Zmn-0025薛问天: 评师教民先生的回答
【编者按：薛问天先生回复了师教民先生在Zmn-0023发表的两篇文章，现将薛文发布如下。请大家关注并积极参与评论。】

评师教民先生的回答
薛问天

xuewentian2006@sina.cn

师教民先生在zmn-023中发表了“答《解开「微分迷团」…》”一文和文章 “论极限理论中微分等于增量的科学错误”。现答复如下。

（一），

先回答《答...》一文中的三个论点。
①，先要搞清楚，我说的「微分迷团」，并不是师先生所说的「微分之谜」。「微分之谜」说的是第一代微积分求导过程有无Δx=0同Δx≠0的矛盾的问题。这个问题己经有公识的答案。那就是原始的第一代微积分中存在有Δx=0同Δx≠0的矛盾。在没有引入极限的微积分理论中有矛盾、有悖论，不能自圆其说。

我所说的「微分迷团」说的是在第二代微积分的微分概念中有无dx=Δx同dx≠Δx的矛盾。这个迷团是由对微分概念的误读产生的。有人没有能区分「函数的微分」和「自变量的微分」这两个不同的概念，把不同的微分变量误认为是一个相同的变量了，误认为在第二代微积分理论中存在矛盾，形成了「微分迷团」。

「微分迷团」有一定的迷惑性，迷惑了不少学者，也包括师教授在内。所以不是我提出「微分迷团」有什么错误，而是有些学者被迷团迷惑得执迷不悟，坚持认为在第二代微积分理论中存在矛盾，才是严重的错误。

②，师教民先生认为现代的微积分有矛盾，我把它说成是师先生对第二代微积分的质疑和疑惑，师先生不同意这种提法，认为他没有「疑惑」，而是「肯定」地认为二代微积分有错。不过我还是觉得留有余地谦逊点好，这样在将来认识到错误时，更正起来比较容易些。现在说得太绝对了，将来的更正就会困难很多。

有人把复合函数中y=f(x)的「自变量的微分」dx=Δx，同x=g(t)的「函数g的微分」dx≠Δx说成是矛盾。这其实并不矛盾，因为这是两个不同的微分变量。不同的微分变量一个等于Δx，一个不等于Δx，矛盾何在？所以这种认为有矛盾的看法是错误的。

关于反函数的情形，说有函数y=f(x)，x=g(y)，f和g互为反函数，这实际上是一种特殊的复合函数。即g是f的反函数(g=f^(-1))，及变量t是y的复合函数。

师先生在这里犯有同样的错误，把 y=f(x)的「自变量的微分」dx=Δx，同x=g(y)的「函数g的微分」dx≠Δx说成是矛盾。我本以为这样的解释己经完满地解答了师先生的问题。没想到师先生仍然坚持这两个dx是一个变量。我们将在后面专门针对这点再仔细评论。

③，师先生在”答...”文中说【我认为，定义虽然不需要证明，但是必须合理。】我认为师先生现在这句话说得很对。要知道师先生在过去的文章中总是对【没有证明的规定】耿耿于怀的。还说过这样的话:【如果仅凭人为的规定，就能产生正确的结果的话，那么世界数学大难题哥德巴赫猜想就不需陈景润等去舍命证明了 ，规定它正确就是了。】现在师先生终于认识到了【定义不需要证明。】

定义不需要证明的意思就是说理论提出者不需要对定义的合理性、正确性作出证明。那怎么才能保证【必须合理】呢？这就要看理论的攻击者的情况了。如果有人从反面证明了理论存在矛盾，那就断定该理论是【不合理】的。如果没有人能指证理论中存在矛盾，那就公认该理论是【合理】的。也就是说，保证理论的合理性依靠的不是证明或其它的解释，而是看是否能驳回各种认为理论有矛盾的观点。

师先生在文中解释说:【增量Δx可为任意大、充分大、足够大，而微分dx是分的微小之意，...因此把微分重新定义为增量一定会引起矛盾......。】要知道在数学上用一个概念的名称的字面含义来解释一个数学概念是最忌讳的作法。就如同不能用「自自然然的数」来解释「自然数」，不能用「实实在在的数」来解释「实数」一样，不能用「增的任意大」来解释「增量」，用「分的微小」来解释「微分」。要把握一个数学概念的精确含义必须根据这个概念的数学定义。这己经是学数学的最起码的常识。「增量」和「微分」的含义要根据它的数学定义来把握。因而师先生在这种错误的字面解释下所做的判断是一点意义都没有的。

（二），

师先生说，对微分概念中的矛盾，他在文章“论极限理论中微分等于增量的科学错误”中【做出详细的证明】。下面我们就来详细地分析和评论这篇文章。

师文一开始就在引述名家关于微分的定义，但是他并未引述关于微分的完整的定义，而是只引述了「自变量的微分」的定义。

微分的确切定义是这样的：
【定义(微分)】。对于函数y=f(x)，如果变量增量Δy=AΔx+o(Δx)，则把AΔx，称为【函数f在x0点的微分】，记作dy=AΔx。把Δx称为【自变量的微分】，记作dx=Δx。

从这个完整的微分定义可以看出，这里分别定义了两种微分变量，一种叫作 【函数f在x0点的微分】，一种叫作【自变量的微分】。有些人及师教民先生的错误就在于没有把它们区别开来，误以为只有一种微分变量，从而产生了dx=Δx同dx≠Δx的矛盾。下面我们来具体分析。

