Zmn-1210 一阳生 : 我们争论的根源在于对【运算】含义的理解有分歧，评《Zmn-1208》。

【编者按。下面是一阳生先生的评论文章。是对薛问天先生的《Zmn-1208》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

我们争论的根源在于对【运算】含义

的理解有分歧，评《Zmn-1208》。

一阳生

一、我们争论的根源在于对【运算】含义的理解有分歧。

1、薛老师要尊重基本的数学事实，要保持严谨求证的数学作风。【函数有明确的严格的数学定义】是对的。皮亚诺公理二【对于任一自然数n，n的后继数n’存在且是自然数。】中说的是【后继数】这个原始概念，继而由皮亚诺公理界定了【后继函数】。具体来说就是皮亚诺公理(及公理中的0、自然数、后继数等原始概念)联合【函数】概念定义了【后继函数】。【后继函数】不是原始概念，后继函数中的因变量【后继数】才是原始概念。薛老师如果不认同要逐句反驳，反驳要有针对性。

薛老师说：“运算这个述语比较宽泛，函数可以认为是一种运算。把后继函数称为后继运算没有错误。”

【函数】的概念书本上有，薛老师也给出了【运算】的一个比较有代表性的定义。但不通过深入分析他们各自的定义，却强行说【运算的含义宽泛，函数是运算】。这有违严谨的推理和分析的思想。我对【函数】和【运算】的含义进行了分析，指出了他们的异同。薛老师应做出正面直接的回应却不回应，反去指责我大费笔墨没有意思。

2、我们争论的根源在于对【运算】含义的理解有分歧。我说运算等行为动作的次数是用自然数计数的，局限于有穷次。薛老师说运算等行为动作的次数可达到无穷次，但没有最后一次。薛老师要注意：只有在【运算】可达到无穷次的假设下，命题A=【任一自然数都可由0经有穷次后继运算得到。】才是成立的。我期待薛老师能对这句话给出反驳！所谓的【无穷个有穷次运算】依然须要无穷次的运算才能达到，因为运算进行有穷次只能产生有穷个有穷次。同样的在运算可达无穷次的假设下，薛老师才能证明A与皮亚诺第五公理是等价的。所以薛老师以这种等价性证明作为底气与根据，反过来论证【运算】可达无穷次，存在客观的可达无穷次的行为动作等，统统都是循环论证！薛老师还不是初犯循环论证，薛老师说：“例如时间从0秒到1秒，中间要经过无限个时间点，这个经过无限个时间点的无限过程就可以在1秒钟这个有限的时间内顺利完成。”这是先用无穷的观点把1秒时间分成无穷个点或无穷份，然后待达到1秒时间后宣告无穷可完成且论证了无穷的存在。我多次提醒，薛老师仍然我行我素。

我们之间的争论终究在于对【运算】含义作何理解。薛老师说【运算等同于函数】，【运算可达到无穷次但没有最后一次】。我说运算表达行为动作，用自然数计数，有始有终(有始无终是潜无穷但依然局限于有穷次)，且只能局限于有穷次。薛老师是否认可我们争论的根源在于对【运算】含义的理解有分歧？我们须要对【运算】是什么达成共识！

3、要正确认识无穷公理。薛老师说：“全部自然数集合可由皮亚诺公理来定义，或等价地由集合论的①②③来定义。”

正确的说法是【全部自然数】可由皮亚诺公理来定义，或等价地由集合论的①②③来定义。不能把集合与集合的元素混为一谈，分不清彼此。全部自然数定义出来后，才可讨论【全部自然数集合】。

在以前的讨论中薛老师说无穷公理断定存在至少一个抽象的归纳集合，抽象之处在于元素除了全体自然数之外，不确定是否还包含有神秘未知的元素。薛老师说只要不影响公理系统的协调性，抽象的归纳集的存在就可以接受。然后对某一归纳集应用分离公理证明出全体自然数集合。薛老师把严谨精确的数学神秘化了。

我说集合论公理断定的集合都是具体的同一的，无穷公理同样不例外。但薛老师的无穷公理所断定的归纳集不是具体的唯一的。外延不唯一的概念本身与其某个外延本身，不是同一的，是两个不同的概念。集合论公理断言的是集合概念本身的存在。既然断言存在，当然要求集合概念本身是具体的存在和对象。因此集合论公理断言的集合概念的外延必须是唯一的，概念与其外延保持同一才能成为具体存在和对象。所以无穷公理的正确内容是：存在以全体自然数为元素的这个具体的集合。而不是存在归纳集。数学家陶哲轩在《陶哲轩实分析》的著作中，明确给出了无穷公理的内容是：存在[满足皮亚诺公理的全部对象]组成的集合。

薛老师说：“哲学原理断定任何存在的对象，它的生成过程都是可以完成的。”

