前言[1]

      为什么要研究一维映射或一维迭代这看起来似乎很简单的系统? 主要原因可能有如下几点：首先，很多系统本身就是用一维映射或迭代表示的，如求一元代数方程之根的牛顿迭代法和描述物种演变的Logistic模型；其次，高维动力系统中的复杂性往往可以用一维映射的动力学来表示和研究，例如，对一些特别参数，Lorenz方程存在同宿轨道，相应的Poincaré映射在一个方向拉伸，而在另一个方向压缩，其奇异吸引子可用一个具有间断点的一维映射来描述，又如，可利用一维二次映射的结果证明平面Hénon映射存在奇异吸引子；最后，一维映射本身具有极其丰富的动力学现象，如区间映射周期点的存在(Li-Yorke和Sarkovskii定理)，以及整重化和自相似过程的高度规律性，这些问题的本身引起了人们的很大兴趣，形成了一维映射研究中的四个理论，即拓扑理论、组合理论、光滑理论和遍历理论，对动力系统的发展起了很好的推动作用。总之，一维映射混沌动力学既是研究高维动力系统很好的切入点，同时也是高维动力系统的重要理论基础。

本书是一维混沌动力学的入门教材。书中主要结合二次映射和圆周映射，介绍了符号动力学和Cantor不变集，讨论了混沌的两个定义；给出了Li-Yorke定理和Sarkovskii定理的证明过程；通过非负方阵和有向图，描述了有限子移位的性质；介绍了拓扑动力系统中的基本概念，如不变集、稳定集、回归点、非游荡点、极小性和拓扑传递性等等；分析了拓扑熵的两个等价定义和基本性质，给出了拓扑熵的若干计算方法；描述了符号动力学中的揉搓理论，刻画了Feigenbaum吸引子和重整化过程；讨论了圆周保向同胚的基本性质，分析了旋转数和Denjoy反例，并介绍了Arnold舌和魔鬼阶梯等概念。

在上世纪九十年代初，作者在舒仲周教授指导下撰写关于映射在碰撞振动中应用的博士论文，其时对一维三次映射的混沌动力学发生了很大的兴趣，并对此映射的周期点、Cantor集和普适性进行了一些初步的讨论。为了进一步研究一维混沌动力学，作者选择了Devaney的"An Introduction to Chaotic Dynamical Systems"作为入门教材，并解答了有关一维映射的大部分习题。 2000年作者在美国佛罗里达大学数学系访问期间，与该系的Keesling和Block等教授多次讨论了一维映射中的重整化过程。回国后，作者开设了研究生课程“混沌动力学引论”，本书就是根据该课程的讲义经修改和整理而成。

1994年我校的几位老师和作者共同组织了一个非线性动力学讨论班，并开展了混沌动力学的专题讨论。在讨论班上，作者与缪益华老师、研究生郭勇和李登辉以及多位讨论班其他成员，对一维映射中的Cantor集、Denjoy反例和揉搓理论等内容进行了多次讨论，这些交流和讨论丰富了本书的内容。科学出版社成都有限责任公司的郝玉龙先生和我校乐源博士一直关心着本书的出版工作，并为此付出了大量的时间和精力。本书撰写和出版工作得到了国家自然科学基金(11172246)和高等学校科研专项基金的资助。在此一并表示诚挚的谢意。

本书可以作为非线性动力学或动力系统方向研究生的教材，也可供从事分岔和混沌动力学研究和教学工作的教师和科学工作者参考。

由于时间仓促，加之本人水平有限，书中难免存在不足之处，敬请读者批评指正。

                                                                                                                  谢建华

                                                                                                                 2012年8月

                                                                                                              于西南交通大学

[1] 谢建华.一维混沌动力学引论.科学出版社,2013.1