一篇论文看完了，如果都看懂了的话，很多人觉得案例都是小菜一碟，但是在我写这个案例的时候我发觉论文看懂了，更需要案例或者说实现来进一步深入或者夯实，因为只有通过具体的实现步骤，才能发现有些在论文中的一些细节问题，反过来更可以促进对论文的理解。

整数上全同态加密方案有两篇非常经典的论文，一篇是《Fully Homomorphic Encryption over the Integers》以下简称DGHV方案，还有一篇是Gentry写的《Computing Arbitrary Functions of Encrypted Data》简称 CAFED论文。入门者适合先阅读CAFED论文，这并不是说这篇论文简单，只是因为这篇文章的写法很通俗（严格意义上这篇文章并不是一篇真正的论文，是给杂志写的文章，有点科普性质），有一个很好的比喻的例子“Glovebox”贯穿于整个论文中，Gentry的文笔很好写的也很生动，对有些地方进行了背景解释，而这些解释恰好是DGHV论文中没有说的，当然一开始要想把CAFED论文彻底读懂也不是那么容易的。这个时候可以开始阅读DGHV这篇论文。这篇论文对于我来说是百读不厌，因为有些地方就算读了一百篇也不见得可以理解，而且这篇文章很适合深挖，有些很有趣的地方，例如噪声参数的设置等等。还有一篇论文就是全同态的经典论文《Fully homomorphic encryption using ideal lattices》，如果对格不熟悉的话，可以读这篇文章的前面三分之一，因为有详细的全同态的定义、层级全同态、允许电路、增强解密电路、bootstrable、重加密原理，以及如何通过递归实现全同态的，尤其是递归实现全同态的过程，在论文中还是值得反复理解的。剩下的当然还有Gentry的博士论文，也可以分阶段阅读。

这篇文章就算是我的一个阅读笔记吧，我打算写两个部分，一个是实现过程，另一个是方案的参数分析。

一、       方案实现过程

1、  全同态加密方案

至于什么是全同态等等形式化定义我就不说了，请参阅论文。

全同态加密用一句话来说就是：可以对加密数据做任意功能的运算，运算的结果解密后是相应于对明文做同样运算的结果。有点穿越的意思，从密文空间穿越到明文空间，但是穿越的时候是要被蒙上眼睛的。另外上面的那句话是不能说反的，例如：运算的结果加密后是相应于对明文做同样运算结果的加密，这样说是不对的，因为加密不是确定性的，每次加密由于引入了随机数，每次加密的结果都是不一样的，同一条明文对应的是好几条密文。而解密是确定的。

全同态具有这么好的性质，什么样的加密方案可以符合要求呢？往下看：

Enc(m):   m+2r+pq

Dec(c):   (c mod p) mod 2=（c – p*「c/p」）mod 2 = Lsb(c) XOR Lsb(「c/p」)

上面这个加密方案显然是正确的，模p运算把pq消去，模2运算把2r消去，最后剩下明文m 。这个公式看上去很简单，但是却很耐看，需要多看看。

公式中的p是一个正的奇数，q是一个大的正整数（没有要求是奇数，它比p要大的多），p 和q在密钥生成阶段确定，p看成是密钥。而r是加密时随机选择的一个小的整数（可以为负数）。明文m∈ {0,1}，是对“位”进行加密的，所得密文是整数。

上面方案的明文空间是{0,1}，密文空间是整数集。

全同态加密方案中除了加密、解密还有一个非常重要的算法就是：Evaluate，它的作用就是对于给定的功能函数f以及密文c1,c2,…,ct等做运算f (c1,c2,…,ct)。在这里就是对密文做相应的整数加、减、乘运算。

以上方案可以看成是对称加密方案。下面来考虑公钥加密方案。其实把pq看成公钥就OK。由于q是公开的，所以如果把pq看成公钥，私钥p立刻就被知道了（p=pq/q）。怎么办呢？看上面加密算法中，当对明文0进行加密时，密文为2r+pq, 所以我们可以做一个集合{xi；xi=2ri+pqi}，公钥pk就是这个集合{xi}，加密时随机的从{xi}中选取一个子集S，按如下公式进行加密：

