我们在“论数学课堂的核心要素”一文中针对数学课堂教学提出了基于问题驱动的几个核心要素，文章指出数学课堂教学的核心要素包括：1、是否抓住了概念或原理之所以产生的本质问题？2、是否创设了真实有效的问题情境？3、有没有对问题的思考辨析？4、逻辑是否严谨，计算是否准确？5、学生对概念、原理的理解与熟练运用程度如何？第四与第五个要素是目前一线教师做得比较到位的，被弱化的是第一、第二与第三个要素。而这三个要素恰恰是培养学生数学直觉与数学思辨的重要环节。

应试教育固然有害，但全盘否定应试教育有失偏颇，哈尔莫斯（Halmos）说过：“学习数学的最好方法是做数学”，勤学多练不全是坏事，解题能力是学生必备的重要能力，问题在于需要搞清楚数学教育的根本目的。数学教育不是培养考试机器，而是通过数学教育培养学生运用数学眼光观察问题、运用数学头脑思考问题以及运用数学方法解决问题的能力。如果把一个人比作一部机器，解题能力则如同机器的润滑油，它是顺利分析、解决问题的重要保证。否则，即使有好的想法也会举步维艰，难以完成预期的目标。从这个角度看，教育改革的任务不是否定过去，而是取其精华，去其糟粕，找到传统教育存在的根本问题，完善现有的课堂教育模式。

按照数学教育的三个基本素养衡量，目前的数学教育缺少了两个基本素养的培养，即数学直觉与数学思辨。

1、数学直觉如何形成？

人的直觉从何而来？它从不断的观察与实验慢慢积累而来，数学直觉与生活直觉有相通之处，但又有本质不同。生活直觉一般源于生活阅历，数学直觉的形成需要教师在课堂教学中围绕着促使概念与原理生成的基本问题，创设真实的问题情境，经过从具体到一般的认识过程帮助学生自主发现具有共性或规律性的东西，从而建立新的概念或发现新的原理。

很多教师试图按照这样的理念去做，然而，令人遗憾的是，一些教师常常抓不住本质的问题，或者所创设的问题情境是虚假的、无效的。例如，在讲授基本不等式时，一些教师不仅没有真正搞清楚基本不等式的科学价值，而且创设了一个无效的问题情境。教师通过虚拟的天平物理实验得到算术平均数，再由力矩原理得到几何平均数，具体地说，将物体分别放在天平的两端测得两个数据a与b，取其算术平均（a+b）/2 ，这个平均值可以看着该物体的近似质量，再根据力矩原理证明该物体的真实质量为几何平均值(ab)^1/2。这是个典型的无效问题，姑且不论这里所说的几何平均值是否为物体的真实质量，仅就这节课的主题而论，物理实验并不能得出两个平均值之间的大小关系。正因为这样，教师在貌似创设了一个问题情境后突然转向了基本不等式的证明，对开始的物理实验再也无暇顾及了。通过这样的问题情境如何能培养学生的数学直觉？我们在“大学教师与中学教师关于《基本不等式》的‘同课异构’评析”一文中介绍了本人的这节课通过现实生活与数学中常出现的最值问题创设真实的问题情境并设计了一个问题链，逐步引导学生发现基本不等式，这种环环相扣、层层递进的引导式教学正是培养学生数学直觉的过程。

2、如何培养数学思辨能力？

  思辨能力来自对问题的不断深入剖析与辨别，思考辨析的过程是个探究的过程。教师有此理念，但往往舍本逐末，或者分不清探究与验证之间的区别，将简单的验证或验算当成了科学探究。

