Zmn-1219 薛问天: 关键是对无穷集合的错误认识，评李鸿仪《1218》

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对李鸿仪先生的《Zmn-1218》一文的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

关键是对无穷集合的错误认识，

评李鸿仪《1218》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

关键出于李鸿仪先生对无穷集合的错误认识。对无穷集合的正确认识，就是要认识到无穷集合是个确定的完整的集合。我们所认识的是客观世界中相对隐定的规律。无穷集合有确定的元素，哪些对象属于这个集合，哪些对象不属于这个集合。某个对象是这个集合的元素还是它不是这个集合的元素，这都是确定的事，也就是集合有确定不变的元素外延。

李先生认为有限集合的元素是确定的，但他却错误地认为无限是不能完成的，因而认为无限集合的元素在不断增加，不能最后完成，错误地认为无限集合的元素外延是不确定的。把【无限集合】看作是由无限个【元素个数在不断增加的有限集合】构成的无穷序列，而且认为这个序列是不能最后完成的，正在形成的无穷序列。这就同我们的认识有很大差距，谈论的根本就不是一回事。我们己多次评论，只有在认为这个序列是能最后完成的条件下，这【无穷个有穷集合的并集】，才能同我们认为的【无穷集合】有一致的内含。

例如，什么是无穷小数。我们认为无穷小数是有无穷个小数位的小数。是一个数值确定的实小数。那就必须把这无穷个位构成的集合看成是外延完整的，固定的，确定的集合。如果把无穷小数的这无穷个小数位看成正在增加，不能完成的，这个无穷小数还能是一个数值确定的实小数吗？李先生把这无穷个位的无穷小数看作是由可数无限个【位数在不断增加的有限小数】构成的序列，而且是最后不能完成的正在形成的无穷序列。请问这怎么能构成数值确定的实小数。

本来这是相当清楚的。任何一个无穷小数，都有可数无穷个小数位。如果有可数个无穷小数的无穷序列，那么它们所有的小数位就形成一个【无限矩阵】。这个矩阵有可数无穷行，可数无穷列。当然你也可称其为无限正方矩阵。因为可数无穷就是能同自然数集一一对应。也就是说，①，这个【无限矩阵】的行标是自然数集合，因为这里有可数无穷多个实数; ②，这个【无限矩阵】的列标也是自然数集合，因为无穷小数有可数无穷多个位; 而且③，这两个自然数集合当然是同一个集合。

要知道康托尔的对角线法就是在这样的无限矩阵上讨论的。

李先生讨论的根本是另外的事。他讨论的根本就不是我们讲的【无限矩阵】，他讲的【无限大长方形矩阵】，本来是想这样定义。他说【无限大长方矩阵是指行数和列数都是无限的，且行数与列数不相等的矩阵。】

但他认为无限是不能完成的。所以他不承认真正的无限矩阵，只承认正在增长的有限矩阵。

他说【比如，若一个矩阵的行数不断增加且趋于无穷，列数也不断增加且趋于无穷，但两者增加的速度不同，最终使得该矩阵在无限的情况下，行数和列数不相等，那么这个矩阵就是无限大长方矩阵。】

因而李先生的【无限大长方矩阵】，並不是真正的无穷矩阵，实际上是【正在增长的有限矩阵】。并没有无限矩阵的【行数】和【列数】，所谓的【行数和列数不相等】，指的有限矩阵的行数和列数在不断增加，【两者增加的速度不同，】

