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Zmn-0951 沈卫国: 实数集合可数的一种证明方法

已有 610 次阅读 2023-3-24 08:57 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0951 沈卫国: 实数集合可数的一种证明方法


【编者按。下面是沈卫国先生的文章。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神,对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意,也有些有严重错误的文章在这里发布,就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】



实数集合可数的一种证明方法




                     沈卫国




内容摘要:在康托对角线法并没有证明实数集合不可数的基础上,给出了一种利用康托对角线法的反其意而用之的证明实数集合可数的方法。并对康托对角线法的反证法本质,进行了彻底的揭示。


关键词:康托对角线法;可数;不可数;实数集合;双向实数表;单向实数表;有起始位置的可数固定表;有起始位置的可数扩展表;反证法



     笔者早先的有关文章中,已经对此问题有表达。这里重复、深化一下。

     康托对角线法,是通过一个实数列表的沿对角线逐位求异以得到不同于实数列表中的所有实数,而且通常就这一次,就声称证明了实数集合不可数(具体这里不重复,读者可参见任何一本集合论相关的书或笔者文章及书)。因为这个列表当然是可数的。但他忽略了,反过来,可数的可不一定只能在此列表中。通常有人会质疑,如果把新产生的那个实数重新加进列表中,岂不是就可数了?一般老师都会说,那样也不行的。你加进去后,仍旧可以使用对角线法,得到更新的实数,.................云云,如此重复地操作,随着这张表可数地无限增大,仍旧有实数在此表之外。一般,学生就无话可说了。尽管也许心里充满不服与疑惑。事实上,正是老师们忽视了,尽管永远可以有表之外的实数存在,但同时,也总可以把这个新产生的实数重新放到这张不断扩展着的可数表中去。由于这个动态的、不断扩展的表本身就是可数的,也就是其元素实数是可数地、一个一个地产生并添加的,因此它仍旧是一张可数表,而不是不可数表。不可数也不可能成为表。于是问题成了,康托对角线法并没有证明实数集合不可数,只是证明或正确地描述了如此的一张固定实数列表不可能包含所有实数而已。而任何固定实数列表,如果不包括全部实数,可并不就是不可数。随便一个实数无穷子集,都是可以组成一张固定表的。怎么能说有不在此表的实数在,实数就不可数了?难道一个“假设此表包含全部实数,也就是实数可数”,得到一个不在表中的实数,实数就不可数了?你那个假设本身,是不是就是错的?也就是说,你说“假设全部实数可以排成一列”,并不是最终由康托对角线法证明了这个假设不对(反证法),而是在证明之前,排出的就根本不是全部实数?证明这个假设在证明步骤之前或同时就是错的,笔者前期文章都有论述,这里不再展开了。这里只是说,只要由对角线上新产生一个实数,我们就把它放到可数可扩展表中去,同样如此反复,这个可数生成的可扩展表,就是一张可数表。其原理与自然数一个一个“生成”但却可数是一个道理。不断生成的自然数可数,这张可数扩展表当然也可数无疑。因为无疑此扩展表中的元素实数,是可以与同样可扩展的自然数一一对应的。问题的关键就是,有没有永远也不会被列入此扩展表中的实数在?其实很好证明,没有。因为如果谁说有一个具体的实数不能被列入此表,那么,谁提议谁举证,你要具体指出来是哪个实数永远不再此表中。而一旦你指出了有这么个实数,第一,我们立刻可以将其放入扩展表中。第二,我们可以同样用与对角线法相同的步骤,在十进制下(其实大于二进制即可),去产生这个实数,然后加入此动态可扩展表。即使在二进制下,我们也可以重新调整原固定表的实数位置,来得到这个指定的新实数,然后入表。二者并无本质区别,但十进制(大于二进制)情况更直接、简单。换言之,没有任何实数不能入动态表,也就是全部实数都可以入动态表,或任何一个实数都有机会入动态表。而这个动态表又是可数生成的,可数可扩展的,这与自然数的可扩展性、可生成性(当然可数。因为可数的定义由此而来!)是完全一致的。因此这就意味着,实数集合是可数的。同时此操作本身也反证了,原先的固定实数表,只能是一张实数的真子集表(尽管用其它方法也可以做出此证明,但这个证明更简单直接)。


