Zmn-0952 薛问天: 逻辑混乱的推论，′′评沈卫国先生《0951》

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对沈卫国先生《Zmn-0951》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

逻辑混乱的推论，′′评沈卫国先生《0951》

薛问天

一，沈卫国先生认为【康托对角线法并没有证明实数集合不可数】。但他的逻辑相当混乱，並没有具体说明他否定证明有那几项理由。我只好根据他文章的先后的两段论述，把他的错误论述一一列出，逐项批驳。

1，对康托尔证明的错误理解和陈述。

沈先生是这样陈述康托尔的证明的。【康托对角线法，是通过一个实数列表的沿对角线逐位求异以得到不同于实数列表中的所有实数，而且通常就这一次，就声称证明了实数集合不可数】。

从沈先生的这段陈述中，可以看出沈先就没有读懂康托尔的证明。要知道证明用的是反证法。要证明单位区间中的【实数不可数】。

第一步，先假定【实数可数】。

第二步，在此假定下，全体实数形成序列，推出【全体实数在此序列中】，及【存在新数是实数，不在此序列中】，产生矛盾。

第三步，由此矛盾推翻【实数可数】的假定，从而证明了【实数不可数】。

当然只要证明一个新数不在序列中，就可推出矛盾，使定理得证。

沈先生说【反过来，可数的可不一定只能在此列表中。】错！如果全体实数集合可数，则所有实数就必须属于由全体实数形成的可数序列。要知道这个列表是由全体实数形成的列表。

另外，康托尔并不是利用【重复地操作，随着这张表可数地无限增大，仍旧有实数在此表之外。】来证明实数集合不可数的。这是沈先生的理解错误，证明存在新数，只要证明一次，就可推出矛盾，所以沈先生提出的多次列表的评论，完全是节外生技多此一举，完全沒有必要。

沈先生说【怎么能说有不在此表的实数在，实数就不可数了？难道一个“假设此表包含全部实数，也就是实数可数”，得到一个不在表中的实数，实数就不可数了？】

当然如此。这就是反证法。假设【实数可数】，全体实数就形成无穷可数序列。【此序列就包含全部实数】，但推出【存在一个不在序列中的实数】，就推出了矛盾，推翻了【实数可数】的假定。从而证明了【实数不可数】。这就是反证法。沈先生你难道不承认反证法的证明吗？

沈先生说【你那个假设本身，是不是就是错的？也就是说，你说“假设全部实数可以排成一列”，并不是最终由康托对角线法证明了这个假设不对（反证法），而是在证明之前，排出的就根本不是全部实数？证明这个假设在证明步骤之前或同时就是错的，】

这是沈先生的强词夺理。反证法的假定【实数可数】，当然不知【这个假设在证明步骤之前或同时就是错的，】如果你己知道【实数可数】是错的，哪还需要定理去证明【实数不可数】吗？

要知道【全部实数可以排成一列】是在假定【实数可数】的假定下推出的，是在【实数可数】的假定下推出的矛盾。它的错误是康托尔定理证明了【实数可数】是错的，才最后得到了证实。

2，沈先生认为【所依赖的反证法的运用上】存在问题。他说【“如果（假设）实数集合是可数的，那所有实数就可以排成一列，.......”。这个是没错的。但它忽视了可以怎样地排成一列或排成怎样的一列。】

他说【可数是只要在无穷种对应规则中有一种方法或对应规则使得实数与自然数一一对应，就是可数。而不是事先预设某个具体的对应规则，】，他认为康托尔的【这个“排成的一列”，并不是随随便便的一列了。】而是列表作了4项特别的限制。

我们来分析他说的这四项要求。其实这并不是什么特别的限制。这就是序列的基本要求。

他说1、【有起始位置。并不是所有的表、所有的“一列”，都会有起始位置；】这简直是奇谈怪论，可数就是同自然数一一对应，同自然数1对应(如果自然数包含0，则是同0对应)的项，就是【起始位置】，怎么会有形成的序列没有起始位置。所有的可数序列都有起始位置。

他说2，【这张实数列表（实数的“一列”）中的每一个实数，要与此表中的每一个实数小数的位数一一对应】。这也是当然的事。实数同自然数一一对应，这是实数可数假定。无穷小数的位数同自然数一一对应，这是无穷小数的定义，实数集和位数集都同自然数一一对应，根据一一对应关系的传递性，当然它们也是一一对应的。

他说3，【这个表中的实数是多进制表达下的无穷小数实数，比如十进制、二进制等等。但实数显然还有其它表达方式，】是的，任何实数都可用无穷小数来表示，这并没有对实数作任何限制。说【单纯的非循环无穷小数，根本就无法在数轴上精确定位】是不对的，要多么精确就可达到多么精确。

