Zmn-1211 薛问天: 对集合论等认识的八大错误。评李鸿仪《1209》。

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对李鸿仪先生的《Zmn-1209》一文的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

对集合论等认识的八大错误。

评李鸿仪《1209》。

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

李鸿仪先生的此文错误太多，现仅就下述八大错误作出评论。

一，错误地认为集合论是【存在众多悖论】【自相矛盾】的理论体系。

李先生说【集合论中存在的众多悖论，说明集合论是一门尚未做到自洽的、不成熟的科学，需要数学家从批判的角度分析其原因并加以改进。】【数学史在这方面走了太多的弯路。由于盲目迷信和自我封闭，且对悖论和自相矛盾麻木不仁，主流数学界在集合论基础方面还停留在100多年前的水平，需要提醒主流数学界注意这个问题，并自觉地提高对自相矛盾和悖论的警觉性和敏感性，加强批判性思维能力的自我培养。】   

集合论早已由原始的朴素集合论发展为现代的公理化集合论。其原有的矛盾，悖论早已得到解决，现在还说【集合论中存在的众多悖论，说明集合论是一门尚未做到自洽的、不成熟的科学，】是严重的无知和错误。现在的公理集合论已证明是相容的，协调的，无矛盾的系统。

李先生所说的一些他认为的矛盾和悖论，其实都是他的认识问题。我们己指出，关键是他对无穷集合的这个特点缺乏认识，那就是【无穷集合有可能同它的真子集一一对应】。这是在对一一对应作了严格定义下，严格证明的事实。李先生必须承认 。他的那些错误认识都是由于他没有认识这个无穷集合的特点所引起的。比如他所说的【有理数既和自然数一样多，又比自然数多】指的就是自然数是有理数的真子集，但又存在双射，可相互一一对应；【偶数既和自然数一样多，又比自然数少】指的就是偶数集是自然数集的真子集，但又可相互一一对应；【部分既小于又等于全体】指的就是无穷集合可能同它的真子集相互一一对应；【一维空间和二维空间的实数点数相同】指的就是一维空间是二维空间的真子集，但又可相互一一对应；【一个无限旅馆可以既客满又不客滿】指的就是在无限旅馆中，无限的客房既可同无限旅客一一对应，又可同无限旅客的真子集一一对应；至于说【存在的东西却不能一一列出】这不是集合论的正确表述，集合论中说的是存在着不可列(即不可数)的无穷集合，即存在着不能同自然数集合一一对应的无穷集合，如实数集合等。所有这些都不存在任何矛盾，都不是悖论。认为这些是矛盾完全是李先生的无知所带来的错误认识。

李先生说【为了掩盖集合论中的各种悖论，有的人就只能装作看不见悖论或者干脆否认悖论的存在。】

其实这是李先生的认识错误。是李先生把无穷集合的特性错误地认为是集合论中的矛盾和悖论，现代的公理集合论已经解除了原始朴素集合论中所有的矛盾和悖论。不存在任何悖论。公理集合论己证明它的公理系统是无矛盾的协调的相容的(也可称为是自冶的)公理系统。

同时，李先生说【集合论在一些基本观点上，与所要描写的事物也不他洽，】的观点也是毫无根据的。例如，他说【自然数集合的无限性在于且仅在于其自然数的数目是可以无限增加的，但集合论却把自然数集合看成是一个已经包含了所有自然数即外延固定、元素数目不能再增加的集合。】 就毫无道理。包含了所有自然数的集合是无穷集合只是说明它不是有穷集合，是无穷集合。它的外延当然只能包含所有的自然数作为元素，是外延固定的，元素不能再增加任何非自然数作为元素的集合。具有【无限性】，说明它是无限集合，并不说明它还可以【再无限增加】。包含了所有自然数的集合当然说明它只能包含所有的自然数作为元素，元素不能【再无限增加】。难道李先生还要让它把非自然数增加为集合的元素吗。