他举的【无限大长方形】的例子是，是由所有有限位小数所形成的有限长方阵序列，

首先是由所有1位有限小数所形成的2行1列有限长方阵，

接着由所有2位有限小数所形成的2^2=4行2列有限长方阵，

再接着由所有3位有限小数所形成的2^3=8行3列有限长方阵，

...，

一般地由所有n位有限小数所形成的m=2^n行n列有限长方阵，

......。

李先生定义的【无限大长方矩阵】就是这个行数和列数不断增加，永远也完成不了的有限矩阵的无穷序列。

李先生说对他所定义的【无限大长方形矩阵】可以【直接证明】下述三个命题，显然是错误的。

【①小数个数与行标集这一自然数集合一一对应即实数可数，】不对。

按李先生的定义，没有定义【行标集】，只证明了，任何n位有限小数的个数是有限数m=2^n。而且在此无穷个有限矩阵序列的所有项的形成都可完成的条件下，可数无穷个有穷项仍是可数无穷，所以这无穷个有限集的并集，即〖所有有限位小数的集合〗的基数是可数无穷的。

李先生所说的【 ②小数位数与列标集这一自然数集合一一对应即小数位数可数】，也不对。这里没有涉及无穷小数的位数。李先生并未定义【列标集】。是在此无穷个有限矩阵序列的所有项的形成都可完成的条件下，可证所有的有限小数的位数合起来一共是可数无穷多个，即〖所有有限位小数的位数的集合〗是可数的。

 李说 【③由于长方形矩阵的行标集和列标集都是自然数集但并不相同，所以自然数集合不是唯一的。】当然不对，因为这里的【长方形矩阵的行标集和列标集】都没有定义，自然谈不上相同不相同。所说的只是这些有限矩阵的行数和列数的增长速度不同，同自然数的唯一性没有任何关系。

所以这里根本谈不上什么数学史需要重写。

李先生说【众所周知，对角线只存在于有限或无限大的正方形矩阵中。】也就是说，李先生认为对角线法对他所说的【无限大长方矩阵】並不适用。但这种批评作为对康托尔对角线法的质疑毫无作用。因为康托尔的对角线证法是在我刚才所说的【无限矩阵】上实施的，同李先生的【无限大长方矩阵】亳无关系。

李先生说【与无限大长方形矩阵的行数比较起来，无限大正方形矩阵的行数犹如沧海之一粟，微不足道，】

要知道李先生的【无限大长方矩阵】，同我们讲的【无限矩阵】毫无关系，根本不是一回事。怎么能比较，怎么能是【犹如沧海之一粟】。

另外李先生又说【但康托居然认为该微不足道的矩阵中已经列出了所有的实数，从而造成了人为的矛盾并建立他所谓实数不可数理论。】

要知道这段话【康托居然认为该微不足道的矩阵中已经列出了所有的实数】说明，李先生对康托尔的证明根本就没有看懂，完全是无知的歪曲。要知道说【矩阵中已经列出了所有的实数】，这并不是【康托居然认为】。这是由反证法的假定【实数可数】推出的命题，是康托在证明中由此假定命题推出矛盾，构造出实数b不在序列中，证明【矩阵中不可能列出了所有的实数】，最终推翻了该假定的命题。怎么能说认为是【康托居然认为】。这是严重的无知歪曲。

用这种无知和歪曲来作为论证的依据，当然是毫无意义的错误推论，不值一驳。

我刚才已评论过，在李先生的【长方形矩阵】中并没有定义什么【行标集和列标集】，所说的只是这些有限矩阵的行数和列数的增长速度不同，而李先生却由此得出结论说【无限大长方形矩阵中的行标和列标都是自然数集合，但显然不同。这样康托建立在自然数集合唯一性基础上的理论全部崩塌，】

请问李先生，你用的是什么逻辑。竟然由有限小数组成的有限矩阵序列中，行数和列数问增长速度的不同，能得出【实际上看到的自然数集合并不唯一】，【康托建立在自然数集合唯一性基础上的理论全部崩塌】的错误结论。

接着李先生又说开了他的陈词滥调。他说【由该错误理论而造成的大量悖论】。 关于这个问题，我已在《Zmn-1211 薛问天: 对集合论等认识的八大错误。评李鸿仪《1209》。》中说得清清楚楚，这根本不是悖论。