他说4，【此表中的每个实数的每一位的数值都是可以改变的，也就是并没有固定死的。】错了。一旦此表列出，每个实数的位置就都已确定，实数的各位数值就不能改变。如果改变就成另外的列表了。沈先生所说的【否则就没有康托对角线法的沿对角线的逐位“求异”。求异的基础，就是每位状态（数值）可变。】说错了，【逐位求异】是构造新实数的方法，并不是在改变原有的实数序列。在求新数的过程中原有的序列未作任何改变，絲毫未动。沈先生理解错了。

也就是说在康托尔的证明中，由【全体实数可数】的假定，所列出的实数的序列，是任何一种可能的序列，并没有作任何的特殊限制。并不是沈先生所说的【有限制条件的一张特殊的表】。李先生的质疑完全是一种多余的顾虑。

也就是说沈先生认为有【隐含假设的存在，也即是上面4条前提条件的存在，反证法的“假设”就不仅仅是“实数可数”一条了，】这种论断完全是错误的。在此反证法的证明中，没有任何【隐含假设】的存在。

在【实数可数】假定下，不加任何限制，无论全体实数怎样地排成一个无穷序列，都可构成一个新数是实数不在此序列中，得出矛盾。推翻【实数可数】的假定，使定理得证。

至于沈先生画图列出的什么【半表】和【全表】，同康托尔的证明毫无关系，他所述的多次求新数的证明，纯属他对康托尔证明的误解。同康托尔的证明毫不相干。

二，沈先生文中说他提供了一种【实数集合可数的一种证明方法】。他的证明是这样的。他说【由对角线上新产生一个实数，我们就把它放到可数可扩展表中去，同样如此反复，这个可数生成的可扩展表，就是一张可数表。】

【没有任何实数不能入动态表，也就是全部实数都可以入动态表，或任何一个实数都有机会入动态表。而这个动态表又是可数生成的，可数可扩展的，这与自然数的可扩展性、可生成性（当然可数。因为可数的定义由此而来！）是完全一致的。因此这就意味着，实数集合是可数的。】

这是什么证明方法，大家看这就是沈先生对【实数可数】的证明。这哪里是在数学证明，这简直是在胡言乱语。沈先生在旁边放一张可数列表，另一边放上所有实数的集合。然后沈先生说，可以一个一个地把实数集中的实数放到可数列表中。而且全部实数都可以放入列表中。既然全部实数都可放入列表中，不是就证明了【全体实数集合可数】了吗？

沈先生，你这样的推理有何根据，你怎么知道通过可数无穷次的添加，就可以把全体实数放入列表之中。要知道通过可数无穷次的添加，可以把全体自然数放入列表之中。这是因为自然数集合的基数是可数无穷。也就是说只有已知实数的基数是可数无穷时，才能通过可数无穷次的添加，把全体实数放入列表之中。你不能在证明【实数可数】时就假定已知【实数可数】，因为这样做是循环证明。所以说沈先生的【实数可数】的证明根本是在胡言乱语，根本不值一驳。

有趣的是沈先生的叙述不像是在讨论问题，讲道理，而是在讨价还价。他说【如果说对角线上每新产生的一个实数就放入动态表中，不能证明动态表就包含所有实数（总还有很多实数在表外），那么，康托对角线法又是如何因为对角线上新产生了固定表外的一个实数，就声称“证明”了实数集合不可数的？同样一个新产生的实数，康托用就可以，可数固定表就可以算数，我们用就不行，可数动态扩展表就不算数了？】

要知道，新産生一个序列外的实数证明实数不可数是因为产生了矛盾，推翻了可数的假定。而每新产生的一个实数就放入动态表中，不能证明实数可数，是因为你保证不了在可数无穷多次的放入能放完全体实数。

要知道这完全是不同的事，怎么能拿来作交易，要算数都算教，要不算数都不算数。

沈先生说什么【如果我们假设了此无头无尾、无上无下的全表包含了全部实数，那它就包含了全部实数，】这是错误的，就是所谓的【无上无下的全表】也不可能包含全部实数，因为你不知道实数是否可数，你怎么保证经可数无穷次地添加新数形成的【全表】，就包含了全部的实数。

沈先生。你根据什么说【不断添加新实数，全部实数都可以在可数可扩展表之内了。】没有任何理由就得出结论，这是什么逻辑推论。这就是混乱推论′。

【编者注。读者可点击頁面最上面的〖博文〗这个选項，来查找本《专栏》的其它文章。】