二，错误地认为原始的朴素集合论不存在罗素悖论。

李先生说【罗素缺乏严格的数学训练，不是数学家， 他提出的罗素悖论并不存在。】

罗素悖论是说，如果令集合S是由所有x∉x的集合构成的集合，即S={x|x∉x}，则出现S∈S和S∉S的矛盾，因为如果S∈S，则由定义可推出S∉S，如果S∉S，则可由定义推出S∈S。因为原始的朴素集合论中是允许有S={x|x∉x}，这样定义的集合的。所以在原始的朴素集合论中罗素悖论是确实存在的。

至于李先生认为不能有【所谓包含自身的集合】，他说【所谓集合，都是把一些事物(后称为元素)放在一起所形成的，即先有元素，后有集合,从因果关系来说，元素是因，集合是果。从数学定义的角度来说，先有后称为元素的各种事物的定义，然后才能用这些事物的定义来定义一个集合。 】这是李先生对集合的理解，而集合论对元素和集合並没有【先有元素，后有集合】，和【元素是因，集合是果】这样的规定。只是把属于关系∈看作是两个对象间的二元关系。并不分什么先后和因果。你可以认为由元素构成集合，先有元素后有集合。你同样也可以认为由集合包含元素，先有集合后有元素。你可以把元素比作母親，集合比作儿子，同样也可以把集合比作母親，把它包括的元素比作儿子。这里集合论并没有规定集合和元素的先后和因果。所以在原始的朴素集合论中罗素悖论确实存在。

公理集合论是由正则公理否定了【包含自身的集合】，解除了这一悖论。

李先生说【公理化集合论甚至没有定义什么叫集合，就开始讨论与集合有关的命题，这在逻辑上至少是不完善的。】

说明李先生根本不懂公理化方法。集合是原始概念，没有数学定义。集合概念的数学含义完全由公理界定。在集合这个原始概念由公理界定以后，当然可以【讨论与集合有关的命题】，这在逻辑上没有任何【是不完善的】。李先生竟然连这个最基本的数学方法都不懂。

李先生说【所谓公理化集合论本身也并没有解决本文序言中提到的任何一个悖论，甚至连所谓连续统假设是真是假都无法辨别。 】是完全不符合事实的指责。李先生所说的【悖论】，是他的认识错误，不是悖论，是无穷集合的特性，当然不需要【解决】。而公理集合论中的正则公理解除了存在的罗素悖论。

至于说到【连续统假设】，已经证明它根本是独立于现有的ZFC公理的。也就是说现有的集合论公理加上【连续统假设】或加上【连续统假设】的否定，都可形成无矛盾的公理系统。就如同欧氏几何同非欧几何都是无矛盾的几何公理系统一样。李先生怎么连这都不懂。

三，错误地认为自然数集合的定义过程【永远不会完成】，认为全体自然数集合的存在是【证明不了的】。

李先生说【在皮亚诺公理中，先规定0(或1)为自然数，然后再用后继数概念来定义下一个自然数。自然数就是这样一个一个定义出来的。这个定义过程是永远不会完成的，因此不存在全部定义好了的自然数，可以无限定义下去的自然数也不可能全部装在一个外延固定的集合里。】

李先生说【由于定义自然数的过程永远不能完成，所以永远不可能形成由所有自然数组成的集合，】【D 存在着包含全体自然数的集合。】【D是证明不了的，】

李先生的这些认识全都是错误的。自然数集合的定义当然是完整的，可以完成的。它定义了包括所有自然数构成的集合。自然数集合是定义为满足皮亚诺公理中全部五条公理的集合。这已经把自然数集合定义清楚了。定义此集合满足这五条公理就把全体自然数的所有元素都定义清楚了，並不需要对全体自然数集中的每个元素一个一个的定义。皮亚诺公理的第五公理即数学归纳法说明，对任何谓词P(n)，只要证明P(0)为真，且对任何自然数n，由P(n)为真可推出P(n+1)为真。则对全体自然数n，P(n)都为真。我们可以设P(n)是【n定义为自然数集合中的元素】。显然由第一条公理：‌0是自然数，可知【P(0)为真】，即【0定义为自然数集合中的元素】。由第二条公理：‌每一个确定的自然数a都有一个确定的后继数a'，‌即a'也是自然数。‌可知【对任何自然数n，由P(n)为真可推出P(n+1)为真。】再由第五条公理：‌‌归纳原理成立，‌由数学归纳法可知【对全体自然数n，P(n)为真。】由P(n)的约定，此即知【对全体自然数n，n定义为自然数集合中的元素】为真。