     对上面的结论,有人会毫无道理地反驳说,列不出永远不在动态可扩展表的具体实数来,并不意味着没有这样的实数存在。只不过它们不可数,所以列不出来了。这种说法,当然是循环论证:实数不可数还没有证明呢(只有通过康托对角线法才可证明),怎么能用这个康托对角线法的结论为康托对角线法辩护?这不是典型的循环论证,以果为因?此外,更重要的一点是,如果说对角线上每新产生的一个实数就放入动态表中,不能证明动态表就包含所有实数(总还有很多实数在表外),那么,康托对角线法又是如何因为对角线上新产生了固定表外的一个实数,就声称“证明”了实数集合不可数的?同样一个新产生的实数,康托用就可以,可数固定表就可以算数,我们用就不行,可数动态扩展表就不算数了?如果可以被识别的任何一个实数加进可数可扩展表还不能证明全部实数可数的话,那么,康托在对角线上新产生的实数不在原先的固定表中,也同样不能证明实数不可数。因为此新实数在证明中不算数的。也就是,对扩展可数表不算数,对固定可数表也不能算数。对可数固定表可算数,对可数可扩展表也算数(作为判据而言)。因为二者使用的原则是一样的,具体到这个新实数本身都是一样的。因此,所依据的原则当然应该一样。总之,对固定可数表可以成立论据(仅仅指的是论据,不是证明结论。证明结论二者截然相反),对可数可扩展表也一样成立。如果举不出任何一个具体的实数不在可数动态可扩展表中还不能证明实数集合不可数的话,那举出一个具体的实数不在可数的固定表中却就能够证明实数集合不可数了?无道理。我们也可以这么看这个问题(早年笔者论文涉及),设康托对角线法所能产生的实数,都在一张上下两头都无限延伸的固定的实数表中了,这个表是在原先的有起始位置的固定表的上头,再反向加了一个一模一样的、但被倒置的有起始位置的固定表而形成的。于是,此两张有起始位置的固定表构成的无固定起始位置的“合成表”是无上无下的(全无穷表,双向无穷表),不像康托对角线法所依据的是一个有头无尾、有上无下的“半无穷表”、“单向无穷表”、“有起始位置的固定表”。如此,对这种无始无终的实数表而言,还能用对角线法吗?对角线法不是从一个固定位置开始的吗?显然,康托对角线法只能针对这种无始无终的“全表”中的有起始位置的“半表”来进行,也就是从这个全表的中间位置作为起点来进行。于是,它所产生的任何实数,都不在下面的固定表中,但却都在、起码是可以在上面的固定表中。当然,也可以看成上面的表是可数可扩展的动态表。此时随着可数无限次的运用康托对角线法,下面的表头逐渐上移,但本质不变,不在下面表中的,都在上面表中,于是,整体而言,这个全无穷表中,不可能遗漏任何实数,而且康托对角线法的操作只能可数地一次一次地来,而且只能针对有起始位置的“半表”来进行。因此,此无头无尾、无上无下的全表中的实数元素当然是可数的。这个角度(与可数可扩展表其实是一回事,只是描述方式不同罢了),实数当然是可数的。还是那句话,有哪个实数任谁敢说不在此表中,请指出来。下表的对角线上随时可以产生这个实数。它不是已经在固定的上表中了,就是可以放在上面的可数可扩展表中。二者本质一回事。


         综上,很显然,那些“老师”,是只知其一,不知其二了。光知道不断添加新实数,总有实数在固定表外,而不知不断添加新实数,全部实数都可以在可数可扩展表之内了。而对可数的定义而言,只要有一种方法(其实是对应方式、函数关系)可以使得全部实数可以与自然数一一对应,它就是可数的。于是可数可扩展表或无上无下的全固定表实现了此点,实数就已经是可数的了。至于原先那个有起始位置的固定可数表不能实现,它不影响实数集合可数的结论。只能说明或就是一个证明,这个固定表所能列出的,只能是一个实数的真子集。


        我们可以得到一个结论:在多进制下,一个有起始位置的、单向的固定无穷列表,一旦运用康托对角线法(以此为前提),就不能表示出全部实数。但这并不是不可数。只是证明了所列为一个实数的真子集。但这并不妨碍一个无起始位置的、无上无下、无始无终的双向的实数表可以穷尽全部实数(也就是实数可数)。这是因为对此表而言,康托对角线法不能针对全表实施。因为对角线法必须有一个起始位置。而此表没有起始位置。因此,康托对角线法只能对此全表中的中间位置为起始位置来进行。也就是只能针对有起始位置的半表来进行。于是它所产生的、针对半表而言是“新”的任何实数,都可以放到上面的动态可扩展实数表中去,或本来就在上面的静态固定表中。这两种看法本质是一样的。于是显然,如果我们假设了此无头无尾、无上无下的全表包含了全部实数,那它就包含了全部实数,因为任何人所举出的所谓不在此表中的实数,都反而可以由针对有起始位置的半表的康托对角线法来产生,而这个在半表上产生的所谓的“新”的实数,总是可以添加到上面的动态可扩展表中去或本来就在上面的静态固定表中。此二种看法等价。于是,正是康托对角线法,不仅仅是不能证明实数不可数,反而是可以帮助我们证明实数可数。这不能不说是一种幽默。