薛老师对于【存在】何以存在的认知狭隘和片面了，至少在数学中不全是这样的。

4、行为动作不会凭空发生，须有执行主体来执行，执行主体产生的运动轨迹是闭区间。薛老师说存在无穷次后继运算，但不存在第无穷次后继运算。运算是行为动作，这是薛老师承认的。须要有执行行为动作的主体来执行行为动作。我期待薛老师在哲学的高度上对这句话作出反驳！

{当一次后继运算得到某序数时，我思维的关注点聚焦在该序数上，同时薛老师的火车到达该序数车站。}当进行了无穷次后继运算时，我思维的关注点聚焦在哪个序数上了？薛老师的火车处在哪个序数上了？（薛老师要注意，我问的不是有没有最后一次后继运算。）

作为执行主体的思维关注点和火车与小球一样不会莫名的消失，这点相信薛老师还是能想明白的。既然不会消失当然要处在某个序数、某个点等元素上。即使执行主体产生了无穷的运动轨迹和无穷过程，也不会消失不是吗？所以执行主体执行行为动作的运动轨迹是【有始有终】的，执行完行为动作时所处在的元素为【终】，运动轨迹是与闭区间或有最后一个元素的无穷有序集合相对应的。

根据上面大括号{}里面陈述的对应关系，我们以执行完行为动作时的执行主体所处在的序数做【定位】，这序数就是最后一次后继运算得到的序数。我期待薛老师对这句话作出反驳。于是作为行为动作的后继运算，如果能进行无穷次，必然会有最后一次(即第无穷次)后继运算存在。薛老师如不想承认第无穷次后继运算存在，只须承认后继运算等行为动作无法进行无穷次即可！

薛老师对我论证的反驳是：第一、执行主体执行完无穷过程时已完成任务，不去考虑执行完任务时的执行主体是否还存在以及所处位置的问题。不考虑这个问题，这个问题就不存在了。第二、承认执行主体的存在，说执行主体可处在[半开区间之中或处在无最后一个元素的无穷有序集合之中，且又遍历了该区间或集合之中的所有元素]的位置上。（即是说执行主体产生的运动轨迹可对应半开区间或无最后一个元素的无穷有序集合。）

我说【既处在区间集合之中，且又遍历其所有元素】的状态是不存在的。因为这样的区间集合是半开的，不存在最后一个元素可供执行主体落在其上。执行主体要么处在区间集合中某个元素之上从而没有遍历完所有元素，要么处在区间集合之外已遍历完所有元素。

薛老师反驳说执行主体在【处在半开时间区间集合之中，且又遍历其所有元素】的时刻时，处在了【处在半开空间区间集合之中，且又遍历其所有元素】的位置上。说执行主体在【处在半开空间区间集合之中，且又遍历其所有元素】的位置时，处在了【处在半开时间区间集合之中，且又遍历其所有元素】的时刻上。殊不知【既处在区间集合之中，且又遍历其所有元素】的状态，不管对于时间半开区间集合还是对于空间半开区间集合都是不存在的。拿两个不存在的状态相互证明彼此存在，尽显诡辩。

二、小球的运动。

薛老师还是抓不住关键，半开区间[0,1)和闭区间[0,1]包含的点当然不同。前者不包含端点1而后者包含。结论的得出无须通过小球运动去验证和证明。我们讨论的是运动，您却打着小球运动的幌子反复的说半开区间没有最后一个端点。因此我们要明确，我们讨论的是小球的运动轨迹，而不是半开区间。薛老师是否认可？

薛老师不要臆想存在与半开区间[0,1)完全重合的运动轨迹。执行主体要么处在区间之内小于1，没有遍历完半开区间中的所有点，要么处在区间之外大于等于1，已遍历完半开区间中的所有点。所以执行主体产生不了与半开区间[0,1)完全重合的运动轨迹。薛老师也不要妄想对运动轨迹“掐头去尾”使之与半开区间完全重合，这就不是运动轨迹了，而直接就是半开区间了。

半开区间[0,1)和闭区间[0,1]在时间长度上或空间距离上都是相同的。根据物理学知识，当小球从0点经过半开区间[0,1)的所有点时，与小球从0点经过闭区间[0,1]的所有点时，小球所处在的时刻或位置是相同的！小球都处在1时刻或1点上。

难道薛老师敢违背物理学知识，说小球经过半开区间[0,1)所有点时，小球不处在1 时刻或1点上？难道薛老师敢说【小球从0点经过半开区间[0,1)中所有点时所处在的时刻或位置】落后【小球从0点经过闭区间[0,1]中所有点时所处在的时刻或位置】一个时刻、一个点？我认为薛老师不敢的！

三、关于极限定义。

1、停止自欺，就能做到【说的清】。薛老师说【趋向于】不是自然语言，也不是单独的数学概念，而是严格的数学概念Ψ=【当x趋向于x0时，f(x)的极限是a】中的一部分语句。Ψ是由Φ定义的。又说Ψ是不可拆分的简单命题。

