是：

【

定理2：在多进制和无限可数的位数的情况下，位数（可数）和其所能表达的数（此情况下为实数），仍然不可能一一对应，后者必然多于前者。但后者仍可数。

证明：实数个数多于其自己的位数，显然。但其是否可数？仅以二进制为例。前n位，就可以表示2的n次方个不同的实数了，哪怕n位后的数字全部一样。我们说，2的n次方，其数字等于每一维只有两个点的n维空间中的点的总数，当然可数。随着n趋向无穷，其总数等于每一维只有两个点的无穷维空间中的点数。当然也应该可数。因为维数是可数的，而每一维的点是有限的（其实即使无限，也应该可以证明可数）。于是，由于此种方式下可以列出所有实数，所以实数集是可数的。

】

这个证明写得非常简单，但是错误却是相当明显。用前有穷位（n位）不同的实数的个数是有穷的（文中说是可数的），就错误地断定无穷位的实数的总数是“当然也应该可数。”“也应该可以证明可数。”照先生这种证法，不管命题是真是假，任何人都会证明了。只要说“当然”、“应该”“可以”就行了，还用得着费那么多笔墨。

4.      小结

综上所述笔者认为，沈卫国先生提出的用无穷层满二叉树上的遍历法等证明实数可数的各个证明都是错误的，证明不了“实数集可数”的结论。分析错误的根源，主要是他根据有穷结构中的某些规律，做出错误的猜测和臆想，认为在无穷结构下也成立。并作为一种不用证明的、自然成立的“原则”来应用，犯了在推理中使用未加证明的论题的错误。

其实，康托已经证明了实数集不可数，所以所有“实数集可数”的证明肯定都会含有这样或那样的错误。当然要找出错误所在，能口服心服地说服那些“证明”提出者，也不是件容易的事。很多人认为这种工作没有意义不愿意做这种事，不过我还是觉着这是有一定意义的。有时找出“证明”的错误，并不比正面陈述证明来得容易。

至于沈先生对康托对角线法的证明的否定，笔者并不认同。因为他所说的“隐含前提”其实并不存在。他所指责康托对角线法用反证法只否定了某一种具体的可数对应方式，其实是否定了所有可能的可数对应方式。这是对康托对角线法的证明的一种严重误解。这些内容请容笔者以后再具体专题评述。

[1] 何华灿，何智涛著 《统一无穷理论》科学出版社2011-12-1出版

[2] 沈卫国 论实数集(连续统)的可数性及其相关问题

[3] 沈卫国 论康托对角线法的局限性与数学、逻辑学中的一些基础性问题

[4] 沈卫国 论实数集(连续统)可数性的证明问题

[5] 沈卫国 关于康托对角线法推导问题的进一步解释及说明

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