以正弦的定义为例，教师是这样引导学生探究的：（1）、一个锐角为三十度的直角三角形对边与斜边的比是多少？然后让边长发生变化，问比值有没有变化；（2）一个锐角为四十五度角的直角三角形对边与斜边的比是多少？再次让边长发生变化，看比值有没有变化。接着考虑一般情形。这节课要做什么？显然是要寻找三角形的边与角的关系，为什么要寻找这个关系？这个问题要解释清楚，既可以通过实际问题，也可以通过数学问题说明其重要性。其本质在于通过这种关系可以由某些边的长度求角度，或者由角度求边的长度。这节课的难点在于怎么发现直角三角形两个边的比决定了角度？或者角度决定了两个边的比？如果不是围绕着这个问题探究，那就是一种伪探究。教师给出了几个特殊的角，然后要求学生测量两个边的比是多少，为什么要求两个边的长度之比？既然已经告诉学生求两个边的长度之比，那还是探究吗？不过是简单的验证而已。重要的是怎么想到要使用两个边的长度之比？这才是真正的科学发现。

事实上，学生在此前已经学过相似三角形，都知道相似三角形的对应边成比例，这个性质有什么用？教师往往只强调了一个方面，即利用可以测量的三角形去计算另一个与之相似但不可测量的三角形，却忽略了蕴藏在相似三角形中的另一个深刻的数学思想—不变量。ΔABC与ΔA’B’C’相似意味着AB/A’B’=BC/B’C’，它反映的是两个三角形对应边成比例，但如果将这个式子稍加变形，变成AB/BC=A’B’/B’C’，涵义就大不相同了，它反映的是ΔABC的两个边长之比与ΔA’B’C’两个边长之比是相同的，这就是说，只要两个三角形相似，不管其边长发生什么变化，边长的比值总是不变的，换言之，三角形边长之比是相似三角形的“不变量”。从这个意义上说，教师引导学生的第一步探究应该是重温相似三角形，寻找上述规律（揭示不变量的思想但不必告诉学生这个叫不变量）。

在进行第二步探究前应该说明为什么只是针对直角三角形进行研究，因为一般的三角形也有边与角，而且后续课程中的确也涉及一般三角形角与边的关系。可以从两个方面来阐述：（1）、直角三角形是最重要也是最简单的三角形，其中蕴藏着很多重要性质；（2）一般三角形可以分解成两个直角三角形，从而可以利用直角三角形来研究一般三角形。有了这个铺垫后自然就转入了直角三角形的研究。事实上，一些与一般三角形有关的后续定理（如正弦定理）正是转换成直角三角形来证明的。

在直角三角形中，边与边之间、角与角之间有着重要关系，例如三个边之间遵循勾股定理，两个锐角互余，然而边与角之间的关系尚不清楚。那么边与角之间有没有关系呢？在直角三角形中，如果一个锐角确定了，三角形的边能确定吗？显然不能，但不管边怎么变化，这些三角形全是相似的。将前面关于相似三角形的结果搬过来马上得到一个结论：直角三角形中只要一个锐角固定了，不管边的长度怎么变化，该锐角的对边与斜边之比始终是一样的。这意味着什么？边长之比是由角度来决定的。如果角度发生变化呢？此时不妨通过一些特殊角，例如三十度角、四十五度角等检验一下将会发现，角度发生变化时，边长之比是会跟着变化的。必要时还可以进一步探究：如果边长之比一定呢？角度有没有可能发生变化？通过这些探究可以发现：“角度决定了边长之比，边长之比也决定了角度。”这就是直角三角形的锐角与边长之间的内在关系，人们把这个比称为角的正弦。以上整个探究的过程实际上是个思辨的过程，这种探究式教学正是培养学生数学思辨能力的最好媒介。

正如数学演算与数学直觉、数学思辨密不可分一样，数学直觉与数学思辨也是密切相关的，有时候直觉建立在对问题的思辨基础之上，有时候思辨又依赖于直觉。例如前面提到的基本不等式教学便蕴含着对问题的思辨，正是通过对一些列问题的分析思考猜测到基本不等式。在正弦的定义中，如果没有相似三角形等知识的积累与直觉感知，又如何能够意识到直角三角形的边与角之间有着内在关系？由此可见，数学直觉、数学思辨与数学演算是检验是否学好数学、真正领悟数学并能熟练运用数学解决问题不可或缺的三个基本素养，缺失了任何方面都是失败的数学教育。