Zmn-1235 李鸿仪 : 无限的特点和省略号的奥妙：与某网友对话所想起的

【编者按。下面是李鸿仪先生的评论文章。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

无限的特点和省略号的奥妙：

与某网友对话所想起的

李鸿仪，Leehyb@139.com

无限和有限的根本区别是有限值要么没有变化，即使有变化其增加也有上界，而无限值的增加则没有上界。例如，n为某一自然数时，集合Ⅹ={1，2，3，...，n}为有限集合，其中n是最大自然数。而集合N={1，2，3，...}中，并没有最大自然数，即没有上界，所以是无限集合。

将无限集合写成上述以省略号结束的形式，其优点是简单方便，缺点却是可能造成混淆。例如，假定有两个可以无限招生的班级，学生的学号显然都是自然数集合{1，2，3，...}，看不出任何区别，但如果规定其中一个班级(其学号用集合A表示)每招一个学生，另一个班级(其学号用集合B表示)必须招二个学生，这种表达就会造成混淆了，而且，在这种表示方法中，由于我们看不出自然数集合之间的任何区别，所以就会误以为自然数集合是唯一的，这显然无法解释上述无限班级问题。

很容易用以下三种方法之一知道A≠B:

1观察法:由于A每增加一个学生的学号，B要增加两个学生的学号，所以B的元素数目永远多于A

2用数学归纳法证明上述事实:用n表示招生次数，n=1时，A={1}，B={1，2}，B的元素数目多于A，假设n=k时，B的元素数目多于A，则n=k+1时，A增加了一个元素，B增加了两个元素，B的元素数目仍然多于A，根据数学归纳法的原理，B的元素数目永远多于A。所以A不等于B。

3数学分析方法，设A增加n个元素时，B增加了m个元素，则由招生政策可知，m/n=2，n→∞时，m/n→2，所以，A不等于B。无限集合元素数目的定义可见我上一篇博文的附录。

事实上，由于在任何一个时刻乃至永远，A的元素永远都只是B的元素中的一部分，所以A可以看作是B的真子集，两者虽然都是自然数集合，但并不是同一个自然数集合。由此可见，自然数集合并不是唯一的。

命题1 自然数集合N={1，2，3，...}不是唯一的。

证明:假定N是唯一的，则由于A，B都是自然数集合∴A=B=N，然而，B⊃A，∴B≠A，矛盾，所以N不是唯一的。证毕

命题1不但说明了自然数集合不是唯一的，同时也说明了不存在全体自然数这个概念:如果存在全体自然数，集合A和集合B中哪一个集合的元素是全体自然数？

任何数学定义或者用公理形式表示的某种人为规定，都不过是用来描述或解释事实的，一旦这些定义或者公理在描述事实上出了错，就说明这些定义或公理是错误的。不要以为定义或公理是任意的，或者认为任意命题，只要装上公理这顶帽子，就可以为所欲为，错的也是对的。在事实面前，无论是定义还是公理，不过是可怜的待宰羔羊，等待事实的审查和宣判。

由于任何公理都是无法证明的，所以在一个概念体系中引入过多的公理，只能说明这个体系的建立者无能。公理越少越好，最理想的体系是没有公理。如果做不到，至少要保证每一个公理都是显然正确的，不能有任何反例，也不能从公理导出任何与事实相悖的定理。例如，无论是将自然数集合定义为由全体自然数构成的集合，还是自然数集合是唯一的这一个命题，都无法解释无限班级问题，因此都是错的， 必须从人们的脑海中彻底消除。

由此可见，N={1，2，3，...}中的省略号并不一定是一样的。无论是康托还是主流数学界，显然都没有注意到这一点。

如果令A=N，则B可表示为B={2n-1，2n|n∈N}，为了把省略号里面的具体内容更清楚、精确地表示出来，也可以把n看作无上界的自然数变量，容易证明，这时X={1，2，3...n}就是无限的自然数集合:∵n无上界，∴Ⅹ不是有限集合，而不是有限集合的集合都是无限集合。又X内的元素都是自然数，所以Ⅹ是无限的自然数集合即自然数集合。同理，可将A，B表示成

A={1，2，3，...，n}，

B={1，2，3，...，2n-1，2n}，

式中，n也是无上界的自然数变量。

这样所有的问题都一清二楚了。比如由于B⊃A，B中必然存在A没有的元素:对于任意n，n+1~2n属于B但不属于A。

另一个例子是所谓N1={0}UN可以与其真子集N={1，2，3...}一一对应，

N1:  0，1，2，3…

     |   |  |

N:   1，2，3…

其实也是源于类似混淆:对省略号里面的东西并没有仔细考察，所以应该改写成

N1:  0，1，2，3，…，n

     |   |  |

N:   1，2，3，…，n

式中，n也是无上界的自然数变量。显然无论n等于多少，N1和N永远不可能一一对应。

在我的前两篇博文中也从逻辑上严格证明了这两个集合不可能一一对应。

所谓无限的特点只不过是解除了其值增加的上界，但是两个无限集合之间固有的相互关系是没有理由解除的。例如，由N1的定义可知，N1永远比N多了一个元素0，由真子集的定义也可知，B集合也永远比其真子集A大，这些限制条件，无论在有限还是无限的情况下，都是成立的。

做学问的关键在于要足够严谨，比如说一看到省略号就以为都是一模一样的，不用再仔细考察可能有的区别，或者一到无限，就以为什么限制关系都没有了，甚至连定义也可以不管不顾。这些做法，都是很不严谨的。

一旦所谓自然数集合的唯一性被打破，整个集合论的基础都会被动摇，重建集合论及相关学科势在必行。例如，所谓自然数集合是最小归纳集这一观点就不再成立:它的真子集也可以是自然数集合，而且是更小的归纳集。

所有因自然数集合唯一性而导致的各种反直觉的错误和悖论都将被消除，所有因误以为无限集合可以与其真子集一一对应而导致的悖论和错误也都会消除。(见我以前的博文)。这本来都是大好事，但对于习惯了传统集合论又严重缺乏批判性思维能力和科学精神的人来说，可能一时不能接受。其中的个别人把传统集合论当做信仰和崇拜的对象，一旦集合论错了，他们那种自以为是主流而产生的莫名优越感必然消失，这也是他们难以接受的。

错误的东西先入为主，尤其在基础教学中引入错误的东西，必然会形成一种很强的思维惯性，这种惯性不但会对批判性思维的推广带来极大的阻力，对培养正确的思维方式也有极大的危害，再聪明的人也会变得很傻。所以我一再呼吁教育部要暂停集合论中关于无限集合相关内容的教学，也不要再在数学史上宣扬康托怎么怎么伟大。

救救青少年！

【编者注。读者可点击頁面最上面的〖博文〗这个选項，来查找本《专栏》的其它文章。】,