数学概念是对事物的本质属性的指称，通常由词语充当。命题是对一个概念的特征或多个概念间关系的陈述，通常由具有完整结构形式的句子充当。Ψ不是数学概念是命题，没有定义命题的说法和做法。我期待薛老师对这句话进行反驳！Ψ是参与定义【极限】这个数学概念的命题，整个极限定义都是在定义【极限】概念，【极限】二字中没有包含【趋向于】这个语句。您为了逃避【趋向于】，不惜混淆数学概念与命题。

您亲手把【趋向于】整成了“四不像”，然后您说您自己【说不清】趋向于的含义。但我们是正确理解极限定义命题结构的，定义中的每个概念每个词语每个字的含义我们都是【说的清】的。这才是我们心目中严谨精确的分析的数学！

我为什么说薛老师自欺呢？因为薛老师最终吐露了心声，说【趋向于】可解释为【无限接近于】，而解释为【一阳生】、【吃完饭】不合适。

2、要知道复合命题中的结论在含义或真值上可能对前提有所依赖。我的极限定义命题结构【(A∧B)→(C→D)】中的A、B、C、D都是命题，都不是数学概念，C和D都不须要也不可能被A∧B定义，只是在含义和真值上对A∧B有所依赖。C=【x趋向于X0】的含义是x向x0运动，但不达到x0。其中【x向x0运动】这个含义来源于【趋向于】，不是来源于A∧B。【趋向于】是独立的自然语言，您不可能在A∧B中找到解释。【x不达到x0】这个表达x和x0关系的含义，依赖于A∧B。所以即使暂未发现除了极限定义之外的其他应用场景，【x趋向于x0】仍是独立的命题。

3、薛老师说我说不清【当x趋向于x0】和【f(x)的极限是a】的含义(在我的极限定义命题结构中我说清了)，原因是我没有用A∧B来定义他们。而且即使想定义他们也定义不出来，因为在A∧B中并没有【x向x0运动，但不达到x0。】和【极限和a是等同关系】这样的表述。那我要反问，作为他们的合体ψ，ψ中有【趋向于】、【极限】等这些字词，A∧B中却没有这些字词表述，A∧B是如何能够定义ψ的？我猜测薛老师的回答是：根据我的极限定义命题结构Φ⇔ψ，ψ就是被定义为了Φ即A∧B，所以作为整体不可拆分的ψ的含义解读就是Φ ，让我[解读不可拆分的ψ中的部分语句]这个要求本身就是有问题的，必须拒绝。我提醒薛老师用【分析】的思想来考察给出ψ这个命题的结构形式，薛老师不敢给出，生怕暴露出自己的极限定义命题结构是错误的。

4、我批评薛老师的极限定义命题结构【Φ⇔ψ】，我说Φ只是ψ的充分不必要条件，其中的等价⇔应改为蕴含→。薛老师反驳说只要让A中存在变量b不取具体值就是成立的。我说b因为不能同时取相同的外延违反同一律。薛老师说数理逻辑中不同的约束变量可以相互替换，不违反同一律。我说不在同一论证过程中可以替换，可以认为相同，但在同一论证过程中违反同一律确定无疑。薛老师的做法是把不在同一论证过程中的两个命题相同的情形混淆为同一论证过程中两个命题的相同情形。这种混淆也是违反同一律的。

我们来看具体的例子，等式y=2x和等式x=2y分别定义了两个函数。如果不在同一个坐标系(即不在同一论证过程中)，前者以x为自变量，后者以y为自变量。可以认为这两个函数是相同的。但如果在同一坐标系(即同一论证过程中)，都是以x作为自变量，他们就是两个不同的函数。

(Φ→ψ) ∧ (ψ→Φ)中两个Φ处在同一论证过程中，薛老师否认不了！两个Φ中的两个存在变量b只要同时取值不同的外延，b就违反了同一律。两个b在取值范围内都是自由取值的，您保证不了他们时刻取值相同。所以两个不满足同一律的b终究不是同一个b。进而两个Φ也是不同的Φ。为了避免违反同一律，必须写成Φ1、 Φ2以示区别。因此(Φ1→ψ) ∧ (ψ→Φ2) 成立，而Φ⇔ψ不成立！

薛老师要注意不在同一论证过程中的Φ与Φ或Φ1与Φ2，只要其中的存在变量b、b1、b2取值范围相同，则可以认为他们是相同的，而不必在意他们是否能够时刻取相同的值和是否是相同的符号。但这与同一论证过程中相同的情形不一样，切不可混淆！

综上，我指出了薛老师的极限定义命题结构中的说不清之处，也指出了逻辑错误之处。相反薛老师却始终指不出我的极限定义命题结构中的说不清之处和错误之处。薛老师仅以自己的极限定义命题结构为出发点和衡量标准，说我说清了他认知中认为说不清的东西，所以我错了。这是过分自信了。

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