〖李先生所说的一些他认为的矛盾和悖论，其实都是他的认识问题。我们己指出，关键是他对无穷集合的这个特点缺乏认识，那就是【无穷集合有可能同它的真子集一一对应】。这是在对一一对应作了严格定义下，严格证明的事实。〗

这一切全都是李先生的认识错误，把无穷的特性当作是错误，【把错误当作真理】了。所以我认为，李先生所说的如下这段话完全适合他自已。【是否应该重新考虑一下自己的人生意义并改弦易辙或改弦更张了？ 毕竟，坚持错误是没有出路的。】

我们可以仔细分析李先生文中所给出的实数同自然数一一对应的【证明】。正如我所说，他【证明】的错误就在于〖没有去证明，也证明不了它满足满射的条件〗。

就是说，他说的由自然数到实数的随机取数的映射f。由于实数是无限集合，可以用数学归纳法证明对所有自然数n，都有f(n)对应实数。这就保证了在此映射下自然数集能一一对应于一个由实数构成的集合，即一个实数的子集。但证明不了这个子集就是实数的全集而不是真子集，即保证不了这个映射是满射。即没有证明任何实数都有n使其等于f(n)。

李说【我们找不到任何一个实数是不能用随机方法取到的，所以任何一个实数都是可以对应到某一个自然数】。我们知道，任何一个实数都可找到一个使用随机方法的映射，使此实数在此映射中有自然数与其对应。但这不是【满射】所要求的。【满射】要求存在一个映射，使得任何一个实数都在此存在的映射中都有自然数与其对应。证明此映射是满射。

李说【只要我们能保证不存在一个数是永远取不到，就等于保证了任意一个数都是能取到的，这就足够了。】问题就出在不是对于某个自然数n，【不存在一个数是永远取不到】与此n对应。对任何自然数都存在实数与其对应。而是在映射中当自然数已完成同实数的某一子集一一对应后，在此一一对应中把所有的自然数用完了，但很可能此时实数还剩得有，没有n同这些实数对应了。也就是说随机取数，任何实数都可能被取到，不存在一个数是不可能被取到，但这只是可能，并不能保证在此次映射中一定能被取到。n用完了，就取不到了。从而保证不了在此次映射中【任意一个数都是能取到的】。明明是保证不了，李先生却说【就等于保证了】，这就是逻辑错误。对这种逻辑推理的对和错，当然任何人都能说清，正确推出来了当然是对的，保证不了，硬说【等于保证】，当然是错的。也就是说李先生并没有证明这个由自然数到实数的映射是满射，满射要求使得任何一个实数都在此映射中都有自然数与其对应。

我们一直认为李提的映射是自然数到实数的映射。对于这种映射，由于实数集是无穷集，所以可证对任何自然数总有实数与其对应。可以证明存在随机取数的映射满足单射的条件，但是证明不了这些存在的映射能满足满射条件。

现在李坚持认为他提出的是实数到自然数的映射。问题就变了，这里还谈不上满射的条件，这里是连映射的条件都达不到，映射要求对任何实数都要有自然数与其对应。但李先生保证不了这个要求。在开始对应时不存在问题，对任何随机所取的实数都能找到自然数与其对应。但是当取了实数的一个无穷子集后，完全有可能把所有的自然数全部取完，这时就没有自然数能同剩余的实数对应了。这些实数就没有自然数与其对应，保证不了这是实数到自然数的映射。

李先生所说的【我们找不到任何一个实小数是不能用随机方法取到的，所以任何一个实小数都是可以对应到某一个自然数，】前半句正确，后半句就是错误的。

保证不了这是实数到自然数的映射。连映射都不是，就更谈不上是单射，满射和双射了。

李先生最后说【任何试图证明实数不可数的企图都不会成功，即使“证明”了， 也必然存在错误(例如康托的对角线论证).】

当然是错误的。因为康托尔证明了实数不可数。他的对角线证明是完全正确的。是李先生的认识和理解出现了错误。

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