设有可导的函数y=f(x)，x=g(t)，y=f(g(t)=h(t)。我们知道:
dy=Adx，A=f’(x)=dy/dx......①
dx=Bdt，B=g’(t)=dx/dt......②
dy=Cdt，C=h’(t)=dy/dt......③

我们曾反复强调、根据微分的定义，①中的dx同②中的dx是不同的微分变量，①中的dy同②中dy也是不同的微分变量。

类似地，对于反函数的情况，也有同样的问题。

设有可导的函数y=f(x)，x=g(y)，f和g互为反函数，即y=f(g(y))。我们知道:
dy=Adx，A=f’(x)=dy/dx......①
dx=Bdy，B=g’(y)=dx/dy......②

我们曾强调，根据微分的定义，①中的dx同②中的dx是不同的微分变量，①中的dy也不同于②中的dy。

显然①中的dx=Δx，而②中的dx≠Δx。②中的dy=Δy，而①中的dy≠Δy。如果 ①中的dx同②中的dx是相同的一个微分变量，就出现了dx=Δx同dx≠Δx的矛盾。如果①中的dy同②中的dy相同，就出现dy=Δy同dy≠Δy的矛盾。

师先生也知道，如果①同②中的dx、dy分别是不同的微分变量，那么这里就一点矛盾都没有。于是为了证明矛盾的存在，师先生就绞尽脑汁想要证明①同②中的dx是一个变量，dy也是一个变量。

我们来看师先生的「证明」，分析错误出在哪里。为了叙述方便，我们把①同②中的dx、dy分别记作为dx①，dx②，dy①和dy②。

由于f和g互为反函数，导数互为倒数: f‘(x)=1/g’(x)。所以有

(dy①/dx①)=1/(dx②/dy②)......(A)
再根据倒数的性质有

(dy①/dx①)=1/(dx①/dy①)......(B)
师先生由(A)和(B)就直接得出结论:

dx①=dx②,dy①=dy②......(C)
从(A)(B)能得出结论(C)来吗？显然不能。由(A)(B)证明不了(C)，而只能证明:

(dx②/dy②)=(dx①/dy①)......(D)
（C）同（D）是两个截然不同的命题。师先生并没有证明(C)的成立。这就是师教民先生「证明」错误之所在。犯了理由不充分的错误。所以说师先生所列的「理由(1)」不成立。

式(D)稍作变形即成:

dy①dx②=dx①dy②

由于dx①、dy②是自变量微分，分别等于Δx和Δy。上式变为:

dy①dx②=dx①dy②=ΔxΔy。

这就是师文开始分析的等式。在分清dy①同dy②是不同的变量，dx②同dx①也是不同的变量后，这里就一点矛盾都没有了。它们本来按定义就是不同的变量。自变量的微分等于增量的全部，而函数的微分只是增量的线性主部，怎么能相同。硬要去证明它们相同，只能是枉费心机，根本不可能。

至于「理由(2)」，错误则更为荒谬。竟然证明了dy=dx=0。追索其推导过程，错误出在这一论断: 【由(dy/dx)=lim_{〔Δx→0〕}(Δy/Δx) 知分数dy/dx的分母dx就是增量Δx→0时的极限 。......分数dy/dx的分子dy就是增量Δy在Δx→0时的极限。】

这显然是一句没有任何根据的错误论断。要知道，在数学推理中，为了保证推理的正确性，要求每一步的推理都要有根据。要么根据定义，要么根据公理或已有的定理。而师先生的这个论断没有任何根据，完全是凭他主观的臆想。况且是一个错误的论断。大家可以想一想，如果Δx→0时(Δy/Δx)→2/3，难道你就断定Δy的极限是2，Δx的极限是3吗？这种明显的的错误简直不值一驳！所以说，由此错误论断所推导的结论dy=dx=0，以及对极限理论的所有指责全部都不能成立。

「理由(3)」所犯的错误也是一条低级错误。即关于除式求极限的法则。

我们知道在极限理论中，有如下严格证明的定理：「两个有极限的变量相加的极限等于各变量极限的和。」「两个有极限的变量乘积的极限等于各变量极限的乘积。」

但是关于除法有无同样的定理呢？有无这样的定理:「两个有极限的变量相除的极限等于两个变量极限相除」？

答案是否定的，没有这样的定理。而只有这样的带有条件的定理：「定理A:两个有极限的变量相除，如果分母的极限不等于0，则相除的极限等于变量极限相除 。」「定理B:  两个有极限的变量相除，如果分母的极限等于0，分子的极限不等于0，则相除的极限等于无穷大 。」这些定理中要求满足的条件非常重要。

文中所依据的两个例子之所以成立，正是由于它们满足定理A或定理B的条件。而师教民先生在「证明」中，之所以得出了错误的结论，刚好是违背了定理的这个条件，在条件不成立的情况下使用了这个定理。在分母Δy和分子Δx的极限都等于0的条件下，竟然这样写：

（dy/dx)=lim(Δy/Δx)=(limΔy)/(limΔx)……

这是严重错误，绝不允许这样推论。在这种错误推论下推导出的错误结论，如导数等于0/0，微分dy和dx等于0，以及对微分定义的指责等全部都只能是错误的。

综上所述，师教民先生所提的三个「理由」统统不能成立，他没能证明笫二代微积分存在矛盾和错误。现代的极限理论没有所谓的悖论和危机。

返回到：

zmn-000文清慧：发扬啄木鸟精神-《数学啄木鸟专栏》开场白及目录