可見作为自然数集合定义的皮亚诺公理确确实实把全体自然数n【定义为自然数集合中的元素】。这个定义是完整的，是完成了的。

另外在逻辑上一定要分清，定义和存在是两个不同的概念。定义清楚並不保证所定义的集合一定存在。所定义的集合是否存在还要严格证明。而全体自然数集合的存在，则是得到严格证明的。证明主要包括如下几点。

第一，全体自然数集合由皮亚诺公理定义。可证明它是最小的归纳集合。

第二，无穷公理断定，存在有归纳集合。

第三，既然有归纳集合存在，全体自然数集合是最小的归纳集合，就是此存在的归纳集合的子集，从而由分离公理就可证明此全体自然数集合的存在。

李鸿仪先生，你提不出任何反对意見，就必须承认这个严格的证明。从而不得不断定你的断言:【D 存在着包含全体自然数的集合】，【D是证明不了的】是严重的错误。

另外还要指出，李先生应从概念的逻辑上分清 ①:【集合的外延是固定不变的】，②:【集合是唯一的】，③:【集合是存在的】。这三个概念之间的关系。①是指任何一个集合都有固定不变的确定的外延。适用用每个集合。②是指如果两个集合的外延相同，即它们包含的元素完全一样，则认为它们是同一个集合，是唯一的。③是指集合的存在。这是三个不同的概念。

显然，不能由①推出②来。X和Y都有固定的外延，推不出外延一定相同。另外也不能由②推出③来。因为【存在】同【唯一性】没有直接关系，唯一的集合有可能证明它的存在(如自然数集合)，不唯一的集合也有可能证明它的存在(如归纳集合)。集合的存在需要用公理来证明，用外延相同证明不了集合的存在。

所以说李先生所说的【容易用B证明C】是错误的。因为如果两个自然数集合X，Y的外延都是固定的，如果是部分自然数组成的集合，它们的外延可能不同，就不可以【用外延公理证明，这两个集合是同一个集合】，证明不了唯一性。

另外李先生所说的【也很容易用C证明D(反证法)】也是错误的，因为由不存在全体自然数集合，并不能推出包含部分自然数的集合就一定存在，就说【就可以存在两个各自包含不同的自然数的集合】这是错误的推论。 也就是说李先生所说的【这样，B，C，D都可以互推，因此是三个互为充分必要条件的命题。 】从逻辑推论上说，全是错误的推论。

也就是说:【D 存在着包含全体自然数的集合】不是由B和C推出的，而是我前面讲的，是可以由集合论的无穷公理和分离公理严格证明的。

四，错误地以为他己经对无穷集合的【元素数目】给出了明确的数学定义。

我们来分析他的错误在哪里。李先生说【定义：对元素进行计数得到的结果称为元素数目，】

我们来㸔他怎样【计数】，和得到怎样的【结果】。

他说【这里，计数是指对元素做以下的加法统计运算

a+a+.....                                   .(1)

a称为计数单位。例如a=1时，相当于对元素一个一个计数，a=2时，相当于对元素两个两个计数...】

这里有一个明显的错误，不知a是多少。请问是由谁和根据什么来定【计数单位】a？为什么不说清楚，你能讲清楚吗？也就是说李先生的【计数】，根据的是一个不知a是多少的(1)式。

他接着说【计数结果则是上述加法运算的和。】

这就问题更大了！对有限集合，他说【显然对于有限集合，计数次数n是有限的，所以(1)的结果是na，为一有限值，】这没有一点问题。但是李先生说【对于无限集合，计数次数是无限的，因此，(1)的计数结果是n→∞时的lim  na，a=1时，恰与数列{n}的不正常极限即∞一致。】

这就有严重的错误。第一，无穷集合中有非可数的无穷集合，对这些非可数的无穷集合，无论a选择的是多大的自然数，所写出的(1)式都不是可数无穷个数相加的无穷级数，它是毫无定义的不可数无穷个a的相加。