Enc(m):   m+2r+sum(S); 其中sum(S)表示对S中的xi进行求和。

由于sum(S)是一些0的加密密文之和，所以对解密并不影响，整个解密过程不变。

这个方案是安全的，就是我们所说的DGHV方案。其安全性依赖于一个困难问题“近似GCD问题”。就是给你一些xi，你求不出p来（由于整数上全同态研究热了，近似GCD也成了研究的一个点）。

为了说明方便，我们还是采取pq为公钥的方案（尽管不安全，但是不影响说明过程）。所以加密和解密还是按照一开始的公式，现在pq为公钥，p还是私钥，q是公开参数。再重复一遍我们的加密解密算法：

Enc(m):   m+2r+pq

Dec(c):   (c mod p) mod 2=（c – p*「c/p」）mod 2 = Lsb(c) XOR Lsb(「c/p」)

另外在这里约定：一个实数模p为：a mod p = a -「a/p」*p, 「a」表示最近整数, 即有唯一整数在（a-1/2, a+1/2]中。所以a mod p的范围也就变成了（-p/2，p/2 ]（这个牢记）。这个和我们平时说的模p范围是不一样的，平时模p范围是[0, p-1]，那是因为模公式中取得是向下取整：a mod p = a –floor（a/p）*p。

Lsb是最低有效位，因为是模2运算，所以结果就是这个二进制数的最低位。

2、  可怕的噪音

由于公钥pq是公开的，所以知道密文c后可以减去公钥得到：

c-pq= m+2r

由于存在r的干扰，所以无法识别明文m。我们就把m+2r称为噪音。另外在解密时只有当c mod p=m+2r <p/2时, 再对它进行模2运算才能正确解密：

（m+2r）mod 2= m。

如果噪音大于p/2时，c mod p就不再等于m+2r，解密就可能无法正确恢复出明文。所以噪音是影响解密的关键。而噪音会在密文计算中增长，下面来看看增长的势头：

假设c1= m1+2r1+pq1; c2= m2+2r2+pq2; 其中c1是对密文m1的加密，c2是对密文m2的加密。

密文加和乘运算：

c1+c2=(m1+m2)+2(r1+r2)+p(q1+q2)

c1*c2=( m1+2r1)(m2+2r2)+p(pq1q2+m1q2+m2q1+2r1q2+2r2q1)

(c1+c2) mod p= (m1+m2)+2(r1+r2)

c1*c2 mod p=( m1+2r1)(m2+2r2)

由上可见：密文之和的噪音是各自密文的噪音之和；而密文乘积的噪音是噪音之积。因此噪音的主要来源还是乘法运算，在乘法运算中噪音被放大的很快。

例如：设p=11, q=5, m1=0, m2=1，然后分别随机选取r1=1和r2= - 4, 有：

c1=Enc(m1)=m1+2r1+pq=0+2*(-1)+11*5=53;  c1 mod p= -2, Dec(c1)=0.

c2=Enc(m2)=m2+2r2+pq=1+2*1+11*5=58;  c2 mod p= 3, Dec(1)=1.

因为c1 mod p 和c2 mod p 都是在（-p/2，p/2）范围内，所以解密正确。c1和c2称之为新鲜密文,就是直接由明文生成的密文，在新鲜密文中噪音是在一定合理的范围内的。

我们再来看看c1*c2:

c*=c1*c2=53*58=3074; c* mod p=5, Dec(c*)=1≠m1*m2=0, 解密错误，错误的原因是噪音c* mod p= -6 不在（-p/2，p/2）范围内。

看来对密文运算会造成噪音的增大，当噪音超出范围，解密就失败，这意味着对密文运算不可能是无限次的（也就是Evaluate运算功能函数的电路深度是有限的，这在后面我们说到电路时会看到）。到这里我们只得到了一个运算时噪音范围不能超过p/2的同态方案（Somewhat 同态方案），看来似乎用这个方案实现全同态是行不通的。我们需要的是全同态方案即Evaluate可以运行任意功能函数，而不是某一类功能函数（这叫同态方案）。估计多少英雄好汉到了这里就觉得没戏了，于是另寻他路，于是一个突破就擦肩而过。那么下面让我们分析一下症结所在。