![](http://pic.yupoo.com/jdvip/46815620bde4/small.jpg)
《三思科学》杂志的《克莱因瓶》是解读相对易懂的一篇文章,而Wikipedia英文版的《Klein_bottle》则是解读相对全面,但又不至于科研到看不懂的百科式解读(当然里面的所有公式都被我的大脑当作空白填充图形处理了)。
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5c/Klein_bottle.svg/240px-Klein_bottle.svg.png)
为了理解这个”四维“的模型,有一段著名的视频是经典的学习资料。原站下载过于庞大缓慢,Youtube也够慢的,不过现在终于有孩子上传了土豆版本。
![](http://4.bp.blogspot.com/_bv9DHmWkv-0/SMdtregRvyI/AAAAAAAAAsc/QcYJzr9zC3s/s400-R/Picture+2.png)
Dimensons1——二维空间
Dimensons2——三维空间
Dimensions3-四维空间(上)
Dimensions4-四维空间(下)
讲解维度的就这四部,还有四集讲述复数和分型的,有兴趣的可以看全集豆单。
在有了以上视觉的基本概念以后,随便说说写的两组关于《想象四维1》《想象思维2》的文字描述才会容易理解地多。
与之相关的是一部《兔子洞里到底有多深》的(科普)电影。可以直奔影片最后讲述三维空间的生物看到二维空间生物的情形(第五分段第17分钟开始),整部片子也非常值得一看。
![](http://3.bp.blogspot.com/_bv9DHmWkv-0/SMdtJt4bQUI/AAAAAAAAAsU/MPUyUCIMQfU/s400-R/Picture+1.png)
最后,有几个实例我觉得最能让人理解。
一个是在平面上打结的图形,投射了三维空间的物体在二维上的影子;
一个是《Dimensons》里面的数个三维物体在二维上的投影。
如果可以理解上面两个示例,那么PeiZhang的这个总结或许是最好的文字描述之一:“比 如说一个球穿过一个二维平面,二维小人会发现平面上凭空 冒出一个慢慢变大的点,后来眼看着扩张成圆,又慢慢缩小成点,最后突然消失。如果这个令二维小人惊讶不已的事实让你并不觉得奇怪,那么以下的情形你定会吃 惊不小;在你面前无中生有地出现一个点,扩成球又缩回点,再突然消失。多么神奇!其实这只不过是四维球穿越三维世界的情形。”(原文链接已经失效)
神奇的世界,我们却了解得如此之少。
虽 然我们限于人类的三维感官,我们就像二维世界中的小人一样,可以从一个三维物体穿越二维世界时发生的侧面(投影),并且凭借自己的理解(逻辑、数学)推演 出四维或者更高维度的存在,但是却无法拼凑出更加直观的想象——因为缺乏感官上的认知,就像二维的小人虽然可以看到那个投影出来的线,并且从明暗灰度和速 度等数据上了解到这个线是一个二维的圆形,但是却永远无法想象出三维上任何可以“看到”的情形一样。
这(第四维的)门或许就在我们眼前,只是我们却看不到,也无法想象,也无法打开。
但是或许,我们可以有幸,看到一个四维的物体,在我们的三维世界中穿越,并且看到它留下的影子。
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/KleinBottle-Figure8-01.png/180px-KleinBottle-Figure8-01.png)
我 们生活在一个三维的世界,这是足够幸运的事情。或者可以说,因为我们的物理形态只能存在与这样一个三维的时空中(至少我们眼下还无法理解存在于二维的生 物,也无法理解存在于高维的生物,就算他们存在),而我们可以感知一维、二维和三维,感知第四维的存在(例如时间,当然有可能只是大脑的意外功能,导致我 们暂时只能读不能写-用计算机的术语来说),却无法有更多的感官更直接认知到更高维度的形态。
这门就在我们的眼前,我们却看不到,摸不到。
这世界是如此广阔,但是我们,却不能再前进一步。
这就是我们:卑微也是幸运的人类。