第二，对于所有的可数的无穷集合，写出的(1)式确实是个无穷级数。但这个级数无论a等于多少都是发散的级数，此无穷级数的部分和的极限是无限大，此无穷级数没有和。因为无穷级数和的定义非常明确【如果无穷级数当n趋于正无穷大时，部分和Sn趋向一个有限的极限S，那么这个无穷级数就称作是收敛的，S称作此无级数的和。】也就是说部分和的极限是有限数时，才能称为是【和】。既然李先生说【计数结果则是上述加法运算的和。】又说它【(1)的计数结果是n→∞时的lim  na，a=1时，恰与数列{n}的不正常极限即∞一致。】就是错误的。对于发散级数，加法运算的和没有意义，说和是∞是不正确的。只能说它是用此无穷级数(1)的部分和序列来作为【元素数目】的定义。

在数学分析中确实是把无限大极限的无穷序列称为【无穷大】。这样的无穷大极限的序列可以用【无穷大的阶】来比较大小。但李先生所说的这些无穷级数(1)的部分和序列全是【同阶的无穷大】。因为这些序列的比值就是相应的【计数单位a】的比，全是大于0的常数。李先生就用序列的比值是否大于1，来决定序列的大小。

看清楚了吧，这就是李先生用【计数】对无穷集合【元素数目】的错误定义。他把可数的无穷集合的【元素数目】定义为不知道a是多少的发散的无穷级数

a+a+...    (1)

的部分和无穷序列Sn(a)=na(n=1,2,3,...).。

然后用其中的不知是多少的a，来表示无穷集合的【元数数目】的多少。

我们先不说非可数的无穷集合。就是可数的无穷集合，你能用其中的不知是多少的a，来表示无穷集合的【元数数目】的多少吗？可见李先生是错误地以为他己经对无穷集合的【元素数目】给出了明确的数学定义。

五，错误地根本不用他对无穷集合【元素数目】的定义，来证明【定理】

李先生说【命题1:不存在包含全体自然数的集合。     证明(反证法):假定存在一个已经包含了全体自然数的自然数集合X，由于自然数是无限多的，因此Ⅹ是无限集合。但是既然X已经包含了全体自然数，即已经没有其他自然数了，所以X的元素数目不再增加，而是固定不变的，由于实数域内任何固定不变的数都是有限数，因此Ⅹ是有限集合，矛盾！所以，Ⅹ不存在 。证毕     】

这是李先生逻辑混乱的典型表现。既然把无穷集合的【元素数目】定义为无穷级数(1)的这个【无穷大极限的部分和序列】，而且用它的比值来决定【元素数目】的大小。那么X的【元素数目不再增加，而是固定不变的，】就应是它的无穷级数的【部分和序列】的比值为1。即【计数单位】相等，a=a。这有什么矛盾。怎么同你定义的【元素数目】无关地，变成了【由于实数域内任何固定不变的数都是有限数，因此Ⅹ是有限集合，矛盾！】

请李先生仔细看看，你是怎么定义无穷集合的【元素数目】的。为什么不在证明中用你定义的【元素数目】？为什么要不根据定义地乱说。

至于命题2及其证明则更加逻辑混乱。李先生说【命题2对集合N={1，2，3...}和N′={2n-1，2n|n∈N}，N′的元素数目是N的两倍。        证明， 分别用n和m表示N和N′在有限时的元素数目，由于N每增加一个元素，N′增加两个元素，故在有限情况下，两个集合的元素之比为m/n=2，则n→∞时，Lim  (m/n)=Lim(2)=2，证毕  】

要知道李先生在前面的定义中，并未对【计数单位a】作出定义。没有讲清楚为什么对N选a=1，对N’选a=2。请讲清楚根据什么对N选a=1，对N´选a=2。请问在你这样的选择下，无穷集合N和N´的【元素数目】分别是不是固定不变的？

另外，如果无穷集合N和N´的【元素数目】分别是固定不变的，是不是【由于实数域内任何固定不变的数都是有限数】，因此N和N´【是有限集合，矛盾！】？李先生的混乱逻辑混乱到处处是矛盾。