     最后,分析一下康托对角线法证明实数集合不可数所依赖的反证法的运用上的问题所在。康托对角线法的表述,通常是这样的开始的:“如果(假设)实数集合是可数的,那所有实数就可以排成一列,..............”。这个是没错的。但它忽视了可以怎样地排成一列或排成怎样的一列。因为由于康托对角线法的具体实施方法和步骤的关系,这个“排成的一列”,并不是随随便便的一列了。它要符合这样的要求:1、有起始位置。并不是所有的表、所有的“一列”,都会有起始位置;2、笔者以往一再强调的,只要实施康托对角线法的沿对角线的逐位求异操作,就等于承认(不管你认识不认识到,嘴上承认不承认)这张实数列表(实数的“一列”)中的每一个实数,要与此表中的每一个实数小数的位数一一对应。否则就没有康托对角线法的“沿对角线操作”的可能;3、这个表中的实数是多进制表达下的无穷小数实数,比如十进制、二进制等等。但实数显然还有其它表达方式,比如“根号下2”。这类表达反而可以解决在数轴或平面上的精确定位问题。而单纯的非循环无穷小数,根本就无法在数轴上精确定位;4、特别重要的是,此表中的每个实数的每一位的数值都是可以改变的,也就是并没有固定死的。否则就没有康托对角线法的沿对角线的逐位“求异”。求异的基础,就是每位状态(数值)可变。在有了这些特殊的限制条件后的一张实数表,也就是列出的实数的序列,当然是有限制条件的一张特殊的表。而康托以至于其后的很多人,显然根本就没有意识到这些问题。于是康托对角线法的经典表述中虽然没有说到这是一个什么表或怎样的一列,似乎是一个没有限制条件的任何表,但实际上只要一具体实施康托对角线法的步骤或方法,就等于默认了上述4条前提的存在。于是康托对角线法真正的、完备的表述是应该如此开头的:“如果(假设)实数集合是可数的,那所有实数就可以如此地、也就是在满足上述四条预设前提下地排成特殊的一列,..........”。显然,这个说法与可数的定义直接冲突。可数是只要在无穷种对应规则中有一种方法或对应规则使得实数与自然数一一对应,就是可数。而不是事先预设某个具体的对应规则,也就是只有满足它才是可数,否则即不可数。换言之,在此特殊的对应规则下,如果全部实数可以与自然数一一对应上,固然就是实数可数。但如果全部实数不能在此特殊的对应规则下与自然数一一对应上,却绝对地并不一定是实数不可数。因为还可能存在着其它的对应方式,使得实数与自然数一一对应上。毕竟,这个仅仅适用于康托对角线法的特殊的对应方式,只是无穷多的实数与自然数之间的可能具有的对应方式中的一种而已。也就是说,如果全部实数可以排成一列(实数可数),也不一定可以如此特殊地排成一列(但这却并不是实数不可数!)。而可以排成一列的,却不止全部实数一种情况,实数的任何可数子集合都可以。而在任何情况下、任何对应规则下绝对不能排成一列的,固然是不可数,但暂时没有排成一列的、此次“尚未”排成一列的、某种情况下(前提下、对应规则下)没有排成一列的,却并不是不可数。因为可能还有其它方法(对应方式)使得实数可以与自然数一一对应。因此,说“如果(假设)实数集合是可数的,那所有实数就可以排成一列,.............”并没有错,但不完备、不全面。因为这涉及“怎样地去排成一列”,也就是在什么样的对应规则下、附加条件、前提下的排成一列。比如,在上述4条前提下的排成一列,就不可能包含全部实数。这是这些康托对角线法的固有前提所限定的,而并不是康托对角线法的证明结果。所以得不出实数不可数的结论。也就是说,如果我们采取下面的“全表示意图”表的下半部分,则不能列出全部实数。但如果表述中的“全部实数可以排成一列”指的是该图中的全部上下部分,也就是上下无限延伸的一张实数列表,则前面已经证明了,是可以的。即此表前面已经证明是能包含全部实数的,也就是实数可数。


     总之,康托对角线法的反证法证明实数不可数,不能成立。由于隐含假设的存在,也即是上面4条前提条件的存在,反证法的“假设”就不仅仅是“实数可数”一条了,或说其把针对附图全表的“可以排成一列”(全表的一列),无意中改成了针对附图中的半表的“可以排成一列”(仅下半表中的一列。使得对角线操作可行),因此反证法证实数不可数(全部实数不可能排成附图全表)这个结论不成立。在证明中,可以认为是偷换了概念,无意中引入了上述4条隐含前提。而且恰恰相反,前面也论证了,康托对角线法却在针对全表的证明实数可数的证明中发挥了相应的作用。真是“败也萧何,成也萧何”也。


最后,可能还会有人“抬杠”,说你把那个“全表”,从中间一折叠,里面的实数次序交叉排序,不就又成了“有起始位置的半表”了?如此,康托对角线法不就又可以用了,实数不是又不可数了?我们说,不行。因为前面已经论证了,无始无终的“全表”就意味着对它无法运用康托对角线法(此法只能针对有起始位置的“半表”),如果折叠成有始无终的“半表”,但原先的全表的性质仍需要保留,如果此时这两张表还是等价关系的话。如此,这就要求在此时的这个与原先全表等价的半表上不允许使用康托对角线法。否则二者就不是等价关系了。


康托对角线法没有证明实数集合不可数的论证,可以有多种方法。实数集合的可数性证明,也可以有多种证明方法。这里给出的是其中的一种。至于其它的方法,笔者前期有关著作与文章中都有,读者可以参考。




附图:全表示意图


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【编者注。读者可点击頁面最上面的〖博文〗这个选項,来查找本《专栏》的其它文章。】



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