Zmn-0024双木林: 评侯小山《实数集可数定理》一文

【编者按：双木林先生是我国高校数学专业的资深教授。他最近热情积极地关注本《数学啄木鸟》专栏，并针对zmn-021侯小山先生的文章撰写了一篇相当严谨的评论文章，现将该文发布如下。请大家关注并积极参与评论。】

评侯小山《实数集可数定理》一文

 双木林2019-4-17   

     一   作者侯小山意欲推翻康托尔“实数不可数”的著名定理，可惜论证中出现了原则性错误。

    1   侯先生引入了“无穷小小数”“0.00…001”（有无穷多个零）的概念。这一数学名词不伦不类，而其表达式更是诡谲莫测。既然小数点后的0是无穷多位，怎么后边又跟了个1？需知任何无穷小数都是没有最后一位的。这一表达式既不是通常意义下的“变量无穷小”，也不是通常的“小数”。所谓的“无穷小小数”在我们研讨的实数范筹内是不存在的。         

    2   侯文称“康托尔证明中把0.5写成0.4999…，漏掉一个“无穷小小数”，这是错误的论断。注意：无穷小数0.4999…可视为收敛无穷级数0.4+0.09+0.009+0.0009+…的和--即 0.5。所以把0.5写成0.4999…，二者的值绝对相等，没有漏掉任何（非零）实数。

    3   侯先生给出所谓“无穷小小数”来源的论证，可惜论述的方法和结果都是错误的。

      他在文中举例如下：

       0.5=0.51-0.01

             =0.501-0.001

             ………

             =0.50…01-0.00…01

       以上无穷表达式中任意有限个无疑都是正确的，问题出在最后一个，它是作者“形式”推演的结果，而非严格数学推理的结果。其实这里研讨的是无穷多个数值变化的趋向，即求出其极限值的问题。 根据极限运算法则--“二变量差的极限等于二变量极限的差”。假定以上变量的通项为 0.50……01-0.0……01（其中……表示n个0)，所以当n趋于∞时，lim (0.50……01 -0.00……01）= lim(0.50……01）-lim（0.00……01）=0.5-0。而按照候氏“形式”推理就出现了两个事事而非，模棱两可，不可理解的数0.50…01和0.00…01 （这里…代表无穷多个0），后者即是侯先生所谓的“无穷小小数0.00…01”。问题的实质是“极限”运作，这是不可回避的。而候先生正是无视这一实质问题，错误地运用毫无科学依据的“形式推断”思维方法，这就是“无穷小小数”论据错误的原因所在。

     二   侯先生在文中给出“区间 （0，1）内“实数集是可数的”这一命题的两个证明（等差数列法和基数减少法）都是犯了逻辑性的低级错误，即假设实数集可数，然后再证明实数

集是可数的。

     三   侯先生试图推翻康托尔“实数不可数”命题的论证中，以有穷小数和无穷小数相互改写展开其论述。请侯先生查阅王戍堂教授等人编写的《实变函数论》一书中有关该定理的证明（见照片）。其最大的特点是：将区间【0  1】内的有穷小数排除在外（因为它们都是有理数，显然可数），仅就其中无穷小数集合进行论证，根本就和“有穷小数和无穷小数相互改写”毫不相干。试问侯先生能找出这一证明的错误之处吗？

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