【要注意①N和N′这两个集合都是无限的自然数集合，而不是有限集合；】而且N和N´不仅都是外延固定不变的集合，而且N和N´的元素相同。N的元素都属于N´而且N´的元素都属于N，它们的外延相同，是同一个集合。因而完全符合【B自然数集合的外延是固定不变的】和【C自然数集合是唯一的】。同时也验证了【D 存在着包含全体自然数的集合。李先生的②，说N和N´【这两个集合的元素数目不同，外延自然不同，因此是两个不同的自然数集合。】 是错误的。因而李先生说【命题2不但直接推翻了命题C，而且也推翻了命题D】是严重的错误。这是由于命题2的错误所决定的。

李先生的问题都出在他的逻辑混乱上。他一方面说的是无限集合的【元素数目】，又把它说成是无限集合的【形成速度】。李说【N′的元素数目是N的两倍 】，又说成是【N′的形成速度就是N的两倍】，在概念上是混乱的。不知他到底想说什么。

他给出了无限集合的【元素数目】的定义。但又在讨论【元素数目】中不用他的定义。例如N是N1={0}UN的真子集，李先生说两者的【元素数目】大小并不相同:【N1比N要大】。就应该要用【计数】法把相应的(1)式写出来 ，看N1的a是多少，N的a是多少。它们的比值是否大于1。为什么不这样作就直接说【N1比N要大】。所有这些推理都是逻辑混乱的。

六，错误地不敢正面承认[0,1]中间有无限个数。

因为承认[0,1]中有无限个数。那么时间从0秒走到1秒，小球从空间坐标1点运动到坐标1点，这经过无穷个点的无穷过程就完成了。承认了这个客观事实，就从根本上否定了李先生坚持认为无穷就是【无限增加，永远不能完成】的错误观点。

李先生说【0和1之间究竟是有有限多个数还是无限多个数，这个问题并不能一概而论。】

怎么【不能一概而论】，应该明确地肯定回答，【[0,1]中间有无限个数。】

当然我们不是指含有的只是位数小于某自然数n的有限小数。人人都知道，位数小于某自然数n的十进制有限小数只有10^n个，当然是有穷个。但是自然数n有无穷个，所有的有限小数当然是无穷集合。这还没算无限小数，所以这是肯定的【[0,1]中间有无限个数】。

李先生说【而n增加的过程是永远不能完成的，所以小数个数的增加过程也是永远不能完成的。】李先生没有直说，但他的意思是在否定所有这些无限多个有限小数的存在。

这当然不对，n增加的过程当然是完成了，所有有限小数的形成过程当然也是完成了的。正因为完成了，它们才全都在区间[0,1]之中。李先生，难道你连这些有限小数的存在都要否定吗？

其实早已指出，很多无穷序列，如0.9,0.99,...，

1/2,2/3,...,n/(n+1),...。

等很多很多序列，都是[0,1]中间的无限个数。李先生，你是否连这些无穷序列的存在也都要否定。

尽管李先生没敢直说，实际上他是连无穷序列的存在也是否定的，因为无穷序列依赖全体自然数集合的存在。他认为全体自然数的集合都不存在，无穷序列也就认为不存在了。实际上他否定了任何无穷集合的存在。

我感到李先生的错误常是由于他把无穷集合的【存在】同人为地能把它的所有元素【一个个地列出】来混为一谈。例如他说【当然，用这种列出实数的方法实际上是列不完实数的，这个很正常，只有有限集合的元素才能全部列完。包括自然数集合在内的任何无限集合的元素都是列不完的。】

对无穷存在的认识绝不能靠什么人为地一个个列出。而是要靠逻辑的推理和证明，人为地一个个列出只能限制在有穷的范围之内，这就是所谓的【无穷禁忌】。逻辑推理的步骤也限制必须是有穷步。但逻辑推理和证明的内容，则没有这个限制，可对无穷事物的性质进行推理和认识。

另外李先生说【在所有认为存在全体自然数或自然数集合是唯一的人的潜意识中，都认为自然数是能定义完的，也就是说自然数序列是有一个尽头的，】这种把无穷过程的【完成】同无穷序列【有尽头】等同起来的观点也是错误的。

有穷过程的完成肯定有尽头。但无穷过程的完成不一定有尽头。这是无穷区别于有穷的一个重要特点。有穷的有序集合肯定有最大元素，但无穷的有序集合不一定有最大元素。李先生一定要把无穷的这一特性认清。不要闹出在无穷序列中找最后项的笑话来。例如李说【如果你问他这个尽头在哪里？他就说不上来了。  】其实李先生也知道这个错误的原由【本质上还是用想当然代替事实！把对有限集合的经验毫无理由地推广到了无限集合。】关键是缺乏这方面的思考。

七，错误地认为【全体自然数集合不存在】，【自然数集合不是唯一的】，并且在这一错误论断基础上做出很多错误的推论。

李先生说【把自然数集合看成一个已经包含了全体自然数且自然数的数目不再增加的集合与事实严重冲突，即不他洽，必然会导致大量的错误。】

1，李先生不承认全体自然数集合的存在，首先严重就是否定实数中无限小数的存在。

李先生说【无限小数的位数是无限多的。无限自然数集合的元素也是无限多的。而无限小数的位数只能用自然数来表示。所以可以把无限小数定义为其位数与自然数集合一一对应的小数。由于自然数集合不是唯一的，所以无限小数的位数也不是唯一的，这就为实数理论的研究开拓了一个十分广阔的天地。 】这哪里是开拓实数的天地，这是在否定实数的基础，否定无限小数的存在。李先生只承认存在对所有无界自然数n的n位有限小数，根本就不承认有无限小数。请看他说的下面这段话【容易证明，当且仅当n的增加是有界时，所列出的小数才是有限小数。因此，当n的增加没有上界时，用上述方法列出的数里也包括了小数位数n的增加没有上界的无限小数。】很清楚，用上述方法列出的数里只包括没有上界的n的【n位有限小数】，哪里有无限位的无限小数。也就是说李先生只承认存在有【没有上界的n的n位有限小数】，完全否定了无限位的无限小数的存在。

他说【相反，如果认为这种方法只能列出有限小数，实际上就是认为n的增加是有界的，与n的增加无界这一前提矛盾。 这就给出了一一列出包含无限小数在内的实数的方法。】

也就是说，他认为实数包括了所有无上界的【n位有限小数】就是包括了【无限小数】。这是眀显地否定无限小数的存在。

这是个严重的错误，我们知道所有无上界的【n位有限小数】只是部分有理数，是有理数的子集，是可数集合，距离包括全部无限小数的不可数的实数集合还差得很远很远。

2，李先生不承认全体自然数集合的存在，再一个严重的问题就是否定了【可数无穷】的概念。

李先生到处乱用【可列】，【可一一列出】，殊不知数学概念不能乱用，【可列】，【可一一列出】，己有严格的数学定义，那就是一个集合称为是【可列(可数)的】，当且仅当能同全体自然数的集合一一对应。而且【一一对应】也有严格定义。那就是存在【双射】。【双射】也有严格定义，那就是满足单射和涡射条件的映射。所有这些数学概念都有严格定义。数学推理必须随从这些定义，不能乱来，李先生的问题就是不懂这些数学常识，显得逻辑相当混乱。

李先生说【所谓对角线论证就是假定小数个数与小数位数这两个完全不同的自然数集合都是同一个自然数集合才得出的。本文给出了两种一一列出实数的方法，直接推翻了对角线论证。】

大家知道对角线论证是康托尔定理的证明，是证明实数集合是不可列的。你的不承认全体自然数集合的存在，已经破坏了【可列】的定义，怎么还说【本文给出了两种一一列出实数的方法，直接推翻了对角线论证。】

李先生，你已经破坏了【可列】的定义，请问你的【证明】是怎么严格的按照定义进行推论的。全体自然数不存在，你怎么能证明实数能同它一一对应。【元素是列不完的】你的双射是满射吗？

3，李先生说他不承认全体自然数集合的存在，从而解除了现有的悖论，这也是错误的。

李先生说【本文序言中提到的所有悖论，都是建立在存在全体自然数即自然数集合是唯一的这一错误假定基础上的。一旦这个错误假定被去掉，这些悖论自然也就不存在了，】

我在前面己经说过，集合论中并没有悖论，这一切都是李先生没有认清无穷的特性，是李先生的认识错误。李先生不承认【全体自然数集合】的存在和认为【自然数集合不是唯一的】，反倒带来很多矛盾。自然数集合没有确定的元素，有些元素竟然确定不了它是自然数还是不是自然数。

4，半径不同的同心圆的点可以一一对应的问题，

这本不是问题，假定圆A的半径是圆B的两倍，则圆B圓周上点的坐标集合是圆A圓周上点的坐标集合的真子集，而且可以建立一一对应。这对无穷集来说非常正常。

如果圆心在坐标原点，且两个圆上任一点的坐标都小于1，用无限的二进制小数表示，则易证一一对应的双射是圆B上的小数乘2对应于圆A上的小数。这在数学上一点问题都没有。无穷集同它的真子集一一对应。而李先生却说【圆B上的小数位数比圆A上的小数位数多了一位，才能形成一一对应。】似乎只有用自然数不唯一，才能解释无限小数乘2使无限小数的位数少一位。这根本没有必要。无限小数乘2仍然是无限小数，位数没变，还是无限小数。小数位数仍然可同全体自然数一一对应。李先生完全多此一举。

5，对自然数集合及数学归纳法的认识错误。

李先生说【由于不存在全体自然数，数学归纳法只能用来证明某命题对任意自然数成立，而不能用来证明该命题对全体自然数成立。自然数集合也只能定义为包含任意一个自然数的集合，而不能定义为包含所有自然数的集合。】这样的认识显然是错误的。存在全体自然数集合，数学归纳法是定义自然数的皮亚诺第五公理。它的含义是非常明确的。任何性质P(n)，如果P(0)为真，而且对任何自然数n，由P(n)为真可推出P(n+1)为真，则对全体自然数的所有n，都有P(n)为真。即由P(n)所表示的【该命题对全体自然数成立】。

要注意，数学归纳法并不是李先生所说的什么【无限递推的方法】，要知道【数学归纳法适用于自然数】是同命题【任何自然数都可由0经有穷次的后继运算而得到】等价的皮亚诺第五公理，正是因为【任何自然数都可由0经有穷次的后继运算而得到】，才可对任何自然数n，由P(0)为真，使用有限次的推理，推出P(n)为真。

八，关于无穷集合的若干推论中出现的错误。

1，李先生说【显然这个自然数集合比与无理数一一对应的那个自然数集合要小得多】。请问李先生你听谁说有个【与无理数一一对应的那个自然数集合】，要知道无理数是不可数的。不存在【与无理数一一对应的那个自然数集合】，这样说是严重错误。

2，李先生说【循环部分对于增加小数的个数并没有贡献】，这是不对的，1位的循环只有10个，2位的循环就有100个，n位的循环就有10^n个。而且循环的位数n並无上界。所以循环部分对于增加小数的个数影响同样也是很大的。

3，对数理逻辑中全称量词的认识错误。

李先生说【数理逻辑不够严格，例如，"任意一个"元素和"全体"元素并不是同一个概念，不能用同一个量词符号"∀"表示。】

这已说过多次，数理逻辑是非常严格的。"任意"和"所有"是不同的词𢑥，"任意"一般指的都是个体，"所有"有时指整体，但有时指的是个体。在"所有"指个体时，指的是所有中的每个个体，同"任意"的含义是相同的。如【女校的任意学生都是女生】和【女校的所有学生都是女生】是一个意思。只是"所有"在指整体时，同"任意"的含义不同。如【甲班所有同学可以排成方阵】。就不能说【甲班任意同学可以排成方阵】。

在数理逻辑中全称量词后面必须有谓词P(x)，是(∀x)P(x)。由于谓词P(x)指的都是个体x的属性，不涉及整体。所以在全称量词的使用中，"任意"和"所有"指的是谓词中个体的属性，"任意"和"所有"两者含义是相同的，是一个意思，不会出错。可以放心使用。只是请你注意后面的谓词都是指的个体属性，不会是整体属性。

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